Постройте еще один такой же квадрат (левая и нижняя линии будут пунктирными). Соедините соответствующие парные точки обоих квадратов до визуализации куба. Поскольку на его основе вы будете строить октаэдр, сделайте его большим и четким.

Пусть дан куб. Необходимо построить октаэдр, вписанный в него. Проведите диагонали для каждой грани куба. Отметьте точки пересечения диагоналей. Соедините все полученные точки друг с другом. Правильный октаэдр, вписанный в куб, готов.

Для доказательства, что полученная фигура – правильный октаэдр, необходимо доказать правильность треугольников. Чтобы доказать, что треугольники-грани – правильные, проведите перпендикуляры от их вершин к ребрам куба. Используйте свойства прямоугольных треугольников и куба.

Можно также построить октаэдр, описанный около заданного куба. Пусть a – длина ребра куба. Найдите центры каждой грани (это точки пересечения диагоналей). Проведите прямые через центры противоположных граней. Они пересекутся в центре куба, который можно обозначить за точку О.

Итак, имеются две прямые, пересекающиеся в точке О. Отложите на каждой из прямых по обе стороны отрезок, равный 3a/2. Соедините концы полученных вами отрезков. Это и будет каркас правильного октаэдра, описанного около куба.

Полезный совет

Линии, которые не видны, должны быть пунктирными. Если вы сомневаетесь, виден ли тот или иной отрезок, лучше постройте пунктирный. Доделать пунктир до сплошной полосы легче, чем исправить сплошную линию на пунктир.

Додекаэдром называется правильный многогранник, грани которого представляют собой двенадцать правильных пятиугольников. Простейшим для построения правильным многогранником является гексаэдр или куб, все остальные многогранники можно построить, вписав или описав их около него. Додекаэдр можно построить, описав его около куба.

Инструкция

Постройте куб с длиной ребра a. Вычислите длину строящегося додекаэдра по формуле:m = -a/2 +av5/2, где a – длина ребра куба.

Постройте пятиугольник ABCDE с диагоналями AC и BE. AB = BC = a. Вычислите высоту треугольника ABC и обозначьте ее s = BN.

Повторойте построения 2 и 4 для каждой грани, в результате у вас получится правильный многогранник описанный около куба – додекаэдр.

Видео по теме

Многогранник, у которого каждая грань представляет собой правильный многоугольник, т.е. многоугольник с равными сторонами, называется правильным многогранником. Всего существует пять правильных многогранников – тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, гексаэдр(куб) и додекаэдр. Самым простым в построении является гексаэдр. Любой другой правильный многогранник можно построить, описав его около куба или вписав его в куб.

Инструкция

Рассмотрим на примере .
Октаэдром правильный многогранник, состоящий из восьми граней, каждая из которых представляет собой правильный треугольник.
Построение октаэдра, вписанного в куб.
Построим куб. Проведём диагонали AC, BD, AF и DE и обозначим точки их пересечения O и P.

Соединив точки O и P, получим одно из рёбер строящегося октаэдра.

Повторив построения 1 и 2 для каждой грани куба получим октаэдр, вписанный в куб.

Построение октаэдра, описанного около куба.
Построим куб, через центры противолежащих граней проведём прямые. Эти прямые пересекутся в точке O – центре куба.

На проведённых прямых отложим отрезки так, чтобы точка O была их серединой. Длина отрезков будет равна 3 * a/2, где a - длина ребра куба.

Соединив концы построенных отрезков, получим октаэдр, описанный около куба.

Видео по теме

Додекаэдр – это многогранная геометрическая фигура, которая состоит из двенадцати пятиугольников. Каждые три пятиугольника образуют одну из вершин этой замысловатой фигуры. Сегодня довольно часто используют додекаэдр при изготовлении различных сувениров и календарей.

Вам понадобится

• - макет додекаэдра;
• - ножницы;
• - линейка;
• - клей;
• - маркер;
• - картон;
• - карандаш;
• - бумага;
• - скрепки.

Инструкция

Купите готовые макеты календарей, имеющие форму додекаэдра, и соберите их. Получить такую фигуру несложно. Аккуратно вырежьте формы по намеченным границам. Затем при помощи линейки сложите додекаэдр в местах его сгиба (они изображены пунктиром) и склейте. Всевозможные потертости и небольшие визуальные дефекты замаскируйте с помощью маркера соответствующего цвета.

Смастерите додекаэдр. Для начала сложите ватман пополам с легким косым уклоном. На одной части картона нарисуйте в середине пятиугольник, а после от каждой грани нарисуйте еще по пятиугольнику. В итоге получится шесть нарисованных пятиугольников. Переколите ваш шедевр на вторую часть ватмана и нарисуйте точно такую же фигуру. Затем обозначьте места склейки. Когда основная работа будет завершена, вырежьте макет, разукрасьте и склейте его.

