Dərsin məqsədi:

A) sadə triqonometrik tənlikləri həll etmək bacarığını gücləndirmək;

b) verilmiş intervaldan triqonometrik tənliklərin köklərini seçməyi öyrət

Dərslər zamanı.

1. Biliklərin yenilənməsi.

a) Ev tapşırığını yoxlamaq: sinifə təkmil verilir ev tapşırığı– tənliyi həll edin və verilmiş intervaldan kökləri seçmək yolunu tapın.

1) cos x= -0,5, burada xI [- ]. Cavab:.

2) günah x= , burada xI . Cavab: ; .

3) cos 2 x= -, burada xI. Cavab:

Şagirdlər həlli lövhəyə yazır, bəziləri qrafikdən, digərləri seçim metodundan istifadə edirlər.

Bu zaman sinif şifahi işləyir.

İfadənin mənasını tapın:

a) tg – sin + cos + sin. Cavab: 1.

b) 2arccos 0 + 3 arccos 1. Cavab: ?

c) arcsin + arcsin. Cavab:.

d) 5 arctg (-) – arccos (-). Cavab:-.

– Gəlin ev tapşırığını yoxlayaq, ev tapşırığı ilə dəftərlərinizi açaq.

Bəziləriniz seçim metodundan, bəziniz isə qrafikdən istifadə edərək həll yolu tapdınız.

2. Bu vəzifələrin həlli yolları haqqında nəticə və problemin ifadəsi, yəni dərsin mövzusu və məqsədinin ünsiyyəti.

– a) Böyük interval verilirsə, seçimdən istifadə etməklə həll etmək çətindir.

– b) Qrafik üsul dəqiq nəticə vermir, yoxlama tələb edir və çox vaxt aparır.

– Buna görə də, ən azı bir üsul daha olmalıdır, ən universalı – gəlin onu tapmağa çalışaq. Yaxşı, bu gün dərsdə nə edəcəyik? (Verilmiş intervalda triqonometrik tənliyin köklərini seçməyi öyrənin.)

– Misal 1. (Tələbə lövhəyə çıxır)

cos x= -0,5, burada xI [- ].

Sual: Bu tapşırığın cavabını nə müəyyənləşdirir? (Kimdən ümumi həll tənliklər Həllini yazaq ümumi görünüş). Həlli lövhədə yazılıb

x = + 2?k, burada k R.

– Bu həlli çoxluq şəklində yazaq:

– Sizcə, həllin hansı notasiyasında intervalda kök seçmək rahatdır? (ikinci girişdən). Amma bu yenə seçim üsuludur. Düzgün cavab almaq üçün nələri bilməliyik? (K-nın dəyərlərini bilməlisiniz).

(K-nı tapmaq üçün riyazi model yaradaq).

çünki kI Z, onda k = 0, deməli X= =	Bu bərabərsizlikdən aydın olur ki, k-nin tam qiymətləri yoxdur.

Nəticə: Triqonometrik tənliyi həll edərkən verilmiş intervaldan kökləri seçmək üçün sizə lazımdır:

1. formanın tənliyini həll etmək sin x = a, cos x = a Tənliyin köklərini iki sıra kök kimi yazmaq daha rahatdır.
2. formanın tənliklərini həll etmək tan x = a, ctg x = a köklərin ümumi düsturunu yazın.
3. hər bir həll üçün ikiqat bərabərsizlik şəklində riyazi model yaradın və k və ya n parametrinin tam qiymətini tapın.
4. bu dəyərləri kök düsturu ilə əvəz edin və onları hesablayın.

3. Konsolidasiya.

Nəticədə alqoritmdən istifadə edərək ev tapşırığından 2 və 3 nömrəli nümunəni həll edin. İki şagird eyni anda lövhədə işləyir, sonra işi yoxlayır.

A) 2(\sin x-\cos x)=tgx-1 tənliyini həll edin.

b) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].

Həllini göstərin

Həll

A) Mötərizənin açılması və bütün şərtlərin içərisinə köçürülməsi sol tərəf, 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0 tənliyini alırıq. \cos x \neq 0, 2 \sin x termininin 2 tan x \cos x ilə əvəz oluna biləcəyini nəzərə alsaq, tənliyi əldə edirik. 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, qruplaşdırmaqla (1-tg x)(1-2 \cos x)=0 formasına endirilə bilər.

