علم الميكانيكا.

السؤال رقم 1

نظام مرجعي. الأنظمة المرجعية بالقصور الذاتي. مبدأ النسبية لجاليليو - أينشتاين.

الإطار المرجعي- هذه مجموعة من الأجسام التي يتم من خلالها وصف حركة جسم معين ونظام الإحداثيات المرتبط به.

النظام المرجعي بالقصور الذاتي (IRS)هو نظام يكون فيه الجسم المتحرك بحرية في حالة سكون أو حركة مستقيمة منتظمة.

مبدأ النسبية لجاليليو-آينشتاين- جميع الظواهر الطبيعية في أي إطار مرجعي قصوري تحدث بنفس الطريقة ولها نفس الشكل الرياضي. بمعنى آخر، جميع معايير ISO متساوية.

السؤال رقم 2

معادلة الحركة. أنواع حركة الأجسام الصلبة. المهمة الرئيسية للحركيات.

معادلات حركة نقطة مادية:

- المعادلة الحركية للحركة

أنواع حركات الجسم الصلبة:

1) الحركة الانتقالية - أي خط مستقيم مرسوم في الجسم يتحرك موازيا لنفسه.

2) الحركة الدورانية - أي نقطة في الجسم تتحرك في دائرة.

φ = φ(ر)

المهمة الرئيسية للحركيات- يتم الحصول على الاعتماد الزمني للسرعة V = V(t) والإحداثيات (أو ناقل نصف القطر) r = r(t) لنقطة مادية من الاعتماد المعروف لتسارعها a = a(t) على الوقت والمعروف الشروط الأوليةالخامس 0 و ص 0 .

السؤال رقم 7

نبض (كمية الحركة) هي كمية فيزيائية متجهة تميز قياس الحركة الميكانيكية للجسم. في الميكانيكا الكلاسيكية، زخم الجسم يساوي حاصل ضرب الكتلة مهذه النقطة من خلال سرعتها الخامس، يتزامن اتجاه الدافع مع اتجاه ناقل السرعة:

في الميكانيكا النظرية دفعة معممةهو المشتق الجزئي لاغرانج للنظام فيما يتعلق بالسرعة المعممة

إذا كان نظام لاغرانج لا يعتمد على البعض الإحداثيات المعممة، ثم بسبب معادلات لاغرانج .

بالنسبة للجسيم الحر، تكون دالة لاغرانج على الشكل التالي:

إن استقلال نظام لاغرانج المغلق عن موقعه في الفضاء يتبع من الخاصية تجانس الفضاء: بالنسبة لنظام معزول جيدًا، لا يعتمد سلوكه على المكان الذي نضعه فيه. بواسطة نظرية نويثرمن هذا التجانس يتبع الحفاظ على بعض الكمية الفيزيائية. وتسمى هذه الكمية بالدفعة (عادية وليست معممة).

في الميكانيكا الكلاسيكية كاملة دفعةأنظمة النقاط الماديةهي كمية متجهة تساوي مجموع منتجات كتل النقاط المادية وسرعتها:

وبناء على ذلك، تسمى الكمية زخم نقطة مادية واحدة. هذه كمية متجهة موجهة في نفس اتجاه سرعة الجسيم. وحدة الدفع في النظام الدولي للوحدات (SI) هي كيلو متر في الثانية(كجم م/ث)

إذا كنا نتعامل مع جسم محدود الحجم، لتحديد كمية الحركة لا بد من تفتيت الجسم إلى أجزاء صغيرة يمكن اعتبارها نقاطاً مادية وتجمع فوقها، ونتيجة لذلك نحصل على:

اندفاع النظام الذي لا يتأثر بأي قوى خارجية (أو يتم تعويضها) أنقذفي الوقت المناسب:

الحفاظ على الزخم في هذه الحالة يتبع من قانون نيوتن الثاني والثالث: بكتابة قانون نيوتن الثاني لكل نقطة من النقاط المادية المكونة للنظام وجمع كل النقاط المادية المكونة للنظام، وبموجب قانون نيوتن الثالث نحصل على المساواة (* ).

في الميكانيكا النسبية، الزخم ثلاثي الأبعاد لنظام النقاط المادية غير المتفاعلة هو الكمية

,

أين م ط- وزن أناالنقطة المادية .

بالنسبة لنظام مغلق من نقاط مادية غير متفاعلة، يتم الحفاظ على هذه القيمة. ومع ذلك، فإن الزخم ثلاثي الأبعاد ليس كمية ثابتة نسبيًا، لأنه يعتمد على الإطار المرجعي. ستكون الكمية الأكثر أهمية هي الزخم رباعي الأبعاد، والذي يتم تعريفه على أنه نقطة مادية واحدة

ومن الناحية العملية، غالبًا ما تُستخدم العلاقات التالية بين الكتلة والزخم والطاقة للجسيم:

من حيث المبدأ، بالنسبة لنظام النقاط المادية غير المتفاعلة، يتم جمع لحظاتها الأربع. ومع ذلك، بالنسبة للجسيمات المتفاعلة في الميكانيكا النسبية، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار ليس فقط زخم الجسيمات التي تشكل النظام، ولكن أيضًا زخم مجال التفاعل بينها. ولذلك، فإن الكمية الأكثر أهمية في الميكانيكا النسبية هي موتر زخم الطاقة، الذي يلبي تمامًا قوانين الحفظ.

السؤال رقم 8

لحظة من الجمود- كمية فيزيائية عددية، وهي قياس لقصور الجسم في حركة دورانية حول محور، كما أن كتلة الجسم هي مقياس لقصوره الذاتي في حركته الانتقالية. تتميز بتوزيع الكتل في الجسم: عزم القصور الذاتي يساوي مجموع منتجات الكتل الأولية في مربع مسافاتها إلى مجموعة القاعدة

لحظة محورية من الجمود

لحظات القصور الذاتي المحورية لبعض الأجسام.

لحظة من الجمود نظام ميكانيكي بالنسبة لمحور ثابت ("لحظة القصور الذاتي المحورية") هي الكمية ي أ، يساوي مجموع منتجات الجماهير للجميع نالنقاط المادية للنظام بمربعات مسافاتها إلى المحور:

,

• م ط- وزن أناالنقطة ال,
• ص ط- المسافة من أناالنقطة ث إلى المحور.

محوري لحظة من الجمودجسم ي أهو مقياس لقصور الجسم في حركته الدورانية حول محور، كما أن كتلة الجسم هي مقياس لقصوره الذاتي في حركته الانتقالية.

,

• مارك ألماني = ρ العنف المنزلي- كتلة عنصر صغير من حجم الجسم العنف المنزلي,
• ρ - الكثافة،
• ص- المسافة من العنصر العنف المنزليإلى المحور أ.

