يتم رسم المستوى ВСE (الشكل) من خلال الجانب ВС المتعامد مع الحافة AS. يتم قياس الزوايا ثنائية السطوح بين الوجوه الجانبية (جميعها متساوية) بالزاوية BEC = φ . وزن المثلث متساوي الساقين.

تحديد مساحة المقطع S والزاوية φ ، يكفي العثور على DE (D هو منتصف BC). للقيام بذلك، نجد بالتتابع BS (من المثلث BSD، حيث BD = أ / 2 و∠BSD = α / 2 ).

ثم BE (من المثلث BSE، حيث ∠BSE = α ) وأخيرًا DE=√BE 2 -BD 2 . نحن نحصل

ملاحظة 1 . يكون مجموع زوايا المستوى عند الرأس S دائمًا أقل من 360 درجة. لذلك 0<α <120°. При этом условии 2cos α / 2 > 1، أي المعادلة دائما لديه الحل.

ملاحظة 2 . لو α > 90 درجة، أي أن الزاوية ASB عند قمة الوجه الجانبي منفرجة، فإن الارتفاع BE للمثلث ASB سيتقاطع مع استمرار القاعدة، ولن يعطي المستوى BEC أي قسم من الهرم. وفي الوقت نفسه الصيغة

وبزاوية منفرجة α (أقل من 120 درجة، انظر الملاحظة 1) سوف تعطي قيمة معينة لـ S.

إجابة: φ = 2 قوس جا (1 / 2 ثانية α / 2 );

أمثلة مماثلة:

وفي قاعدة الهرم يوجد مستطيل. يبدو أحد الوجوه الجانبية مثلث متساوي الساقينوعمودي على القاعدة. وفي الوجه الآخر المقابل للوجه الأول توجد حواف جانبية متساوية ب ، يشكلون زاوية قياسها 2 فيما بينهم α ومائلاً إلى الوجه الأول بزاوية α . تحديد حجم الهرم والزاوية بين الوجهين المشار إليهما.

سأكون مختصرا. الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين تساوي الزاوية المحصورة بين متجهات اتجاههما. وبالتالي، إذا تمكنت من العثور على إحداثيات متجهات الاتجاه a = (x 1 ; y 1 ; z 1) و b = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2)، فيمكنك العثور على الزاوية. بتعبير أدق، جيب تمام الزاوية وفقا للصيغة:

دعونا نرى كيف تعمل هذه الصيغة باستخدام أمثلة محددة:

مهمة. في المكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1، تم تحديد النقطتين E و F - نقاط المنتصف للحواف A 1 B 1 و B 1 C 1 على التوالي. أوجد الزاوية بين الخطين AE وBF.

بما أن حافة المكعب لم يتم تحديدها، قمنا بتعيين AB = 1. نقدم النظام القياسيالإحداثيات: نقطة الأصل عند النقطة A، ويتم توجيه المحاور x وy وz على طول AB وAD وAA 1 على التوالي. قطعة الوحدة تساوي AB = 1. الآن دعونا نوجد إحداثيات متجهات الاتجاه لخطوطنا.

دعونا نجد إحداثيات المتجه AE. لهذا نحتاج إلى النقاط A = (0؛ 0؛ 0) و E = (0.5؛ 0؛ 1). وبما أن النقطة E هي منتصف القطعة A 1 B 1، فإن إحداثياتها تساوي الوسط الحسابي لإحداثيات الأطراف. لاحظ أن أصل المتجه AE يتزامن مع أصل الإحداثيات، لذلك AE = (0.5; 0; 1).

الآن دعونا نلقي نظرة على ناقل BF. وبالمثل، نقوم بتحليل النقاط B = (1؛ 0؛ 0) وF = (1؛ 0.5؛ 1)، لأن F هو منتصف القطعة B 1 C 1. لدينا:
BF = (1 − 1; 0.5 − 0; 1 − 0) = (0; 0.5; 1).

لذلك، ناقلات الاتجاه جاهزة. جيب تمام الزاوية بين الخطوط المستقيمة هو جيب تمام الزاوية بين متجهات الاتجاه، لذلك لدينا:

مهمة. في المنشور الثلاثي العادي ABCA 1 B 1 C 1، جميع حوافها تساوي 1، يتم وضع علامة على النقطتين D و E - نقاط المنتصف للحواف A 1 B 1 و B 1 C 1، على التوالي. أوجد الزاوية بين الخطين AD وBE.