1) 1-tq x=0, tan x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

b) Rəqəm dairəsindən istifadə edərək intervala aid kökləri seçin \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

Cavab verin

A) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

b) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.

Vəziyyət

A) Tənliyi həll edin (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

b) Bu tənliyin intervala aid olan köklərini göstərin \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;

Həllini göstərin

Həll

A) ODZ: \begin(hallar) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(hallar)

ODZ-dəki orijinal tənlik bir sıra tənliklərə bərabərdir

\left[\!\!\begin(massiv)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(massiv)\sağ.

Birinci tənliyi həll edək. Bunu etmək üçün bir əvəz edəcəyik \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Sonra \sin^24x=1-t^2. Biz əldə edirik:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].

\cos 4x=\frac12,

4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

İkinci tənliyi həll edək.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Vahid dairəsindən istifadə edərək ODZ-ni təmin edən həllər tapırıq.

“+” işarəsi tg x>0 olan 1-ci və 3-cü rübləri qeyd edir.

Alırıq: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

b) intervala aid olan kökləri tapaq \left(0;\,\frac(3\pi )2\right].

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).

Cavab verin

A) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

b) \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).

Mənbə: “Riyaziyyat. Vahid dövlət imtahanına hazırlıq 2017. Profil səviyyəsi." Ed. F. F. Lısenko, S. Yu.

Vəziyyət

A) Tənliyi həll edin: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

b) Aralığa aid bütün kökləri sadalayın \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\sağ].

Həllini göstərin

Həll

A)Çünki \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, Bu \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, Bu o deməkdir ki, verilmiş tənlik \cos^2x=\cos ^22x tənliyinə ekvivalentdir ki, bu da öz növbəsində \cos^2x-\cos ^2 2x=0 tənliyinə ekvivalentdir.

Amma \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) Və

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, beləliklə, tənlik olur

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Onda ya 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, ya da 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Birinci tənliyi \cos x üçün kvadrat tənlik kimi həll edərək, alırıq:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Buna görə də ya \cos x=1 və ya \cos x=-\frac12.Əgər \cos x=1, onda x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Əgər \cos x=-\frac12, Bu x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

Eynilə, ikinci tənliyi həll edərək, ya \cos x=-1, ya da alırıq \cos x=\frac12.Əgər \cos x=-1, onda köklər x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z.Əgər \cos x=\frac12, Bu x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Əldə edilən həlləri birləşdirək:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

b) Verilmiş intervala düşən kökləri ədəd dairəsindən istifadə edərək seçək.

Biz əldə edirik: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.

Cavab verin

A) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

b) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.

Mənbə: “Riyaziyyat. Vahid dövlət imtahanına hazırlıq 2017. Profil səviyyəsi." Ed. F. F. Lısenko, S. Yu.

Vəziyyət

A) Tənliyi həll edin 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

b) Bu tənliyin intervala aid olan köklərini göstərin \sol(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\sağ).

Həllini göstərin

Həll

A) 1. Azaltma düsturuna əsasən, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\sağ) =tgx. Tənliyin tərif sahəsi x-in elə qiymətləri olacaq ki, \cos x \neq 0 və tan x \neq -1 olsun. İki bucaqlı kosinus düsturundan istifadə edərək tənliyi çevirək 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Tənliyi alırıq: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

qeyd et ki \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), beləliklə tənlik belə olur: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). Buradan \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cos x+\sin x =\frac65.

2. Azaltma düsturu və kosinusların cəmi düsturundan istifadə edərək \sin x+\cos x-i çevirin: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\sağ), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\sağ)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\sağ) = \ frac65.