إذا كان الجسم متجانسًا، أي أن كثافته واحدة في كل مكان، إذن

اشتقاق الصيغة

مارك ألمانيولحظات الجمود دي جي ط. ثم

اسطوانة رقيقة الجدران (حلقة، طوق)

اشتقاق الصيغة

لحظة القصور الذاتي للجسم تساوي مجموع لحظات القصور الذاتي للأجزاء المكونة له. قسّم الأسطوانة ذات الجدران الرقيقة إلى عناصر ذات كتلة مارك ألمانيولحظات الجمود دي جي ط. ثم

بما أن جميع عناصر الأسطوانة رقيقة الجدران تقع على نفس المسافة من محور الدوران، فإن الصيغة (1) تتحول إلى الشكل

نظرية شتاينر

لحظة من الجمودإن تحديد جسم صلب بالنسبة لأي محور لا يعتمد فقط على كتلة الجسم وشكله وحجمه، ولكن أيضًا على موضع الجسم بالنسبة لهذا المحور. وفقا لنظرية شتاينر (نظرية هويجنز شتاينر)، لحظة من الجمودجسم جنسبة إلى محور تعسفي يساوي المجموع لحظة من الجمودهذه الهيئة جي سيبالنسبة إلى محور يمر بمركز كتلة الجسم موازيًا للمحور المعني، وحاصل ضرب كتلة الجسم ملكل مربع من المسافة دبين المحاور:

إذا كانت لحظة القصور الذاتي لجسم بالنسبة إلى محور يمر بمركز كتلة الجسم، فإن عزم القصور الذاتي بالنسبة لمحور مواز يقع على مسافة منه يساوي

,

أين هي كتلة الجسم الإجمالية.

على سبيل المثال، عزم القصور الذاتي للقضيب بالنسبة للمحور الذي يمر عبر نهايته يساوي:

الطاقة الدورانية

الطاقة الحركية للحركة الدورانية- طاقة الجسم المرتبطة بدورانه.

الخصائص الحركية الرئيسية للحركة الدورانية للجسم هي سرعته الزاوية (ω) والتسارع الزاوي. الخصائص الديناميكية الرئيسية للحركة الدورانية - الزخم الزاوي بالنسبة لمحور الدوران z:

ك ز = عزω

والطاقة الحركية

حيث I z هي لحظة القصور الذاتي للجسم بالنسبة لمحور الدوران.

يمكن العثور على مثال مماثل عند النظر في جزيء دوار له محاور القصور الذاتي الرئيسية أنا 1, أنا 2و أنا 3. يتم التعبير عن الطاقة الدورانية لمثل هذا الجزيء

أين ω 1, ω 2، و ω 3- المكونات الرئيسية للسرعة الزاوية.

بشكل عام، يتم العثور على الطاقة أثناء الدوران بالسرعة الزاوية بواسطة الصيغة:

، أين أنا- موتر القصور الذاتي.

السؤال رقم 9

لحظة الاندفاع (الزخم الزاوي، الزخم الزاوي، الزخم المداري، الزخم الزاوي) يميز مقدار الحركة الدورانية. كمية تعتمد على مقدار الكتلة التي تدور، وكيفية توزيعها بالنسبة لمحور الدوران، وبأي سرعة يحدث الدوران.

وتجدر الإشارة إلى أن التدوير هنا يُفهم في بالمعنى الواسع، وليس فقط كدوران منتظم حول محور. على سبيل المثال، حتى عندما يتحرك جسم في خط مستقيم بعد نقطة خيالية عشوائية لا تقع على خط الحركة، فإنه يتمتع أيضًا بزخم زاوي. ولعل الدور الأكبر يلعبه الزخم الزاوي في وصف الحركة الدورانية الفعلية. ومع ذلك، فمن المهم للغاية بالنسبة لفئة أوسع بكثير من المشاكل (خاصة إذا كانت المشكلة لها مركزية أو التماثل المحوريولكن ليس في هذه الحالات فقط).

قانون الحفاظ على الزخم الزاوي(قانون الحفاظ على الزخم الزاوي) - يظل المجموع المتجه لكل الزخم الزاوي بالنسبة لأي محور لنظام مغلق ثابتًا في حالة توازن النظام. وفقًا لهذا، فإن الزخم الزاوي لنظام مغلق بالنسبة لأي غير مشتق من الزخم الزاوي بالنسبة للزمن هو لحظة القوة:

وبالتالي يمكن إضعاف شرط إغلاق النظام إلى اشتراط أن يكون العزم الرئيسي (الإجمالي) مساوياً للصفر قوى خارجية:

أين هو عزم إحدى القوى المطبقة على نظام الجزيئات. (ولكن بالطبع، إذا لم تكن هناك قوى خارجية على الإطلاق، فإن هذا المطلب يتم استيفاؤه أيضًا).

رياضيًا، قانون الحفاظ على الزخم الزاوي ينبع من نظائر الفضاء، أي من ثبات الفضاء فيما يتعلق بالدوران عبر زاوية اعتباطية. عندما يتم تدويره بزاوية متناهية الصغر، فإن متجه نصف قطر الجسيم ذو الرقم سيتغير بمقدار، والسرعة - . لن تتغير وظيفة لاغرانج للنظام مع مثل هذا الدوران، وذلك بسبب نظير الفضاء. لهذا

دعونا نحدد الطاقة الحركية لجسم صلب يدور حول محور ثابت. دعونا نقسم هذا الجسم إلى نقاط مادية n. تتحرك كل نقطة بسرعة خطية υ i =ωr i ، ثم الطاقة الحركية للنقطة

أو

إن إجمالي الطاقة الحركية لجسم صلب يدور يساوي مجموع الطاقات الحركية لجميع نقاطه المادية:

(3.22)

(J هي لحظة القصور الذاتي للجسم بالنسبة لمحور الدوران)

إذا كانت مسارات جميع النقاط تقع في مستويات متوازية (مثل أسطوانة تتدحرج على مستوى مائل، فإن كل نقطة تتحرك في مستوى خاص بها)، فإن هذا حركة مسطحة. وفقًا لمبدأ أويلر، يمكن دائمًا تحليل الحركة المستوية إلى حركة انتقالية ودورانية بطرق لا حصر لها. إذا سقطت كرة أو انزلقت على طول مستوى مائل، فإنها تتحرك بشكل انتقالي فقط؛ عندما تتدحرج الكرة، فإنها تدور أيضًا.

إذا قام جسم بحركة انتقالية ودورانية في وقت واحد، فإن إجمالي طاقة حركته يساوي

(3.23)

من مقارنة صيغ الطاقة الحركية للحركات الانتقالية والدورانية، يتضح أن مقياس القصور الذاتي أثناء الحركة الدورانية هو لحظة القصور الذاتي للجسم.

§ 3.6 عمل القوى الخارجية أثناء دوران الجسم الصلب

عندما يدور جسم صلب فإن طاقته الكامنة لا تتغير، وبالتالي فإن الشغل الأولي للقوى الخارجية يساوي الزيادة في الطاقة الحركية للجسم:

دا = دي أو

مع الأخذ في الاعتبار أن Jβ = M، ωdr = dφ، لدينا α للجسم بزاوية محدودة φ تساوي

(3.25)

عندما يدور جسم صلب حول محور ثابت، فإن عمل القوى الخارجية يتحدد بفعل عزم هذه القوى بالنسبة لهذا المحور. إذا كان عزم القوى بالنسبة للمحور يساوي صفرًا، فإن هذه القوى لا تنتج شغلًا.

أمثلة على حل المشكلات

مثال 2.1. كتلة دولاب الموازنةم= 5 كجم ونصف القطرص= 0.2 م يدور حول محور أفقي بترددν 0 = 720 دقيقة -1 وعند الكبح يتوقف في الخلفر= 20 ثانية. أوجد عزم الكبح وعدد الثورات قبل التوقف.

لتحديد عزم الكبح، نطبق المعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية

حيث I=mr 2 - عزم القصور الذاتي للقرص؛ Δω =ω - ω 0، و ω =0 هي السرعة الزاوية النهائية، ω 0 =2πν 0 هي السرعة الأولية. M هي لحظة الكبح للقوى المؤثرة على القرص.

