Mexanika.

Sual №1

İstinad sistemi. İnertial istinad sistemləri. Qalileonun nisbilik prinsipi - Eynşteynin.

İstinad çərçivəsi- bu, müəyyən bir cismin hərəkətinin və onunla əlaqəli koordinat sisteminin təsvir olunduğu cisimlərin məcmusudur.

İnertial istinad sistemi (IRS) sərbəst hərəkət edən cismin istirahət vəziyyətində və ya vahid düzxətli hərəkətdə olduğu sistemdir.

Galileo-Einstein nisbilik prinsipi- İstənilən inertial istinad sistemində bütün təbiət hadisələri eyni şəkildə baş verir və eyni riyazi formaya malikdir. Başqa sözlə, bütün İSO-lar bərabərdir.

Sual № 2

Hərəkət tənliyi. Sərt cismin hərəkət növləri. Kinematikanın əsas vəzifəsi.

Maddi nöqtənin hərəkət tənlikləri:

- hərəkətin kinematik tənliyi

Sərt bədən hərəkətinin növləri:

1) Tərcümə hərəkəti - bədəndə çəkilmiş istənilən düz xətt özünə paralel hərəkət edir.

2) Fırlanma hərəkəti - bədənin istənilən nöqtəsi bir dairədə hərəkət edir.

φ = φ(t)

Kinematikanın əsas vəzifəsi- bu, maddi nöqtənin sürətinin V = V(t) və koordinatlarının (və ya radius vektorunun) r = r(t) zamandan asılılığını onun a = a(t) sürətinin zamandan məlum asılılığından əldə etməkdir. və məlum ilkin şərtlər V 0 və r 0.

Sual № 7

Nəbz (Hərəkətin miqdarı) cismin mexaniki hərəkətinin ölçüsünü xarakterizə edən vektor fiziki kəmiyyətdir. Klassik mexanikada cismin impulsu kütlənin hasilinə bərabərdir m bu nöqtəni sürəti ilə v, impulsun istiqaməti sürət vektorunun istiqaməti ilə üst-üstə düşür:

IN nəzəri mexanika ümumiləşdirilmiş impulsümumiləşdirilmiş sürətə görə sistemin Laqranjianın qismən törəməsidir

Sistemin Laqranjianı bəzilərindən asılı deyilsə ümumiləşdirilmiş koordinatlar, sonra səbəbiylə Laqranj tənlikləri .

Sərbəst hissəcik üçün Laqranj funksiyası aşağıdakı formaya malikdir: , deməli:

Qapalı sistemin Laqranjianın kosmosdakı mövqeyindən müstəqilliyi xassədən irəli gəlir məkanın homojenliyi: yaxşı təcrid olunmuş sistem üçün onun davranışı onu kosmosda hara yerləşdirməyimizdən asılı deyil. By Noether teoremi Bu homojenlikdən bəzi fiziki kəmiyyətin saxlanması gəlir. Bu kəmiyyət impuls (adi, ümumiləşdirilməmiş) adlanır.

Klassik mexanikada, tam impuls sistemləri maddi nöqtələr maddi nöqtələrin kütlələrinin məhsullarının cəminə və onların sürətinə bərabər olan vektor kəmiyyətidir:

müvafiq olaraq kəmiyyət bir maddi nöqtənin impulsu adlanır. Bu, hissəcik sürəti ilə eyni istiqamətə yönəlmiş vektor kəmiyyətidir. Beynəlxalq Vahidlər Sistemi (SI) impuls vahididir saniyədə kiloqram-metr(kq m/s)

Sonlu ölçülü bir cisimlə məşğul oluruqsa, onun təcilini müəyyən etmək üçün cismi maddi nöqtələr sayıla bilən və onların üzərində cəmlənə bilən kiçik hissələrə bölmək lazımdır, nəticədə əldə edirik:

Hər hansı bir xarici qüvvədən təsirlənməyən (və ya kompensasiya olunan) sistemin impulsu xilas oldu vaxtında:

Bu halda impulsun qorunması Nyutonun ikinci və üçüncü qanunlarından irəli gəlir: sistemi təşkil edən maddi nöqtələrin hər biri üçün Nyutonun ikinci qanununu yazmaqla və sistemi təşkil edən bütün maddi nöqtələr üzərində cəm etməklə, Nyutonun üçüncü qanunu əsasında bərabərlik əldə edirik (* ).