Buradan \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5. O deməkdir ki, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

və ya x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Buna görə də x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

və ya x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Tapılan x dəyərləri tərif sahəsinə aiddir.

b)Əvvəlcə k=0 və t=0-da tənliyin köklərinin hara düşdüyünü öyrənək. Bunlar müvafiq olaraq rəqəmlər olacaq a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5 Və b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. Köməkçi bərabərsizliyi sübut edək:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

Həqiqətən, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Onu da qeyd edin \left(\frac(3\sqrt 2)5\sağ) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, deməkdir \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. Bərabərsizliklərdən (1) Arkkosin xüsusiyyətinə görə alırıq:

arccos 1

0

Buradan \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

Eynilə, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

k=-1 və t=-1 üçün a-2\pi və b-2\pi tənliyinin köklərini alırıq.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg). Harada -2\pi

2\pi Bu o deməkdir ki, bu köklər verilmiş intervala aiddir \sol(-2\pi , -\frac(3\pi )2\sağ).

k və t-nin digər qiymətləri üçün tənliyin kökləri verilmiş intervala aid deyil.

Doğrudan da, k\geqslant 1 və t\geqslant 1 olarsa, köklər 2\pi-dən böyükdür. Əgər k\leqslant -2 və t\leqslant -2 olarsa, köklər daha kiçikdir. -\frac(7\pi )2.

Cavab verin

A) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

b) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

Mənbə: “Riyaziyyat. Vahid dövlət imtahanına hazırlıq 2017. Profil səviyyəsi." Ed. F. F. Lısenko, S. Yu.

Vəziyyət

A) Tənliyi həll edin \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

b) Bu tənliyin intervala aid olan bütün köklərini tapın;

Həllini göstərin

Həll

A) Tənliyi çevirək:

\cos x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0,

\sin x=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Vahid dairədən istifadə edərək seqmentə aid kökləri tapırıq.

Göstərilən interval bir ədəddən ibarətdir \frac\pi 2.

Cavab verin

A) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

b) \frac\pi 2.

Mənbə: “Riyaziyyat. Vahid dövlət imtahanına hazırlıq 2017. Profil səviyyəsi." Ed. F. F. Lısenko, S. Yu.

Vəziyyət

ODZ-yə daxil deyil.

O deməkdir ki, \sin x \neq 1.

Tənliyin hər iki tərəfini bir əmsala bölün (\sin x-1), sıfırdan fərqlidir. tənliyi alırıq \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), və ya tənlik 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Sol tərəfdə azalma düsturunu və sağda azalma düsturunu tətbiq edərək tənliyi əldə edirik. 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Bu tənlik əvəzetmə ilə olur \cos x=t, Harada -1 \leqslant t \leqslant 1 kvadrata endir: 2t^2+t-1=0, kimin kökləri t_1=-1 Və t_2=\frac12. x dəyişəninə qayıdaraq, alırıq \cos x = \frac12 və ya \cos x=-1, harada x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Gəlin bərabərsizlikləri həll edək

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56, -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\sol [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\sağ].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12, -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Aralıqda tam ədəd yoxdur \left[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\sağ].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Bu bərabərsizlik k=-1, onda x=-\pi ilə ödənilir.

Cavab verin

A) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;

b) -\pi .

Məcburi minimum bilik

sin x = a, -1 a 1 (a 1)
x = arcsin a + 2 n, n Z
x = - arcsin a + 2 n, n Z
və ya
x = (- 1)k arcsin a + k, k Z
arcsin (- a) = - arcsin a
günah x = 1
x = /2 + 2 k, k Z
sin x = 0
x = k, k Z
sin x = - 1
x = - /2 + 2 k, k Z
y
y
x
y
x
x

Məcburi minimum bilik

cos x = a, -1 a 1 (a 1)
x = arccos a + 2 n, n Z
arccos (- a) = - arccos a
cos x = 1
x = 2 k, k Z
cos x = 0
x = /2 + k, k Z
y
y
x
cos x = - 1
x = + 2 k, k Z
y
x
x