بمعرفة جميع الكميات يمكنك تحديد عزم الكبح

السيد 2 2πν 0 = ميت (1)

(2)

من حركيات الحركة الدورانية يمكن تحديد زاوية الدوران أثناء دوران القرص قبل التوقف من خلال الصيغة

(3)

حيث β هو التسارع الزاوي.

وفقًا لشروط المشكلة: ω =ω 0 – βΔt، حيث أن ω=0، ω 0 = βΔt

ثم يمكن كتابة التعبير (2) على النحو التالي:

مثال 2.2. تم تدوير حذافاتين على شكل أقراص ذات أنصاف أقطار وكتل متطابقة حتى سرعة الدورانن= 480 دورة في الدقيقة ونتركها لأجهزتنا الخاصة. تحت تأثير قوى الاحتكاك للأعمدة على المحامل، توقف الأولر= 80 ثانية، والثانية فعلتن= 240 دورة في الدقيقة للتوقف. أي دولاب الموازنة كان له عزم احتكاك أكبر بين الأعمدة والمحامل وبكم مرة؟

سنجد عزم قوى الشوكة M 1 للحدافة الأولى باستخدام المعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية

م 1 Δt = أناω 2 - أناω 1

حيث Δt هو زمن عمل لحظة قوى الاحتكاك، I=mr 2 هي لحظة القصور الذاتي للحدافة، ω 1 = 2πν و ω 2 = 0 - السرعات الزاوية الأولية والنهائية للحدافة

ثم

سيتم التعبير عن لحظة قوى الاحتكاك M 2 للحدافة الثانية من خلال العلاقة بين الشغل A لقوى الاحتكاك والتغير في طاقتها الحركية ΔE k:

حيث Δφ = 2πN هي زاوية الدوران، N هو عدد دورات دولاب الموازنة.

ثم من أين

عن ستكون النسبة متساوية

عزم الاحتكاك للحدافة الثانية أكبر بمقدار 1.33 مرة.

مثال 2.3. كتلة القرص الصلب المتجانس م، كتلة الأحمال م 1 و م 2 (الشكل 15). لا يوجد أي انزلاق أو احتكاك للخيط في محور الأسطوانة. أوجد تسارع الأحمال ونسبة شد الخيطفي عملية الحركة.

لا يوجد انزلاق للخيط، لذلك، عندما يقوم m 1 و m 2 بحركة انتقالية، ستدور الأسطوانة حول المحور الذي يمر عبر النقطة O. لنفترض على وجه التحديد أن m 2 > m 1.

ثم يتم خفض الحمل م 2 وتدور الاسطوانة في اتجاه عقارب الساعة. دعونا نكتب معادلات حركة الأجسام الموجودة في النظام

تتم كتابة المعادلتين الأوليين للأجسام التي لها كتل م 1 و م 2 والتي تمر بحركة انتقالية، والمعادلة الثالثة مكتوبة لأسطوانة دوارة. في المعادلة الثالثة على اليسار يوجد العزم الإجمالي للقوى المؤثرة على الأسطوانة (يتم أخذ عزم القوة T 1 بعلامة الطرح، لأن القوة T 1 تميل إلى تدوير الأسطوانة عكس اتجاه عقارب الساعة). على اليمين أنا لحظة القصور الذاتي للأسطوانة بالنسبة للمحور O، وهو ما يساوي

حيث R هو نصف قطر الاسطوانة؛ β هو التسارع الزاوي للأسطوانة.

نظرًا لعدم وجود انزلاق للخيط، إذن
. وبأخذ التعابير الخاصة بـ I و β في الاعتبار، نحصل على:

وبجمع معادلات النظام نصل إلى المعادلة

ومن هنا نجد التسارع أالبضائع

من المعادلة الناتجة يتضح أن شد الخيط سيكون هو نفسه، أي. =1 إذا كانت كتلة الأسطوانة أقل بكثير من كتلة الأحمال.

مثال 2.4. كرة مجوفة كتلتها m = 0.5 كجم، ونصف قطرها الخارجي R = 0.08 m ونصف قطرها الداخلي r = 0.06 m. تدور الكرة حول محور يمر بمركزها. في لحظة معينة، تبدأ قوة في التأثير على الكرة، ونتيجة لذلك تتغير زاوية دوران الكرة وفقًا للقانون
. تحديد لحظة القوة المطبقة.

نحن نحل المشكلة باستخدام المعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية
. تكمن الصعوبة الرئيسية في تحديد عزم القصور الذاتي للكرة المجوفة، ونجد التسارع الزاوي β كما
. لحظة القصور الذاتي I للكرة المجوفة تساوي الفرق بين لحظات القصور الذاتي لكرة نصف قطرها R وكرة نصف قطرها r:

حيث ρ هي كثافة مادة الكرة. إيجاد الكثافة من خلال معرفة كتلة الكرة المجوفة

من هنا نحدد كثافة المادة الكروية

بالنسبة إلى لحظة القوة M نحصل على التعبير التالي:

مثال 2.5. قضيب رفيع كتلته 300 جرام وطوله 50 سم ويدور بسرعة زاوية قدرها 10 ث -1 في مستوى أفقي حولها محور رأسي، مروراً بمنتصف القضيب. أوجد السرعة الزاوية إذا تحرك القضيب أثناء الدوران في نفس المستوى بحيث يمر محور الدوران بنهاية القضيب.

نستخدم قانون حفظ الزخم الزاوي

(1)

(J i هي لحظة القصور الذاتي للقضيب بالنسبة لمحور الدوران).

بالنسبة لنظام معزول من الأجسام، يظل المجموع المتجه للزخم الزاوي ثابتًا. نظرًا لحقيقة أن توزيع كتلة القضيب بالنسبة لمحور الدوران يتغير، فإن عزم القصور الذاتي للقضيب يتغير أيضًا وفقًا لـ (1):

ي 0 ω 1 = ي 2 ω 2 . (2)

من المعروف أن عزم القصور الذاتي للقضيب بالنسبة للمحور الذي يمر بمركز الكتلة والعمودي على القضيب يساوي

ي 0 = مℓ2 /12. (3)

وفقا لنظرية شتاينر

ي = ي 0 +م أ 2

(J هي لحظة القصور الذاتي للقضيب بالنسبة لمحور الدوران التعسفي؛ J 0 هي لحظة القصور الذاتي بالنسبة لمحور مواز يمر عبر مركز الكتلة؛ أ- المسافة من مركز الكتلة إلى محور الدوران المحدد).

دعونا نوجد عزم القصور الذاتي حول المحور الذي يمر بنهايته والعمودي على القضيب:

ي 2 = ي 0 + م أ 2, ي 2 = مℓ 2 /12 + م(ℓ/2) 2 = مℓ 2 /3. (4)

لنستبدل الصيغتين (3) و (4) في (2):

مℓ 2 ω 1 /12 = مℓ 2 ω 2 /3

ω 2 = ω 1 /4 ω 2 =10s-1/4=2.5s -1

مثال 2.6 . رجل الكتلةم= 60 كجم، يقف على حافة منصة كتلتها M = 120 كجم، ويدور بالقصور الذاتي حول محور رأسي ثابت بتردد ν 1 =12 دقيقة -1 ، ينتقل إلى مركزه. باعتبار أن المنصة عبارة عن قرص مستدير متجانس والشخص عبارة عن كتلة نقطية، حدد بأي تردد ν 2 سيتم بعد ذلك تدوير المنصة.