دعونا نقدم نظام الإحداثيات القياسي: الأصل عند النقطة A، والمحور x موجه على طول AB، z - على طول AA 1. دعونا نوجه المحور الصادي بحيث يتزامن مستوى OXY مع مستوى ABC. قطعة الوحدة تساوي AB = 1. دعونا نوجد إحداثيات متجهات الاتجاه للخطوط المطلوبة.

أولاً، دعونا نوجد إحداثيات المتجه AD. خذ بعين الاعتبار النقاط: A = (0; 0; 0) و D = (0.5; 0; 1)، لأن د - منتصف القطعة أ 1 ب 1. وبما أن بداية المتجه AD تتزامن مع أصل الإحداثيات، فإننا نحصل على AD = (0.5; 0; 1).

الآن دعونا نجد إحداثيات المتجه BE. من السهل حساب النقطة B = (1؛ 0؛ 0). مع النقطة E - منتصف القطعة C 1 B 1 - يكون الأمر أكثر تعقيدًا بعض الشيء. لدينا:

يبقى العثور على جيب تمام الزاوية:

مهمة. في المنشور السداسي المنتظم ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ، جميع حوافها تساوي 1، تم تحديد النقطتين K و L - نقاط المنتصف للحواف A 1 B 1 و B 1 C 1 على التوالي . أوجد الزاوية بين الخطين AK و BL.

دعونا نقدم نظام إحداثيات قياسي للمنشور: نضع أصل الإحداثيات في مركز القاعدة السفلية، ويتم توجيه المحور x على طول FC، ويتم توجيه المحور y عبر نقاط المنتصف للقطاعين AB وDE، والمحور z يتم توجيه المحور عموديًا إلى الأعلى. قطعة الوحدة تساوي مرة أخرى AB = 1. فلنكتب إحداثيات النقاط التي تهمنا:

النقطتان K وL هما نقطتا المنتصف للقطعتين A 1 B 1 وB 1 C 1، على التوالي، لذا يمكن العثور على إحداثياتهما من خلال الوسط الحسابي. بمعرفة النقاط نجد إحداثيات متجهي الاتجاه AK و BL:

الآن دعونا نجد جيب تمام الزاوية:

مهمة. في هرم رباعي الزوايا منتظم SABCD، جميع حوافه تساوي 1، يتم وضع علامة على النقطتين E وF - نقاط المنتصف للجوانب SB وSC، على التوالي. أوجد الزاوية بين الخطين AE وBF.

دعونا نقدم نظام الإحداثيات القياسي: الأصل عند النقطة A، ويتم توجيه المحورين x وy على طول AB وAD، على التوالي، ويتم توجيه المحور z عموديًا إلى الأعلى. قطعة الوحدة تساوي AB = 1.

النقطتان E وF هما نقطتا المنتصف للقطاعين SB وSC، على التوالي، لذلك يتم العثور على إحداثياتهما على أنها الوسط الحسابي للنهايات. دعنا نكتب إحداثيات النقاط التي تهمنا:
أ = (0؛ 0؛ 0)؛ ب = (1؛ 0؛ 0)

بمعرفة النقاط نجد إحداثيات متجهي الاتجاه AE وBF:

تتطابق إحداثيات المتجه AE مع إحداثيات النقطة E، حيث أن النقطة A هي نقطة الأصل. يبقى العثور على جيب تمام الزاوية:

مهمة

حل.

دعونا نجد زاوية ميل الأضلاع إلى مستوى القاعدة.
لأنه في القاعدة الهرم المنتظميوجد شكل رباعي منتظم، فهو في هذه الحالة مربع. وبما أن ارتفاع الهرم يقع في مركز القاعدة، فهذه هي نقطة تقاطع الأقطار. من أين يأتي KN = a/2؟

المثلث OKN مستطيل، OK ارتفاعه يساوي 3a.
دعونا نجد ظل الزاوية KNO، التي تشير إلى أنها α.

Tg α = موافق / KN
تيراغرام α = 3أ / (أ/2) = 6
α = القطب الشمالي 6 ≈ 80.5377°

دعونا نجد زاوية ميل حافة الهرم.
قطر المربع الذي ضلعه a يساوي a√2. وبما أن الارتفاع يقع على مركز القاعدة، فإن الأقطار تنقسم إلى النصف عند هذه النقطة.

وهكذا ل مثلث قائم OKC ظل الزاوية KCO (دعنا نشير إليها بـ β) يساوي

Tg β = موافق / KC
tg β = 3a / (a√2/2) = 6 / √2
β = القطب الشمالي 6/√2 ≈ 76.7373°

إجابة: زاوية ميل الوجوه arctg 6 ≈ 80.5377°; زاوية ميل الأضلاع arctg 6/√2 ≈ 76.7373°