Məcburi minimum bilik

tg x = a, a R
x = arktan a + n, n Z
çarpayı x = a, a R
x = arcctg a + n, n Z
arctg (- a) = - arctg a
arctg (- a) = - arctg a Tənliyi bir funksiyaya endirin
Bir arqumentə qədər azaldın
Bəzi həll üsulları
triqonometrik tənliklər
Triqonometrik düsturların tətbiqi
Qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə
Faktorizasiya
sin x, cos x, tan x üçün kvadrat tənliyə endirilmə
Köməkçi arqument təqdim etməklə
Birinci dərəcəli homojen tənliyin hər iki tərəfini bölməklə
(asin x +bcosx = 0) cos x ilə
İkinci dərəcəli homojen tənliyin hər iki tərəfini bölmək yolu ilə
(a sin2 x +bsin x cos x+ c cos2x =0) ilə cos2 x

Şifahi Təlimlər Hesablayın

arcsin ½
arcsin (- √2/2)
arccos √3/2
arccos (-1/2)
arktan √3
arktan (-√3/3)
= /6
= - /4
= /6
= - arccos ½ = - /3 = 2 /3
= /3
= - /6

(triqonometrik dairədən istifadə etməklə)
cos 2x = ½, x [- /2; 3 /2]
2x = ± arccos ½ + 2 n, n Z
2x = ± /3 + 2 n, n Z
x = ± /6 + n, n Z
Triqonometrik dairədən istifadə edərək kökləri seçək
Cavab: - /6; /6; 5/6; 7 /6

Kök seçiminin müxtəlif üsulları

Verilmiş intervala aid olan tənliyin köklərini tapın
sin 3x = √3/2, x [- /2; /2]
3x = (– 1)k /3 + k, k Z
x = (– 1)k /9 + k/3, k Z
k-nin dəyərlərini sadalayaraq kökləri seçək:
k = 0, x = /9 – intervala aiddir
k = 1, x = – /9 + /3 = 2 /9 – intervalına aiddir
k = 2, x = /9 + 2 /3 = 7 /9 – intervala aid deyil
k = – 1, x = – /9 – /3 = – 4 /9 – intervalına aiddir
k = – 2, x = /9 – 2 /3 = – 5 /9 – intervala aid deyil
Cavab: -4 /9; /9; 2 /9

Kök seçiminin müxtəlif üsulları

Verilmiş intervala aid olan tənliyin köklərini tapın
(bərabərsizlikdən istifadə etməklə)
tg 3x = – 1, x (- /2;)
3x = – /4 + n, n Z
x = – /12 + n/3, n Z
Bərabərsizlikdən istifadə edərək kökləri seçək:
– /2 < – /12 + n/3 < ,
– 1/2 < – 1/12 + n/3 < 1,
– 1/2 + 1/12 < n/3 < 1+ 1/12,
– 5/12 < n/3 < 13/12,
– 5/4 < n < 13/4, n Z,
n = – 1; 0; 1; 2; 3
n = – 1, x = – /12 – /3 = – 5 /12
n = 0, x = – /12
n = 1, x = – /12 + /3 = /4
n = 2, x = – /12 + 2 /3 = 7 /12
n = 3, x = – /12 + = 11 /12
Cavab: – 5 /12; - /12; /4; 7 /12; 11/12

10. Kök seçiminin müxtəlif üsulları

Verilmiş intervala aid olan tənliyin köklərini tapın
(qrafikdən istifadə etməklə)
cos x = – √2/2, x [–4; 5 /4]
x = arccos (– √2/2) + 2 n, n Z
x = 3 /4 + 2 n, n Z
Qrafikdən istifadə edərək kökləri seçək:
x = – /2 – /4 = – 3 /4; x = – – /4 = – 5 /4
Cavab: 5/4; 3/4

11. 1. 72cosx = 49sin2x tənliyini həll edin və onun köklərini [ seqmentində göstərin; 5/2]

1. 72cosx = 49sin2x tənliyini həll edin
və onun köklərini seqmentdə göstərin [; 5 /2]
Tənliyi həll edək:
72cosx = 49sin2x,
72cosx = 72sin2x,
2cos x = 2sin 2x,
cos x – 2 sinx cosx = 0,
cos x (1 – 2sinx) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + k, k Z
və ya
1 – 2sinx = 0,
sin x = ½,
x = (-1)n /6 + n, n Z
İstifadə edərək kökləri seçək
triqonometrik dairə:
x = 2 + /6 = 13 /6
Cavab:
a) /2 + k, k Z, (-1)n /6 + n, n Z
b) 3/2; 5/2; 13/6

12. 2. 4cos2 x + 8 cos (x – 3/2) +1 = 0 tənliyini həll edin seqmentdə onun köklərini tapın.