منح:م=60 كجم، م=120 كجم، ν 1 =12 دقيقة -1 = 0.2 ثانية -1 .

يجد:ن 1

حل:وفقا لظروف المشكلة، فإن المنصة مع الشخص تدور بالقصور الذاتي، أي. العزم الناتج لجميع القوى المطبقة على النظام الدوار هو صفر. لذلك، بالنسبة لنظام "شخص المنصة" فإن قانون الحفاظ على الزخم الزاوي مستوفي

أنا 1 ω 1 = أنا 2 ω 2

أين
- عزم القصور الذاتي للنظام عندما يقف شخص على حافة المنصة (يراعى أن عزم القصور الذاتي للنظام يساوي (R - نصف القطر ن
المنصة)، لحظة القصور الذاتي للشخص على حافة المنصة هي mR 2).

- عزم القصور الذاتي للنظام عندما يقف شخص في وسط المنصة (يراعى أن عزم وقوف الشخص في وسط المنصة هو صفر). السرعة الزاوية ω 1 = 2π ν 1 و ω 1 = 2π ν 2.

باستبدال التعبيرات المكتوبة في الصيغة (1) نحصل على

من أين تأتي سرعة الدوران المطلوبة؟

إجابة: ν 2 =24 دقيقة -1.

الطاقة الحركية لجسم دوّار تساوي مجموع الطاقات الحركية لجميع جزيئات الجسم:

كتلة الجسيم، سرعته الخطية (المحيطية)، المتناسبة مع بعد هذا الجسيم عن محور الدوران. بالتعويض في هذا التعبير وإخراج السرعة الزاوية المشتركة لجميع الجسيمات من علامة المجموع، نجد:

يمكن تحويل هذه الصيغة الخاصة بالطاقة الحركية لجسم دوار إلى شكل مشابه للتعبير عن الطاقة الحركية للحركة الانتقالية إذا قدمنا ​​قيمة ما يسمى لحظة القصور الذاتي للجسم. لحظة القصور الذاتي لنقطة مادية هي حاصل ضرب كتلة النقطة في مربع بعدها عن محور الدوران. لحظة القصور الذاتي للجسم هي مجموع لحظات القصور الذاتي لجميع النقاط المادية في الجسم:

لذلك، يتم تحديد الطاقة الحركية لجسم دوار بالصيغة التالية:

تختلف الصيغة (2) عن الصيغة التي تحدد الطاقة الحركية لجسم في حركة انتقالية حيث أنه بدلاً من كتلة الجسم يتضمن عزم القصور الذاتي I وبدلاً من السرعة تتضمن السرعة الجماعية

يتم استخدام الطاقة الحركية الكبيرة لدولاب الموازنة الدوارة في التكنولوجيا للحفاظ على التشغيل الموحد للآلة تحت الأحمال المتغيرة فجأة. في البداية، من أجل جلب دولاب الموازنة مع لحظة كبيرة من القصور الذاتي إلى الدوران، يتطلب الأمر قدرًا كبيرًا من العمل من الماكينة، ولكن عند تشغيل حمولة كبيرة فجأة، لا تتوقف الماكينة وتقوم بالعمل باستخدام الاحتياطي من الطاقة الحركية لدولاب الموازنة.

تُستخدم الحذافات الضخمة بشكل خاص في مصانع الدرفلة التي يقودها محرك كهربائي. فيما يلي وصف لإحدى هذه العجلات: "يبلغ قطر العجلة 3.5 متر وتزن عند السرعة العادية 600 دورة في الدقيقة، ويكون احتياطي الطاقة الحركية للعجلة كافياً عند لحظة دحرجة العجلة. مطحنة بقوة 20.000 لتر. مع. يتم تقليل الاحتكاك في المحامل إلى الحد الأدنى عن طريق الحكاية تحت الضغط، ومن أجل تجنب الآثار الضارة لقوى الطرد المركزي للقصور الذاتي، تتم موازنة العجلة بحيث يؤدي الحمل الواقع على محيط العجلة إلى إخراجها من السكون. "

دعونا نقدم (دون إجراء حسابات) قيم لحظات القصور الذاتي لبعض الأجسام (يفترض أن كل من هذه الأجسام لها نفس الكثافة في جميع مناطقها).

لحظة القصور الذاتي للحلقة الرفيعة بالنسبة لمحور يمر بمركزها وعمودي على مستواها (الشكل 55):

عزم القصور الذاتي لقرص دائري (أو أسطوانة) حول محور يمر بمركزه وعمودي على مستواه (لحظة القصور الذاتي القطبية للقرص؛ الشكل 56):

لحظة القصور الذاتي لقرص مستدير رفيع بالنسبة إلى محور يتطابق مع قطره (العزم الاستوائي للقصور الذاتي للقرص؛ الشكل 57):

عزم القصور الذاتي للكرة بالنسبة للمحور المار بمركز الكرة:

لحظة القصور الذاتي لطبقة كروية رقيقة نصف قطرها حول محور يمر عبر المركز:

لحظة القصور الذاتي لطبقة كروية سميكة (كرة مجوفة لها نصف قطر سطح خارجي ونصف قطر تجويف) حول محور يمر عبر المركز:

يتم حساب لحظات القصور الذاتي للأجسام باستخدام حساب التفاضل والتكامل. ولإعطاء فكرة عن تقدم مثل هذه الحسابات، دعونا نوجد عزم القصور الذاتي للقضيب بالنسبة للمحور العمودي عليه (الشكل 58). يجب أن يكون هناك مقطع عرضي للقضيب، الكثافة. دعونا نختار جزءًا صغيرًا أوليًا من القضيب، له طول ويقع على مسافة x من محور الدوران. ثم كتلته بما أنه على مسافة x من محور الدوران، فإن عزم القصور الذاتي الخاص به يتكامل على المدى من الصفر إلى I:

لحظة القصور الذاتي لمتوازي السطوح المستطيل بالنسبة لمحور التماثل (الشكل 59)

لحظة القصور الذاتي للحلقة (الشكل 60)

دعونا نفكر في كيفية ارتباط الطاقة الدورانية لجسم يتدحرج (دون انزلاق) على طول المستوى مع طاقة الحركة الانتقالية لهذا الجسم،

طاقة الحركة الانتقالية لجسم متدحرج تساوي حيث كتلة الجسم وسرعة الحركة الانتقالية. دعنا نشير إلى السرعة الزاوية لدوران الجسم المتدحرج ونصف قطر الجسم. من السهل أن نفهم أن سرعة الحركة الانتقالية لجسم يتدحرج دون انزلاق تساوي السرعة المحيطية للجسم عند نقاط اتصال الجسم بالمستوى (خلال الوقت الذي يقوم فيه الجسم بدورة واحدة، يكون المركز فإن جاذبية الجسم تتحرك مسافة

هكذا،

طاقة الدوران

لذلك،

وبالتعويض هنا بالقيم المذكورة أعلاه لعزوم القصور الذاتي نجد أن:

أ) طاقة الحركة الدورانية للطوق المتدحرج تساوي طاقة حركته الانتقالية؛

ب) الطاقة الدورانية للقرص المتجانس المتداول تساوي نصف طاقة الحركة الانتقالية؛

ج) الطاقة الدورانية للكرة المتجانسة المتدحرجة هي طاقة الحركة الانتقالية.