Relyativistik mexanikada qarşılıqlı təsir göstərməyən maddi nöqtələr sisteminin üçölçülü impulsu kəmiyyətdir.

,

Harada m i- çəki i ci maddi nöqtə.

Qarşılıqlı təsir göstərməyən maddi nöqtələrin qapalı sistemi üçün bu dəyər saxlanılır. Bununla belə, üçölçülü impuls nisbi dəyişməz kəmiyyət deyil, çünki istinad çərçivəsindən asılıdır. Daha mənalı bir kəmiyyət, bir maddi nöqtə üçün təyin olunan dördölçülü impuls olacaqdır

Təcrübədə bir hissəciyin kütləsi, impulsu və enerjisi arasında aşağıdakı əlaqələr tez-tez istifadə olunur:

Prinsipcə, qarşılıqlı təsir göstərməyən maddi nöqtələr sistemi üçün onların 4-momentləri cəmlənir. Lakin relativistik mexanikada qarşılıqlı təsir göstərən hissəciklər üçün təkcə sistemi təşkil edən hissəciklərin impulsunu deyil, həm də onlar arasındakı qarşılıqlı təsir sahəsinin impulsunu nəzərə almaq lazımdır. Buna görə də, relativistik mexanikada daha çox mənalı kəmiyyət qorunma qanunlarını tam təmin edən enerji-momentum tensorudur.

Sual №8

Ətalət anı- skalyar fiziki kəmiyyət, cismin kütləsi onun ötürmə hərəkətində ətalət ölçüsü olduğu kimi, ox ətrafında fırlanma hərəkətində olan cismin ətalət ölçüsüdür. Bədəndə kütlələrin paylanması ilə xarakterizə olunur: ətalət anı elementar kütlələrin məhsullarının əsas dəstinə olan məsafələrinin kvadratı ilə cəminə bərabərdir.

Eksenel ətalət anı

Bəzi cisimlərin eksenel ətalət momentləri.

Ətalət anı mexaniki sistem sabit oxa nisbətən (“oxlu ətalət anı”) kəmiyyətdir J a, hamının kütlələrinin məhsullarının cəminə bərabərdir n sistemin maddi nöqtələri onların oxa olan məsafələrinin kvadratları ilə:

,

• m i- çəki i ci nöqtə,
• r i- məsafədən i ci oxa nöqtə.

Eksenel ətalət anı bədən J a cismin kütləsi onun ötürmə hərəkətində ətalət ölçüsü olduğu kimi, ox ətrafında fırlanma hərəkətində olan cismin ətalət ölçüsüdür.

,

• dm = ρ dV- bədən həcminin kiçik bir elementinin kütləsi dV,
• ρ - sıxlıq,
• r- elementdən məsafə dV ox a.

Əgər bədən homojendirsə, yəni onun sıxlığı hər yerdə eynidirsə, deməli

Düsturun törəməsi

dm və ətalət anları dJ i. Sonra

İncə divarlı silindr (halqa, halqa)

Düsturun törəməsi

Cismin ətalət anı onun tərkib hissələrinin ətalət anlarının cəminə bərabərdir. İncə divarlı silindri kütləsi olan elementlərə bölün dm və ətalət anları dJ i. Sonra

İncə divarlı silindrin bütün elementləri fırlanma oxundan eyni məsafədə olduğundan (1) düstur formaya çevrilir.

Ştayner teoremi

Ətalət anı bərk cismin hər hansı oxa nisbətən olması təkcə bədənin kütləsindən, formasından və ölçüsündən deyil, həm də bədənin bu oxa nisbətən mövqeyindən asılıdır. Ştayner teoreminə görə (Hüygens-Ştayner teoremi), ətalət anı bədən J ixtiyari oxa nisbətən cəminə bərabərdir ətalət anı bu bədən Jc baxılan oxa paralel bədənin kütlə mərkəzindən keçən oxa nisbətən və bədən kütləsinin məhsulu m məsafənin kvadratına d oxlar arasında:

Əgər cismin kütlə mərkəzindən keçən oxa nisbətən ətalət anı olarsa, ondan uzaqda yerləşən paralel oxa nisbətən ətalət anı bərabərdir.

,

ümumi bədən kütləsi haradadır.

Məsələn, çubuqun ucundan keçən oxa nisbətən ətalət anı bərabərdir:

Fırlanma enerjisi

Fırlanma hərəkətinin kinetik enerjisi- fırlanması ilə əlaqəli cismin enerjisi.