2. 4cos2 x + 8 cos (x – 3 /2) +1 = 0 tənliyini həll edin
Seqmentdə onun köklərini tapın
4cos2 x + 8 cos (x – 3 /2) +1 = 0
4cos2x + 8 cos (3 /2 – x) +1 = 0,
4cos2x – 8 sin x +1 = 0,
4 – 4sin2 x – 8 sin x +1 = 0,
4sin 2x + 8sin x – 5 = 0,
D/4 = 16 + 20 = 36,
sin x = – 2.5
və ya
sin x = ½
x = (-1)k /6 + k, k Z

13. Seqmentdə kökləri seçək (qrafiklərdən istifadə etməklə)

Seqmentdə kökləri seçək
(qrafiklərdən istifadə etməklə)
sin x = ½
y = sin x və y = ½ funksiyalarının qrafikini çəkək
x = 4 + /6 = 25 /6
Cavab: a) (-1)k /6 + k, k Z; b) 25 /6

14. 3. Tənliyi həll edin Onun köklərini seqmentdə tapın

4 – cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
4 (sin2 2x + cos2 2x) – cos2 2x = 3 sin2 2x + 4 sin 2x cos 2x,
sin2 2x + 3 cos2 2x – 4 sin 2x cos 2x = 0
cos2 2x = 0 olarsa, sin2 2x = 0 olar ki, bu qeyri-mümkündür, deməli
cos2 2x 0 və tənliyin hər iki tərəfi cos2 2x-ə bölünə bilər.
tg22x + 3 – 4 tg 2x = 0,
tg22x – 4 tq 2x + 3= 0,
tan 2x = 1,
2x = /4 + n, n Z
x = /8 + n/2, n Z
və ya
tan 2x = 3,
2x = arktan 3 + k, k Z
x = ½ arktan 3 + k/2, k Z

15.

4 – cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
x = /8 + n/2, n Z və ya x = ½ arktan 3 + k/2, k Z
0-dan< arctg 3< /2,
0 < ½ arctg 3< /4, то ½ arctg 3
həll yoludur
0-dan< /8 < /4 < 1,значит /8
həm də həll yoludur
Digər həllər daxil edilməyəcək
Onlardan bəri boşluq
½ arktan 3 və /8 ədədlərindən alınır
/2-nin qatları olan ədədlərin əlavə edilməsi.
Cavab: a) /8 + n/2, n Z ; ½ arktan 3 + k/2, k Z
b) /8; ½ arktan 3

16. 4. log5(cos x – sin 2x + 25) = 2 tənliyini həll edin seqmentdə onun köklərini tapın.

4. log5(cos x – sin 2x + 25) = 2 tənliyini həll edin
Seqmentdə onun köklərini tapın
Tənliyi həll edək:
log5(cos x – sin 2x + 25) = 2
ODZ: cos x – sin 2x + 25 > 0,
cos x – sin 2x + 25 = 25, 25 > 0,
cos x – 2sin x cos x = 0,
cos x (1 – 2sin x) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + n, n Z
və ya
1 – 2sinx = 0,
sin x = 1/2
x = (-1)k /6 + k, k Z

17.

Bir seqmentdə kökləri seçək
Seqmentdə kökləri seçək:
1) x = /2 + n, n Z
2 /2 + n 7 /2, n Z
2 1/2 + n 7/2, n Z
2 – ½ n 7/2 – ½, n Z
1,5 n 3, n Z
n = 2; 3
x = /2 + 2 = 5 /2
x = /2 + 3 = 7 /2
2) sin x = 1/2
x = 2 + /6 = 13 /6
x = 3 – /6 = 17 /6
Cavab: a) /2 + n, n Z ; (-1)k /6 + k, k Z
b) 13/6; 5/2; 7/2; 17/6

18. 5. 1/sin2x + 1/sin x = 2 tənliyini həll edin [-5/2 seqmentində onun köklərini tapın; -3/2]