Приобретите тридцать листов бумаги (для красоты можно использовать бумагу трех цветов). Возьмите три листа бумаги и сделайте из них модули. Для этого сложите лист пополам, после чего каждую половинку еще раз пополам (в обратные стороны). То есть в итоге должен получиться веер. Заверните каждую сторону под прямым углом, а модуль немного наискосок. Отдельный модуль-трехлистник - вершина вашего додекаэдра. Продолжите конструирование из оставшихся двадцати семи листов. Лишь в конце сборки фигура станет устойчивой, поэтому во время творчества для большего удобства используйте скрепки.

Обратите внимание

Проверяйте качество склейки отдельных элементов додекаэдра!

Полезный совет

Из старых CD- дисков можно изготовить своими руками оригинальный подарок – светильник-додекаэдр, в котором один диск будет представлять отдельную грань фигуры. Для того чтобы собрать додекаэдр, наметьте на дисках линии пропилов, затем разрежьте их (ножовкой по металлу, раскаленной скрепкой или шилом) и сложите конструкцию.

Источники:

• Додекаэдр

Додекаэдром называется правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Эта эффектная объемная фигура обладает центром симметрии, называемым центром додекаэдра. Кроме того, в ней присутствуют пятнадцать плоскостей симметрии (в каждой грани любая из них проходит через середину противоположного ребра и вершину) и пятнадцать осей симметрии (пересекающих середины параллельных противолежащих ребер). Каждая из вершин додекаэдра является вершиной трех пятиугольников правильной формы.

Свое название конструкция получила по количеству входящих в нее граней (традиционно древние греки давали многогранникам имена, отображающие число граней, составляющих структуру фигуры). Таким образом, понятие «додекаэдр» образовано из значений двух слов: «додека» (двенадцать) и «хедра» (грань). Фигура относится к одному из пяти Платоновых тел (наряду с тетраэдром, октаэдром, гексаэдром (кубом) и ). Интересно, что согласно многочисленным историческим документам, все они активно использовались жителями Древней Греции в виде настольных игральных костей и изготавливались из самого различного материала.

Правильные многогранники всегда привлекали людей своей красотой, органичностью и необыкновенным совершенством форм, но додекаэдр имеет особую историю, которая из года в год обрастает все новыми, иногда совершенно мистическими, фактами. Представители многих цивилизаций усматривали в нем сверхъестественную и таинственную сущность, утверждая, что: «Из числа двенадцать произрастает многое». На территориях древних разрушенных государств до сих пор находят маленькие фигурки в виде додекаэдров, выполненные из бронзы, камня или кости. Кроме того, при раскопках на землях современной Англии, Франции, Германии, Венгрии, Италии археологи обнаружили несколько сотен так называемых «римских додекаэдров», датирующихся II-III-м веками нашей эры. Основные размеры фигурок составляют от четырех до одиннадцати сантиметров, причем отличаются они самыми невероятными узорами, текстурами и техникой исполнения. Выдвинутая еще во времена Платона версия о том, что Вселенная представляет собой огромного размера додекаэдр, нашла подтверждение уже в начале XXI -го века. После тщательного анализа данных, полученных при помощи WMAP(многофункционального космического аппарата NASA), ученые согласились с предположением древнегреческих астрономов, математиков и физиков, в свое время занимавшихся вопросами изучения небесной сферы и ее строением. Более того, современные исследователи считают, что наша Вселенная представляет собой бесконечно повторяющийся набор додекаэдров.

Как сделать правильный додекаэдр своими руками

Сегодня конструкция данной фигуры нашла свое отображение во многих вариантах художественного творчества, архитектуре и строительстве. Народные умельцы изготавливают из цветной или белой бумаги необыкновенные по красоте оригами в виде ажурных додекаэдров, а из картона делают оригинальные и прочее). В продаже можно приобрести уже готовые наборы, содержащие все необходимое для изготовления сувениров, но наиболее интересно произвести весь процесс работы своими руками, начиная от построения отдельных деталей и заканчивая сборкой готовой конструкции.

Материалы:

Для того, чтобы сделать правильный додекаэдр из картона, необходим собственно сам материал и подручные средства:

• ножницы,
• карандаш,
• ластик,
• линейка,
• клей.

Хорошо иметь тупой нож или какое-либо приспособление для загибания припусков, но если их нет, то вполне подойдет металлическая линейка или те же ножницы.