اعتماد لحظة القصور الذاتي على موضع محور الدوران.دع القضيب (الشكل 61) الذي مركز ثقله عند النقطة C يدور بسرعة زاوية (o حول المحور O، عموديًا على مستوى الرسم. لنفترض أنه خلال فترة زمنية معينة قد تحرك من موضعه لقد وصف A B إلى مركز الجاذبية قوسًا ويمكن اعتبار حركة القضيب هذه كما لو أن القضيب انتقل أولًا (أي بقي موازيًا لنفسه) إلى الموضع ثم دار حول C إلى الموضع دعنا نشير إلى (المسافة). مركز الجاذبية من محور الدوران) بمقدار أ، والزاوية بمقدار عندما يتحرك القضيب من الموضع أ ب إلى الموضع، فإن حركة كل من جزيئاته هي نفس حركة مركز الثقل، أي أنه تساوي أو للحصول على الحركة الفعلية للقضيب، يمكننا أن نفترض أن كلتا الحركتين المشار إليهما تحدثان في وقت واحد، ووفقًا لذلك، يمكن تقسيم الطاقة الحركية للقضيب الذي يدور بسرعة زاوية حول محور يمر عبر O إلى قسمين القطع.

المحاضرة 3. ديناميات الجسم الصلبة

الخطوط العريضة للمحاضرة

3.1. لحظة القوة.

3.2. المعادلات الأساسية للحركة الدورانية. لحظة من الجمود.

3.3. الطاقة الحركية للدوران.

3.4. لحظة الاندفاع. قانون الحفاظ على الزخم الزاوي.

3.5. التشبيه بين الحركة الانتقالية والدورانية.

لحظة القوة

دعونا نفكر في حركة جسم صلب حول محور ثابت. دع الجسم الصلب له محور دوران ثابت OO ( الشكل 3.1) ويتم تطبيق قوة تعسفية عليه.

أرز. 3.1

دعونا نقسم القوة إلى عنصرين للقوة، القوة تقع في مستوى الدوران، والقوة موازية لمحور الدوران. ثم سنقوم بتحليل القوة إلى عنصرين: - العمل على طول ناقل نصف القطر و - عمودي عليه.

ليست كل قوة تؤثر على الجسم تؤدي إلى دورانه. تخلق القوى ضغطًا على المحامل، لكنها لا تقوم بتدويرها.

قد تؤدي القوة أو لا تؤدي إلى اختلال توازن الجسم، اعتمادًا على مكان تأثيرها في ناقل نصف القطر. لذلك تم تقديم مفهوم عزم القوة حول المحور. لحظة قوةبالنسبة لمحور الدوران يسمى المنتج المتجه لمتجه نصف القطر والقوة.

يتم توجيه المتجه على طول محور الدوران ويتم تحديده بواسطة قاعدة المنتج المتقاطع أو قاعدة المسمار الأيمن أو قاعدة المثقاب.

معامل لحظة القوة

حيث α هي الزاوية بين المتجهات و .

من الشكل 3.1. انه واضح .

ص 0– أقصر مسافة من محور الدوران إلى خط عمل القوة تسمى كتف القوة . ومن ثم يمكن كتابة لحظة القوة

م = و ص 0 . (3.3)

من الشكل. 3.1.

أين F- إسقاط المتجه على الاتجاه المتعامد مع نصف القطر المتجه. في هذه الحالة، عزم القوة يساوي

. (3.4)

إذا كانت هناك عدة قوى تعمل على الجسم، فإن لحظة القوة الناتجة تساوي المجموع المتجه لحظات القوى الفردية، ولكن بما أن كل اللحظات يتم توجيهها على طول المحور، فيمكن استبدالها بمجموع جبري. تعتبر اللحظة موجبة إذا دارت الجسم في اتجاه عقارب الساعة وسالبة إذا دارت عكس اتجاه عقارب الساعة. إذا كانت جميع لحظات القوى () تساوي الصفر، فسيكون الجسم في حالة توازن.

يمكن إثبات مفهوم عزم الدوران باستخدام "ملف متقلب". يتم سحب بكرة الخيط من الطرف الحر للخيط ( أرز. 3.2).

أرز. 3.2

اعتمادًا على اتجاه شد الخيط، تدور البكرة في اتجاه أو آخر. إذا سحبت بزاوية α ، ثم عزم القوة حول المحور عن(عمودي على الشكل) يقوم بتدوير الملف عكس اتجاه عقارب الساعة ثم يتراجع. في حالة التوتر بزاوية β يتم توجيه عزم الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة وتتدحرج البكرة للأمام.

باستخدام حالة التوازن ()، من الممكن بناء آليات بسيطة تكون بمثابة "محولات" للقوة، أي. ومن خلال تطبيق قوة أقل، يمكنك رفع وتحريك أحمال بأوزان مختلفة. تعتمد الرافعات وعربات اليد وأنواع مختلفة من الكتل المستخدمة على نطاق واسع في البناء على هذا المبدأ. وللمحافظة على حالة التوازن في رافعات البناء لتعويض لحظة القوة الناتجة عن وزن الحمولة، يوجد دائما نظام من الأثقال الموازنة التي تخلق لحظة قوة للإشارة المعاكسة.

3.2. المعادلة الأساسية للدوران
الحركات. لحظة من الجمود

تخيل جسمًا صلبًا تمامًا يدور حول محور ثابت س(الشكل 3.3). دعونا نقسم هذا الجسم عقليًا إلى عناصر ذات كتل Δ م 1, Δ م 2, …, Δ م ن. عند تدويرها، ستصف هذه العناصر دوائر ذات أنصاف أقطار ص 1,ص 2 , …,ص ن. القوى تعمل على كل عنصر وفقا لذلك ف 1,ف 2 , …,الجبهة الوطنية. دوران الجسم حول محور سيحدث تحت تأثير عزم الدوران الكامل م.

م = م 1 + م 2 + … + م ن (3.4)

أين م 1 = ف 1 ص 1, م 2 = ف 2 ص 2, ..., م ن = ف ن ص ن

وفقا لقانون نيوتن الثاني، كل قوة F، يؤثر على عنصر الكتلة D م، يسبب تسريع هذا العنصر أ، أي.

ف أنا =د م أنا ط (3.5)

استبدال القيم المقابلة في (3.4) نحصل عليه

أرز. 3.3

معرفة العلاقة بين التسارع الزاوي الخطي ε () وأن التسارع الزاوي هو نفسه لجميع العناصر، فإن الصيغة (3.6) سيكون لها الشكل

م = (3.7)

=أنا (3.8)

أنا- عزم القصور الذاتي للجسم بالنسبة للمحور الثابت.

ثم سوف نحصل

م = أنا ε (3.9)

أو في شكل ناقلات

(3.10)

هذه المعادلة هي المعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية. وهي مشابهة في الشكل للمعادلة الثانية من قانون نيوتن. من (3.10) عزم القصور الذاتي يساوي

وبالتالي، فإن عزم القصور الذاتي لجسم ما هو نسبة عزم القوة إلى التسارع الزاوي الذي تسببه. يتضح من (3.11) أن عزم القصور الذاتي هو مقياس لقصور الجسم بالنسبة للحركة الدورانية. تلعب لحظة القصور الذاتي نفس دور الكتلة في الحركة الانتقالية. وحدة si [ أنا] = كجم م2. من الصيغة (3.7) يترتب على ذلك أن لحظة القصور الذاتي تميز توزيع كتل جزيئات الجسم بالنسبة لمحور الدوران.