5. 1/sin2x + 1/sin x = 2 tənliyini həll edin
Seqmentdə onun köklərini tapın [-5 /2; -3 /2]
Tənliyi həll edək:
1/sin2x + 1/sin x = 2
x k
Əvəz 1/sin x = t,
t2 + t = 2,
t2 + t – 2 = 0,
t1= – 2, t2 = 1
1/sin x = – 2,
sin x = – ½,
x = – /6 + 2 n, n Z
və ya
x = – 5 /6 + 2 n, n Z
1/sin x = 1,
günah x = 1,
x = /2 + 2 n, n Z
Bu kök seriyası xaric edilir, çünki -150º+ 360ºn hüdudlardan kənardır
müəyyən edilmiş interval [-450º; -270º]

19.

Seqmentdə kök seçməyə davam edək
Qalan kök seriyalarını nəzərdən keçirək və köklərin seçimini aparaq
seqmentdə [-5 /2; -3 /2] ([-450º; -270º]):
1) x = - /6 + 2 n, n Z
2) x = /2 + 2 n, n Z
-5 /2 - /6 + 2 n -3 /2, n Z
-5 /2 /2 + 2 n -3 /2, n Z
-5/2 -1/6 + 2n -3/2, n Z
-5/2 1/2 + 2n -3/2, n Z
-5/2 +1/6 2n -3/2 + 1/6, n Z
-5/2 - 1/2 2n -3/2 - 1/2, n Z
– 7/3 2n -4/3, n Z
– 3 2n -2, n Z
-7/6 n -2/3, n Z
-1,5 n -1 n Z
n = -1
n = -1
x = - /6 - 2 = -13 /6 (-390º)
x = /2 - 2 = -3 /2 (-270º)
Cavab: a) /2 + 2 n, n Z ; (-1)k+1 /6 + k, k Z
b) -13 /6; -3 /2

20. 6. |sin x|/sin x + 2 = 2cos x tənliyini həll edin [-1] seqmentində onun köklərini tapın; 8]

Gəlin tənliyi həll edək
|sin x|/sin x + 2 = 2cos x
1)Sin x >0 olarsa, o zaman |sin x| =sin x
Tənlik aşağıdakı formanı alacaq:
2 cos x=3,
cos x =1.5 – kökləri yoxdur
2) Əgər günah x<0, то |sin x| =-sin x
və tənlik formasını alacaq
2cos x=1, cos x = 1/2,
x = ±π/3 +2πk, k Z
Bu günahı nəzərə alaraq x< 0, то
bir sıra cavablar qalıb
x = - π/3 +2πk, k Z
üçün kökləri seçək
seqment [-1; 8]
k=0, x= - π/3 , - π< -3, - π/3 < -1,
-π/3 buna aid deyil
seqment
k=1, x = - π/3 +2π = 5π/3<8,
5 π/3 [-1; 8]
k=2, x= - π/3 + 4π = 11π/3 > 8,
11π/3 buna aid deyil
seqment.
Cavab: a) - π/3 +2πk, k Z
b) 5
π/3

21. 7. 4sin3x=3cos(x- π/2) tənliyini həll edin intervalda onun köklərini tapın.

8. √1-sin2x= sin x tənliyini həll edin
Onun köklərini intervalda tapın
√1-sin2x= sin x tənliyini həll edək.
sin x ≥ 0,
1- sin2x = sin2x;
sin x ≥ 0,
2sin2x = 1;
sin x≥0,
sin x =√2/2; sin x = - √2/2;
sin x =√2/2
x=(-1)k /4 + k, k Z
sin x =√2/2

25. Seqmentdə kökləri seçək

Bir seqmentdə kökləri seçək
x=(-1)k /4 + k, k Z
sin x =√2/2
y =sin x və y=√2/2
5 /2 + /4 = 11 /4
Cavab: a) (-1)k /4 + k, k Z b) 11 /4

26. 9. (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0 tənliyini həll edin [-5 intervalında onun köklərini tapın; -7/2]