Cismin fırlanma hərəkətinin əsas kinematik xüsusiyyətləri onun bucaq sürəti (ω) və bucaq sürətlənməsidir. Fırlanma hərəkətinin əsas dinamik xüsusiyyətləri - z fırlanma oxuna nisbətən bucaq momentumu:

K z = İzω

və kinetik enerji

burada I z cismin fırlanma oxuna nisbətən ətalət momentidir.

Əsas ətalət oxları olan fırlanan molekulu nəzərdən keçirərkən oxşar nümunəyə rast gəlmək olar mən 1, mən 2 Və mən 3. Belə bir molekulun fırlanma enerjisi ifadə ilə verilir

Harada ω 1, ω 2, Və ω 3- bucaq sürətinin əsas komponentləri.

Ümumiyyətlə, bucaq sürəti ilə fırlanma zamanı enerji düsturla tapılır:

, Harada I- ətalət tensoru.

Sual № 9

İmpuls anı (bucaq impulsu, bucaq impulsu, orbital impuls, bucaq impulsu) fırlanma hərəkətinin miqdarını xarakterizə edir. Kütlənin nə qədər fırlanmasından, fırlanma oxuna nisbətən necə paylanmasından və fırlanmanın hansı sürətlə baş verməsindən asılı olan kəmiyyət.

Qeyd etmək lazımdır ki, burada rotasiya başa düşülür geniş mənada, təkcə bir ox ətrafında müntəzəm fırlanma kimi deyil. Məsələn, bir cisim hətta hərəkət xəttində olmayan ixtiyari xəyali nöqtəni keçərək düz xəttlə hərəkət etdikdə də onun bucaq momenti var. Faktiki fırlanma hərəkətini təsvir etməkdə bəlkə də ən böyük rolu bucaq momentumu oynayır. Bununla belə, daha geniş problemlər sinfi üçün son dərəcə vacibdir (xüsusilə problemin mərkəzi və ya eksenel simmetriya, ancaq bu hallarda deyil).

Bucaq impulsunun saxlanması qanunu(bucaq impulsunun saxlanma qanunu) - qapalı sistem üçün istənilən oxa nisbətən bütün bucaq impulsunun vektor cəmi sistemin tarazlığı vəziyyətində sabit qalır. Buna uyğun olaraq, qapalı sistemin bucaq impulsunun zamana görə hər hansı qeyri-törəmə ilə müqayisədə bucaq momenti qüvvənin momentidir:

Beləliklə, sistemin qapalı olması tələbi əsas (ümumi) momentin sıfıra bərabər olması tələbinə qədər zəiflədilə bilər. xarici qüvvələr:

zərrəciklər sisteminə tətbiq edilən qüvvələrdən birinin momenti haradadır. (Amma təbii ki, ümumiyyətlə, xarici qüvvələr yoxdursa, bu tələb də ödənilir).

Riyazi olaraq, bucaq impulsunun saxlanma qanunu fəzanın izotropiyasından, yəni ixtiyari bir bucaq vasitəsilə fırlanma ilə bağlı fəzanın dəyişməzliyindən irəli gəlir. İxtiyari sonsuz kiçik bucaqla fırlananda ədədi olan hissəciyin radius vektoru , sürəti isə - ilə dəyişəcək. Sistemin Laqranj funksiyası fəzanın izotropiyasına görə belə bir fırlanma ilə dəyişməyəcək. Buna görə də

Sabit ox ətrafında fırlanan sərt cismin kinetik enerjisini təyin edək. Bu cismi n maddi nöqtəyə bölək. Hər bir nöqtə xətti sürətlə hərəkət edir υ i =ωr i , sonra nöqtənin kinetik enerjisi

və ya

Fırlanan sərt cismin ümumi kinetik enerjisi onun bütün maddi nöqtələrinin kinetik enerjilərinin cəminə bərabərdir:

(3.22)

(J bədənin fırlanma oxuna nisbətən ətalət momentidir)

Bütün nöqtələrin trayektoriyaları paralel müstəvilərdə yerləşirsə (maili müstəvidən aşağı yuvarlanan silindr kimi, hər bir nöqtə öz müstəvisində hərəkət edir), bu düz hərəkət. Eyler prinsipinə görə, müstəvi hərəkət həmişə saysız-hesabsız üsullarla tərcümə və fırlanma hərəkətinə parçalana bilər. Bir top meylli bir müstəvi boyunca düşürsə və ya sürüşürsə, o, yalnız tərcümə ilə hərəkət edir; top yuvarlananda o da fırlanır.