لذا فإن عزم القصور الذاتي لعنصر كتلته ∆m يتحرك في دائرة نصف قطرها r يساوي

أنا = ص 2د م (3.12)

أنا= (3.13)

في حالة التوزيع الكتلي المستمر، يمكن استبدال المجموع بالتكامل

أنا= ∫ ص 2 دسم (3.14)

حيث يتم التكامل على كامل كتلة الجسم.

وهذا يدل على أن عزم القصور الذاتي للجسم يعتمد على الكتلة وتوزيعها بالنسبة لمحور الدوران. ويمكن إثبات ذلك تجريبيا ( الشكل 3.4).

أرز. 3.4

تبدأ أسطوانتين دائريتين، إحداهما مجوفة (معدنية على سبيل المثال)، والأخرى صلبة (خشبية) بنفس الطول ونصف القطر والكتلة في التدحرج في وقت واحد. سوف تتخلف الأسطوانة المجوفة، التي تتمتع بعزم قصور ذاتي كبير، عن الأسطوانة الصلبة.

يمكن حساب لحظة القصور الذاتي إذا كانت الكتلة معروفة موتوزيعها بالنسبة لمحور الدوران. أبسط حالة هي الحلقة، عندما تكون جميع عناصر الكتلة متساوية من محور الدوران ( أرز. 3.5):

أنا = (3.15)

أرز. 3.5

دعونا نقدم تعبيرات عن لحظات القصور الذاتي لمختلف الأجسام المتناظرة ذات الكتلة م.

1. لحظة من الجمود خواتم, اسطوانة مجوفة ذات جدران رقيقةنسبة إلى محور الدوران الموافق لمحور التماثل.

, (3.16)

ص- نصف قطر الحلقة أو الاسطوانة

2. بالنسبة للأسطوانة والقرص الصلبين، عزم القصور الذاتي حول محور التماثل

(3.17)

3. عزم القصور الذاتي للكرة حول محور يمر بالمركز

(3.18)

ص- نصف قطر الكرة

4. عزم القصور الذاتي لقضيب رفيع بطول طويل لنسبة إلى محور عمودي على القضيب ويمر بمنتصفه

(3.19)

ل- طول القضيب .

إذا كان محور الدوران لا يمر عبر مركز الكتلة، فإن لحظة القصور الذاتي للجسم بالنسبة لهذا المحور يتم تحديدها بواسطة نظرية شتاينر.

(3.20)

وفقا لهذه النظرية، لحظة القصور الذاتي حول محور تعسفي O'O' ( ) تساوي عزم القصور الذاتي حول محور موازي يمر بمركز كتلة الجسم ( ) بالإضافة إلى حاصل ضرب كتلة الجسم في مربع المسافة أبين المحاور ( أرز. 3.6).

أرز. 3.6

الطاقة الحركية للدوران

دعونا نفكر في دوران جسم جامد تمامًا حول محور ثابت OO بسرعة زاوية ω (أرز. 3.7). دعونا كسر الجسم الصلب إلى نالجماهير الأولية ∆ م ط. يدور كل عنصر من عناصر الكتلة على طول دائرة نصف قطرها ص طبالسرعة الخطية (). تتكون الطاقة الحركية من الطاقات الحركية للعناصر الفردية.

(3.21)

أرز. 3.7

ولنتذكر من (3.13) ذلك - لحظة القصور الذاتي بالنسبة لمحور OO.

وبالتالي الطاقة الحركية لجسم دوار

ه ك = (3.22)

لقد أخذنا في الاعتبار الطاقة الحركية للدوران حول محور ثابت. إذا كان الجسم متورطًا في حركتين: حركة انتقالية ودورانية، فإن الطاقة الحركية للجسم تتكون من الطاقة الحركية للحركة الانتقالية والطاقة الحركية للدوران.

على سبيل المثال، كرة من الكتلة ملفات؛ يتحرك مركز كتلة الكرة بشكل انتقالي بسرعة ش (أرز. 3.8).

أرز. 3.8

الطاقة الحركية الكلية للكرة ستكون مساوية لـ

(3.23)

3.4. لحظة الاندفاع. قانون الحفظ
الزخم الزاوي

الكمية الفيزيائية تساوي حاصل ضرب لحظة القصور الذاتي أناإلى السرعة الزاوية ω ، يسمى الزخم الزاوي (الزخم الزاوي) لنسبة إلى محور الدوران.

– الزخم الزاوي هو كمية متجهة واتجاهها يتوافق مع اتجاه السرعة الزاوية.

وبالتفاضل معادلة (3.24) بالنسبة للزمن نحصل على ذلك

أين، م- اللحظة الإجمالية للقوى الخارجية. في النظام المعزول لا توجد لحظة قوى خارجية ( م=0) و

دعونا نفكر أولًا في جسم صلب يدور حول محور ثابت OZ بسرعة زاوية ω (الشكل 5.6). دعونا نقسم الجسم إلى كتل أولية. السرعة الخطية للكتلة الأولية تساوي حيث بعدها عن محور الدوران. الطاقة الحركية أنا- تلك الكتلة الأولية ستكون مساوية

.

وبالتالي فإن الطاقة الحركية للجسم كله تتكون من الطاقات الحركية لأجزائه

.

وباعتبار أن المجموع على الجانب الأيمن من هذه العلاقة يمثل عزم القصور الذاتي للجسم بالنسبة لمحور الدوران، فإننا نحصل أخيرًا على

. (5.30)

تتشابه صيغ الطاقة الحركية لجسم دوار (5.30) مع الصيغ المقابلة للطاقة الحركية للحركة الانتقالية للجسم. ويتم الحصول عليها من الأخير عن طريق بديل رسمي .

في الحالة العامة، يمكن تمثيل حركة الجسم الصلب كمجموع حركات - انتقالية بسرعة تساوي سرعة مركز كتلة الجسم، ودوران بسرعة زاوية حول محور لحظي يمر عبر مركز الكتلة. في هذه الحالة، يأخذ التعبير عن الطاقة الحركية للجسم الشكل

.

دعونا الآن نوجد الشغل الذي تبذله القوى الخارجية أثناء دوران جسم صلب. العمل الأولي للقوى الخارجية في الوقت المناسب dtسيكون مساوياً للتغير في الطاقة الحركية للجسم

وبأخذ التفاضل من الطاقة الحركية للحركة الدورانية، نجد مقدار الزيادة فيها

.

وفقا للمعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية

مع الأخذ في الاعتبار هذه العلاقات، فإننا نختصر التعبير عن العمل الأولي في النموذج

أين هو إسقاط اللحظة الناتجة للقوى الخارجية على اتجاه محور الدوران OZ، هي زاوية دوران الجسم خلال الفترة الزمنية المدروسة.

بالتكامل (5.31) نحصل على صيغة عمل القوى الخارجية المؤثرة على جسم دوار

إذا، فسيتم تبسيط الصيغة

وبالتالي، فإن عمل القوى الخارجية أثناء دوران جسم صلب بالنسبة لمحور ثابت يتحدد من خلال تأثير لحظة هذه القوى على هذا المحور.