9. (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0 tənliyini həll edin
[-5] intervalında onun köklərini tapın; -7 /2]
Gəlin tənliyi həll edək
(sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0.
1) ODZ: cos x<0 ,
/2 +2 n 2) sin2x + 2 sin2x =0,
2 sinx∙cos x + 2 sin2x =0,
sin x (cos x+ sin x) =0,
sin x=0, x= n, n Z
və ya
cos x+ sin x=0 | : cos x,
tan x= -1, x= - /4 + n, n Z
DL nəzərə alınmaqla
x= n, n Z, x= +2 n, n Z;
x= - /4 + n, n Z,
x= 3 /4 + 2 n, n Z

27. Verilmiş seqmentdə kökləri seçək

Verilənlərə kökləri seçək
seqment [-5; -7 /2]
x= +2 n, n Z ;
-5 ≤ +2 n ≤ -7 /2,
-5-1 ≤ 2n ≤ -7/2-1,
-3≤ n ≤ -9/4, n Z
n = -3, x= -6 = -5
x= 3 /4 + 2 n, n Z
-5 ≤ 3 /4 + 2 n ≤ -7 /2
-23/8 ≤ n ≤ -17/8, belə bir şey yoxdur
bütöv n.
Cavab: a) +2 n, n Z ;
3 /4 + 2 n, n Z ;
b) -5.

28. 10. 2sin2x =4cos x –sinx+1 tənliyini həll edin [/2 intervalında onun köklərini tapın; 3/2]

10. 2sin2x =4cos x –sinx+1 tənliyini həll edin
[ /2 intervalında onun köklərini tapın; 3 /2]
Gəlin tənliyi həll edək
2sin2x = 4cos x – sinx+1
2sin2x = 4cos x – sinx+1,
4 sinx∙cos x – 4cos x + sin x -1 = 0,
4cos x(sin x – 1) + (sin x – 1) = 0,
(sin x – 1)(4cos x +1)=0,
sin x – 1= 0, sin x = 1, x = /2+2 n, n Z
və ya
4cos x +1= 0, cos x = -0,25
x = ± (-arccos (0.25)) + 2 n, n Z
Bu tənliyin köklərini başqa cür yazaq
x = - arccos(0.25) + 2 n,
x = -(- arccos(0.25)) + 2 n, n Z

29. Dairədən istifadə edərək kökləri seçək

x = /2+2 n, n Z, x = /2;
x = -arccos(0.25)+2 n,
x=-(-arccos(0.25)) +2 n, n Z,
x = - arccos (0,25),
x = + arccos(0,25)
Cavab: a) /2+2 n,
-arccos(0,25)+2 n,
-(-arccos(0.25)) +2 n, n Z;
b) /2;
-arccos (0,25); +arccos(0,25)

a) Tənliyi həll edin: .

b) Bu tənliyin seqmentə aid olan bütün köklərini tapın.

Problemin həlli

Bu dərsdə riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanına hazırlaşarkən C1 tipli problemlərin həlli üçün nümunə kimi istifadə edilə bilən triqonometrik tənliyin həlli nümunəsi müzakirə olunur.

Hər şeydən əvvəl, funksiyanın əhatə dairəsi müəyyən edilir - arqumentin bütün etibarlı dəyərləri. Sonra həll zamanı azalma düsturundan istifadə edərək triqonometrik sinus funksiyası kosinusa çevrilir. Sonra, tənliyin bütün şərtləri onun sol tərəfinə köçürülür, burada ümumi amil mötərizədən çıxarılır. Hər bir amil sıfıra bərabərdir ki, bu da tənliyin köklərini təyin etməyə imkan verir. Sonra növbələr üsulundan istifadə edərək, müəyyən bir seqmentə aid olan köklər müəyyən edilir. Bunun üçün qurulmuş vahid dairədə verilmiş seqmentin sol sərhədindən sağa dönmə qeyd olunur. Sonra vahid dairədə tapılan köklər seqmentlərlə onun mərkəzinə bağlanır və bu seqmentlərin növbə ilə kəsişdiyi nöqtələr müəyyən edilir. Bu kəsişmə nöqtələri problemin ikinci hissəsinə istənilən cavabdır.