Əgər cisim eyni vaxtda ötürmə və fırlanma hərəkətini yerinə yetirirsə, onun ümumi kinetik enerjisi bərabərdir.

(3.23)

Tərcümə və fırlanma hərəkətləri üçün kinetik enerji üçün düsturların müqayisəsindən aydın olur ki, fırlanma hərəkəti zamanı ətalət ölçüsü cismin ətalət momentidir.

§ 3.6 Sərt cismin fırlanması zamanı xarici qüvvələrin işi

Sərt bir cisim fırlananda onun potensial enerjisi dəyişmir, buna görə də xarici qüvvələrin elementar işi bədənin kinetik enerjisindəki artıma bərabərdir:

dA = dE və ya

Jβ = M, ωdr = dφ olduğunu nəzərə alsaq, sonlu bucaq altında cismin α-sı φ bərabərdir.

(3.25)

Sərt cisim sabit bir ox ətrafında fırlandıqda, xarici qüvvələrin işi bu qüvvələrin anının bu oxa nisbətən hərəkəti ilə müəyyən edilir. Əgər qüvvələrin oxa nisbətən momenti sıfırdırsa, bu qüvvələr iş yaratmır.

Problemin həlli nümunələri

Misal 2.1. Volan kütləsim=5kq və radiusr= 0,2 m tezliyi ilə üfüqi ox ətrafında fırlanırν 0 =720 dəq -1 və əyləc edərkən arxada dayanırt=20 s. Dayanmadan əvvəl əyləc momentini və dövrələrin sayını tapın.

Əyləc momentini təyin etmək üçün fırlanma hərəkəti dinamikasının əsas tənliyini tətbiq edirik

burada I=mr 2 – diskin ətalət anı; Δω =ω - ω 0 və ω =0 son bucaq sürəti, ω 0 =2πν 0 başlanğıcdır. M diskə təsir edən qüvvələrin əyləc momentidir.

Bütün kəmiyyətləri bilməklə, əyləc momentini təyin edə bilərsiniz

Cənab 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

Fırlanma hərəkətinin kinematikasından dayanmadan əvvəl diskin fırlanması zamanı fırlanma bucağı düsturla müəyyən edilə bilər.

(3)

burada β bucaq sürətidir.

Məsələnin şərtlərinə görə: ω =ω 0 – βΔt, ω=0 olduğundan, ω 0 = βΔt

Onda (2) ifadəsi belə yazıla bilər:

Misal 2.2. Eyni radiuslu və kütləli disklər şəklində iki volan fırlanma sürətinə qədər fırlandı.n= 480 rpm və öz cihazlarımıza buraxıldı. Millərin sürtünmə qüvvələrinin yataklardakı təsiri altında birincisi dayandıt=80 s, ikincisi isə etdiN= dayandırmaq üçün 240 rpm. Hansı volanın millər və rulmanlar arasında sürtünmə momenti daha çox olub və neçə dəfə?

Dönmə hərəkəti dinamikasının əsas tənliyindən istifadə edərək birinci volanın M 1 tikanının qüvvələrinin momentini tapacağıq.

M 1 Δt = Iω 2 - Iω 1

burada Δt sürtünmə qüvvələrinin anının təsir vaxtı, I=mr 2 volanın ətalət momenti, ω 1 = 2πν və ω 2 = 0 – volanların ilkin və son bucaq sürətləri.

Sonra

İkinci volanın M 2 sürtünmə qüvvələrinin anı sürtünmə qüvvələrinin A işi ilə onun kinetik enerjisinin ΔE k dəyişməsi arasındakı əlaqə ilə ifadə ediləcək:

burada Δφ = 2πN fırlanma bucağı, N volanın dövrələrinin sayıdır.

Sonra hardan

HAQQINDA nisbət bərabər olacaq

İkinci volanın sürtünmə anı 1,33 dəfə böyükdür.

Misal 2.3. Homojen bərk diskin kütləsi m, yüklərin kütləsi m 1 və m 2 (şək. 15). Silindr oxunda ipin sürüşməsi və sürtünməsi yoxdur. Yüklərin sürətini və iplərin gərginlik nisbətini tapınhərəkət prosesində.