جيروسكوب

الجيروسكوب عبارة عن جسم متماثل يدور بسرعة، ويمكن لمحور دورانه أن يغير اتجاهه في الفضاء. بحيث يمكن لمحور الجيروسكوب أن يدور بحرية في الفضاء، يتم وضع الجيروسكوب في ما يسمى بنظام التعليق المحوري (الشكل 5.13). تدور دولاب الموازنة الجيروسكوبي في الحلقة الداخلية حول المحور C1C2 مروراً بمركز ثقلها. يمكن للحلقة الداخلية بدورها أن تدور في الحلقة الخارجية حول المحور B 1 B 2 المتعامد مع C 1 C 2. أخيرًا، يمكن للسباق الخارجي أن يدور بحرية في محامل الدعامة حول المحور A 1 A 2، المتعامد مع المحورين C 1 C 2 و B 1 B 2. تتقاطع المحاور الثلاثة عند نقطة ثابتة O تسمى مركز التعليق أو نقطة ارتكاز الجيروسكوب. يتمتع الجيروسكوب الموجود في المحور المحوري بثلاث درجات من الحرية، وبالتالي يمكنه إجراء أي دوران حول مركز المحور المحوري. إذا كان مركز تعليق الجيروسكوب يتطابق مع مركز ثقله، فإن لحظة الجاذبية الناتجة لجميع أجزاء الجيروسكوب بالنسبة إلى مركز التعليق تكون صفرًا. يسمى هذا الجيروسكوب متوازن.

ولنتناول الآن أهم خصائص الجيروسكوب الذي وجد استخدامه واسع الانتشار في مختلف المجالات.

1) الاستقرار.

بالنسبة لأي دوران للجيروسكوب المتوازن، يظل محور دورانه دون تغيير في الاتجاه بالنسبة للنظام المرجعي المختبري. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن عزم جميع القوى الخارجية، المساوية لعزم قوى الاحتكاك، صغير جدًا ولا يتسبب عمليًا في تغيير الزخم الزاوي للجيروسكوب، أي.

وبما أن الزخم الزاوي موجه على طول محور دوران الجيروسكوب، فيجب أن يظل اتجاهه دون تغيير.

إذا أثرت القوة الخارجية لفترة قصيرة، فإن التكامل الذي يحدد الزيادة في الزخم الزاوي سيكون صغيرًا

. (5.34)

وهذا يعني أنه في ظل التأثيرات قصيرة المدى حتى للقوى الكبيرة، فإن حركة الجيروسكوب المتوازن تتغير قليلاً. يبدو أن الجيروسكوب يقاوم أي محاولات لتغيير حجم واتجاه زخمه الزاوي. ويرجع ذلك إلى الثبات الملحوظ الذي تكتسبه حركة الجيروسكوب بعد إدخاله في الدوران السريع. تُستخدم خاصية الجيروسكوب هذه على نطاق واسع للتحكم تلقائيًا في حركة الطائرات والسفن والصواريخ والأجهزة الأخرى.

إذا تم التأثير على الجيروسكوب لفترة طويلة من خلال لحظة قوى خارجية ثابتة في الاتجاه، فإن محور الجيروسكوب يتم ضبطه في النهاية في اتجاه عزم القوى الخارجية. يتم استخدام هذه الظاهرة في البوصلة الجيروسكوبية. هذا الجهاز عبارة عن جيروسكوب يمكن تدوير محوره بحرية في مستوى أفقي. بسبب الدوران اليومي للأرض وعمل لحظة قوى الطرد المركزي، يدور محور الجيروسكوب بحيث تصبح الزاوية بين و عند الحد الأدنى (الشكل 5.14). وهذا يتوافق مع موضع محور الجيروسكوب في مستوى الزوال.

2). تأثير الجيروسكوب.

إذا تم تطبيق زوج من القوى على جيروسكوب دوار، ويميل إلى تدويره حول محور عمودي على محور الدوران، فإنه سيبدأ في الدوران حول محور ثالث، عمودي على المحورين الأولين (الشكل 5.15). يُسمى هذا السلوك غير العادي للجيروسكوب بالتأثير الجيروسكوبي. يتم تفسير ذلك من خلال حقيقة أن عزم زوج القوى يتم توجيهه على طول المحور O 1 O 1 وأن ​​التغيير في المتجه حسب الحجم بمرور الوقت سيكون له نفس الاتجاه. ونتيجة لذلك، سوف يدور المتجه الجديد بالنسبة إلى المحور O 2 O 2. وبالتالي، فإن سلوك الجيروسكوب، غير الطبيعي للوهلة الأولى، يتوافق تمامًا مع قوانين ديناميكيات الحركة الدورانية

3). استباقية الجيروسكوب.

حركة الجيروسكوب هي الحركة المخروطية لمحوره. يحدث ذلك عندما تدور لحظة القوى الخارجية، التي تظل ثابتة في الحجم، في نفس الوقت مع محور الجيروسكوب، وتشكل معه زاوية قائمة طوال الوقت. لإثبات الحركة المسبقة، يمكن استخدام عجلة دراجة ذات محور ممتد يتم ضبطه على الدوران السريع (الشكل 5.16).

إذا كانت العجلة معلقة من الطرف الممتد للمحور، فإن محورها سيبدأ بالتحرك حول المحور الرأسي تحت تأثير وزنه. يمكن أيضًا أن يكون الجزء العلوي الذي يدور بسرعة بمثابة دليل على الحركة المسبقة.

دعونا نتعرف على أسباب مبادرة الجيروسكوب. لنفكر في جيروسكوب غير متوازن يمكن أن يدور محوره بحرية حول نقطة معينة O (الشكل 5.16). لحظة الجاذبية المطبقة على الجيروسكوب متساوية في الحجم

أين كتلة الجيروسكوب، هي المسافة من النقطة O إلى مركز كتلة الجيروسكوب، هي الزاوية التي يشكلها محور الجيروسكوب مع العمودي. يتم توجيه المتجه بشكل عمودي على المستوى الرأسي الذي يمر عبر محور الجيروسكوب.

تحت تأثير هذه اللحظة، سيحصل الزخم الزاوي للجيروسكوب (أصله عند النقطة O) على زيادة في الوقت المناسب، وسوف يدور المستوى الرأسي الذي يمر عبر محور الجيروسكوب بزاوية. يكون المتجه دائمًا متعامدًا على ، لذلك، دون تغيير في الحجم، يتغير المتجه في الاتجاه فقط. ومع ذلك، بعد فترة من الوقت الترتيب المتبادلالمتجهات وستكون هي نفسها كما كانت في اللحظة الأولى. ونتيجة لذلك، سوف يدور محور الجيروسكوب بشكل مستمر حول الوضع الرأسي، ويصف المخروط. هذه الحركة تسمى المبادرة.

دعونا نحدد السرعة الزاوية للمبادرة. وفقًا للشكل 5.16، فإن زاوية دوران المستوى الذي يمر عبر محور المخروط ومحور الجيروسكوب تساوي

أين هو الزخم الزاوي للجيروسكوب، وما هو زيادته مع مرور الوقت.

بالقسمة على، مع مراعاة العلاقات والتحولات المذكورة، نحصل على السرعة الزاوية للمبادرة

. (5.35)

بالنسبة للجيروسكوبات المستخدمة في التكنولوجيا، تكون السرعة الزاوية للمبادرة أقل بملايين المرات من سرعة دوران الجيروسكوب.

وفي الختام نلاحظ أن ظاهرة المبادرة تلاحظ أيضا في الذرات بسبب الحركة المدارية للإلكترونات.