Как сделать звездчатый додекаэдр

Звездчатые додекаэдры имеют более сложную конструкцию по сравнению с обычными. Эти многогранники подразделяются на малый (первого продолжения), средний (второго продолжения) и большой (последняя звездчатая форма правильного додекаэдра). Каждый из них отличается своими особенностями построения и сборкой. Для работы Вам потребуются те же материалы и инструменты, что и для изготовления стандартного додекаэдра. Если Вы решили сделать первый вариант (малый додекаэдр), то необходимо построить чертеж первого элемента, который станет основой для всей конструкции (в дальнейшем производится ее склеивание или сборка деталей при помощи скрепок).

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 2 класса
Математика 1-4 классов, Г.В. Дорофеев, электронное учебное пособие к учебникам
Математика, 1-4 классы, Петерсон Л.Г., электронное учебное пособие к учебникам

То, что сейчас является обязательным к изучению на уроках геометрии, в древние времена считалось опасной ересью. Раньше геометрия считалась священным знанием. О геометрических фигурах, таких как: тетраэдр, икосаэдр, куб было опасно говорить, за это можно было поплатиться жизнью, эти тела считались кирпичиками Вселенной.

Октаэдр одна из геометрических фигур, которую относится к сакральной геометрии, алхимии и изучается в стереометрии. Эта фигура называется платоновым телом и является одним из пяти священных фигур, одним из пяти правильных многогранников. Его соотносят со стихией воздуха, эфиром, с энергетическим телом человека. Слово октаэдр состоит из двух слов: восемь и грань, другими словами октаэдр - это восьмигранник, ограниченный восемью треугольниками, обладающий симметрией. Эта геометрическая фигура состоит из 8 граней, 6 вершин (в каждой из которых, сходится 4 ребра) и 12 ребер. Сумма углов октаэдра составляет 240°. Октаэдр считается антипризмой, имеющей треугольное основание.

Виды октаэдров

Октаэдр Брикара. В 1897 французский математик Брикар году доказал, что существуют изгибаемые октаэдры, эти фигуры не имеют самопересечений и являются не выпуклыми.

Октаэдр Брикара

Существует еще один октаэдр, который был открыт Леонардо да Винчи, и называется он - звездчатый октаэдр. Его можно рассматривать, как соединение двух тетраэдров. Сто лет спустя звездчатый октаэдр был заново открыт Иоганном Кеплером, который назвал его звезда восьмиугольная.

Где можно встретить октаэдр? Чаще всего эту фигуру можно встретить в природе, она - великий творец такие фигур и форм. Алмазы часто имеют вид октаэдра. Уже в XIV веке стали делать огранку, которая повторяет эту геометрическую фигуру. Самый знаменитый алмаз "Шах" сохранил свой естественный вид - форму кристалла октаэдра, его масса составляет 88,7 карата.

Алмаз "Шах"

Другие минералы тоже имеют форму октаэдра, например, куприт (красная медная руда). Также октаэдр можно найти среди других руд: самородная медь, малахит, лимонит. Такие минералы, как хлорид натрия (поваренная соль), оливин, перовскит, шпинель, флюорит тоже имеют форму этой геометрической фигуры. Различные металлы, например никель, магний, титан, лантан имеют структуру пор и пустот похожую на октаэдр. Формула октаэдра применяется при выделки кожи, протравливания тканей. Игрушка головоломка "Октаэдр" называется умным подарком и напоминает всем известный кубик Рубика. При изготовлении алюминия используют алюминиево-калиевые кварцы имеющие форму этой геометрической фигуры. В играх основанных на правилах Dungeons & Dragons, игральные кости иногда имеют форму октаэдра.

Совсем недавно была представлена интересная находка из Марокко - графитовые кристаллы, имеющие форму октаэдра. Это удивительно, потому что никогда раньше не встречался графит такой конфигурации. Природа продолжает творить божественные фигуры, преподнося нам изумительное открытия и необычные геометрические подарки.

Сколько всего познавательного и удивительного можно узнать о том, что в школе нам казалось неинтересным и не нужным. Великие мыслители с почтением относились к геометрическим фигурам и считали их священными. Художники используют их в своих творениях, писатели рассказывают о них в фантастических произведениях. Интересные факты о геометрических фигурах вызывают у детей живой интерес и желание изучать геометрию, создавать эти замечательные фигуры на уроках в школе или дома.

Развертка октаэдра из бумаги или из картона

Ниже вы найдете схемы, позволяющие сделать октаэдр из бумаги или картона своими руками. При сборке октаэдра можно применить фантазию, поместив на его гранях различные рисунки. Для этого необходимо подобрать картинки в интернете или лучше нарисовать самим и поместить их на грани вашей фигуры в каком либо графическом редакторе, например Photoshop или даже Paint. Такой оригинальный октаэдр с картинками можно преподнести как замечательный сувенир или подарок. Друзьям или родителям обязательно понравятся эти поделки из бумаги, сделанные с любовью и большой выдумкой.

Схема октаэдра	Схема октаэдра c формулами