أمثلة على تطبيق قوانين الديناميكيات

أثناء الحركة الدورانية

1. دعونا نفكر في بعض الأمثلة على قانون الحفاظ على الزخم الزاوي، والذي يمكن تنفيذه باستخدام مقعد جوكوفسكي. في أبسط الحالات، فإن مقعد Zhukovsky عبارة عن منصة على شكل قرص (كرسي)، والتي يمكن أن تدور بحرية حول محور عمودي على محامل كروية (الشكل 5.17). يجلس المتظاهر أو يقف على مقاعد البدلاء، وبعد ذلك يتم تدويره. نظرًا لأن قوى الاحتكاك الناتجة عن استخدام المحامل صغيرة جدًا، فإن الزخم الزاوي للنظام المكون من مقعد وعارض بالنسبة لمحور الدوران لا يمكن أن يتغير بمرور الوقت إذا ترك النظام لأجهزته الخاصة . إذا كان المتظاهر يحمل دمبلًا ثقيلًا في يديه وينشر ذراعيه على الجانبين، فإنه سيزيد من عزم القصور الذاتي للنظام، وبالتالي يجب أن تنخفض السرعة الزاوية للدوران بحيث يظل الزخم الزاوي دون تغيير.

ووفقا لقانون حفظ الزخم الزاوي، قمنا بإنشاء معادلة لهذه الحالة

أين عزم القصور الذاتي للشخص والمقعد، وأين عزم القصور الذاتي للدمبل في الوضعين الأول والثاني، وأين السرعات الزاوية للنظام.

ستكون السرعة الزاوية لدوران النظام عند رفع الدمبل إلى الجانب مساوية

.

يمكن تحديد الشغل الذي يبذله الشخص عند تحريك الدمبل من خلال التغير في الطاقة الحركية للنظام

2. دعونا نجري تجربة أخرى مع مقعد جوكوفسكي. يجلس المتظاهر أو يقف على مقعد ويتم تسليمه عجلة تدور بسرعة ذات محور موجه رأسياً (الشكل 5.18). يقوم المتظاهر بعد ذلك بتدوير العجلة بمقدار 180 0 . في هذه الحالة، يتم نقل التغيير في الزخم الزاوي للعجلة بالكامل إلى المقعد والمتظاهر. ونتيجة لذلك، يبدأ المقعد، مع المتظاهر، في الدوران بسرعة زاوية محددة على أساس قانون الحفاظ على الزخم الزاوي.

يتم تحديد الزخم الزاوي للنظام في الحالة الأولية فقط من خلال الزخم الزاوي للعجلة ويساوي

أين عزم القصور الذاتي للعجلة، والسرعة الزاوية لدورانها؟

بعد تدوير العجلة بزاوية 1800، سيتم تحديد الزخم الزاوي للنظام من خلال مجموع الزخم الزاوي للمقعد مع الشخص والزخم الزاوي للعجلة. مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن ناقل الزخم الزاوي للعجلة قد تغير اتجاهه إلى العكس، وأصبح إسقاطه على المحور الرأسي سلبيا، نحصل على

,

أين هي لحظة القصور الذاتي لنظام "الشخص-المنصة"، وهي السرعة الزاوية لدوران المقعد مع الشخص.

وفقا لقانون الحفاظ على الزخم الزاوي

و .

ونتيجة لذلك، نجد سرعة دوران المقعد

3. قضيب رقيق من الكتلة موالطول ليدور بسرعة زاوية ω=10 s -1 في مستوى أفقي حول محور رأسي يمر بمنتصف القضيب. مع استمراره في الدوران في المستوى نفسه، يتحرك القضيب بحيث يمر محور الدوران عبر نهاية القضيب. أوجد السرعة الزاوية في الحالة الثانية.

في هذه المشكلة، نظرًا لحقيقة أن توزيع كتلة القضيب بالنسبة لمحور الدوران يتغير، فإن عزم القصور الذاتي للقضيب يتغير أيضًا. وفقا لقانون الحفاظ على الزخم الزاوي لنظام معزول، لدينا

هنا هي لحظة القصور الذاتي للقضيب بالنسبة للمحور الذي يمر عبر منتصف القضيب؛ هي لحظة القصور الذاتي للقضيب بالنسبة للمحور الذي يمر عبر نهايته والتي تم العثور عليها بواسطة نظرية شتاينر.

وبالتعويض بهذه العبارات في قانون حفظ الزخم الزاوي، نحصل على

,

.

4. طول القضيب ل= 1.5 م والكتلة م 1= 10 كجم معلقة من الطرف العلوي. رصاصة بكتلة م 2=10 g، ويطير أفقيًا بسرعة =500 m/s، ويعلق في القضيب. في أي زاوية سينحرف القضيب بعد الاصطدام؟

دعونا نتخيل في الشكل. 5.19. نظام الأجسام المتفاعلة "رصاصة قضيبية". لحظات القوى الخارجية (الجاذبية، رد الفعل المحوري) عند لحظة الارتطام تساوي صفر، لذا يمكننا استخدام قانون حفظ الزخم الزاوي

الزخم الزاوي للنظام قبل الاصطدام يساوي الزخم الزاوي للرصاصة بالنسبة إلى نقطة التعليق

يتم تحديد الزخم الزاوي للنظام بعد التأثير غير المرن بواسطة الصيغة

,

أين هي لحظة القصور الذاتي للقضيب بالنسبة إلى نقطة التعليق، هي لحظة القصور الذاتي للرصاصة، هي السرعة الزاوية للقضيب مع الرصاصة مباشرة بعد الاصطدام.

وبحل المعادلة الناتجة بعد التعويض نجد

.

دعونا الآن نستخدم قانون حفظ الطاقة الميكانيكية. دعونا نساوي الطاقة الحركية للقضيب بعد أن أصابته رصاصة الطاقة الكامنةفي أعلى نقطة من الارتفاع:

,

أين هو ارتفاع ارتفاع مركز كتلة هذا النظام.

بعد إجراء التحولات اللازمة، نحصل على

وترتبط زاوية انحراف القضيب بنسبة

.

بعد إجراء الحسابات، نحصل على =0.1p=18 0 .

5. تحديد تسارع الأجسام وشد الخيط على آلة أتوود بافتراض ذلك (شكل 5.20). لحظة القصور الذاتي للكتلة بالنسبة لمحور الدوران تساوي أنا، نصف قطر الكتلة ص. إهمال كتلة الخيط.

دعونا نرتب جميع القوى المؤثرة على الأحمال والكتلة، ونرسم لها معادلات ديناميكية

إذا لم يكن هناك انزلاق للخيط على طول الكتلة، فإن التسارع الخطي والزاوي يرتبطان ببعضهما البعض بالعلاقة

وبحل هذه المعادلات نحصل على

ثم نجد T 1 و T 2.

6. يتم ربط الخيط ببكرة صليب Oberbeck (الشكل 5.21) ، حيث يتم وزن الحمولة م= 0.5 كجم. حدد المدة التي يستغرقها سقوط الحمولة من ارتفاع ح= 1 م إلى الموضع السفلي. نصف قطر البكرة ص= 3 سم وزنها أربعة أوزان م= 250 جم لكل منهما على مسافة ر= 30 سم من محورها. يتم إهمال لحظة القصور الذاتي للصليب والبكرة نفسها مقارنة بعزم القصور الذاتي للأحمال.