İpin sürüşməsi yoxdur, ona görə də m 1 və m 2 ötürmə hərəkəti etdikdə silindr O nöqtəsindən keçən ox ətrafında fırlanacaq. Müəyyənlik üçün fərz edək ki, m 2 > m 1.

Sonra yük m 2 aşağı salınır və silindr saat yönünün əksinə fırlanır. Sistemə daxil olan cisimlərin hərəkət tənliklərini yazaq

İlk iki tənlik kütlələri m 1 və m 2 olan cisimlər köçürmə hərəkəti keçirənlər üçün, üçüncü tənlik isə fırlanan silindr üçün yazılır. Soldakı üçüncü tənlikdə silindrə təsir edən qüvvələrin ümumi anı (T 1 qüvvəsinin anı mənfi işarə ilə alınır, çünki T 1 qüvvəsi silindrini saat yönünün əksinə fırlamağa meyllidir). Sağda I silindrin O oxuna nisbətən ətalət momentidir, bu da bərabərdir.

burada R silindrin radiusudur; β silindrin bucaq sürətidir.

İp sürüşməsi olmadığı üçün
. I və β ifadələrini nəzərə alaraq, əldə edirik:

Sistemin tənliklərini əlavə edərək, tənliyə gəlirik

Buradan biz sürətlənməni tapırıq a yük

Yaranan tənlikdən aydın olur ki, iplik gərginlikləri eyni olacaq, yəni. =1, əgər silindrin kütləsi yüklərin kütləsindən çox azdırsa.

Misal 2.4. Kütləsi m = 0,5 kq olan içi boş kürənin xarici radiusu R = 0,08 m və daxili radiusu r = 0,06 m-dir. Top onun mərkəzindən keçən bir ox ətrafında fırlanır. Müəyyən bir anda topa bir qüvvə təsir etməyə başlayır, bunun nəticəsində topun fırlanma bucağı qanuna uyğun olaraq dəyişir.
. Tətbiq olunan qüvvənin momentini təyin edin.

Fırlanma hərəkətinin dinamikasının əsas tənliyindən istifadə edərək məsələni həll edirik
. Əsas çətinlik içi boş topun ətalət momentini təyin etməkdir və biz bucaq sürətini β kimi tapırıq.
. İçi boş topun I ətalət anı R radiuslu kürə ilə r radiuslu topun ətalət anları arasındakı fərqə bərabərdir:

burada ρ top materialının sıxlığıdır. İçi boş topun kütləsini bilməklə sıxlığın tapılması

Buradan top materialının sıxlığını təyin edirik

M qüvvəsinin momenti üçün aşağıdakı ifadəni alırıq:

Misal 2.5. Kütləsi 300 q və uzunluğu 50 sm olan nazik çubuq 10 s bucaq sürəti ilə fırlanır. -1 ətrafında üfüqi bir müstəvidə şaquli ox, çubuğun ortasından keçən. Eyni müstəvidə fırlanma zamanı çubuq elə hərəkət edərsə, fırlanma oxu çubuğun ucundan keçərsə, bucaq sürətini tapın.

Bucaq momentumunun saxlanması qanunundan istifadə edirik

(1)

(J i çubuqun fırlanma oxuna nisbətən ətalət momentidir).

Təcrid olunmuş cisimlər sistemi üçün bucaq momentumunun vektor cəmi sabit qalır. Çubuğun kütləsinin fırlanma oxuna nisbətən paylanması dəyişdiyinə görə çubuğun ətalət anı da (1) uyğun olaraq dəyişir:

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)

Məlumdur ki, çubuqun kütlə mərkəzindən keçən və çubuğa perpendikulyar olan oxa nisbətən ətalət momenti bərabərdir.

J 0 = mℓ 2 /12. (3)

Ştayner teoreminə görə

J =J 0 +m A 2

(J - çubuqun ixtiyari fırlanma oxuna nisbətən ətalət momenti; J 0 - kütlə mərkəzindən keçən paralel oxa nisbətən ətalət momenti; A- kütlə mərkəzindən seçilmiş fırlanma oxuna qədər olan məsafə).

Onun ucundan keçən və çubuğa perpendikulyar olan oxa görə ətalət momentini tapaq:

J 2 =J 0 +m A 2, J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3. (4)

(3) və (4) düsturlarını (2) ilə əvəz edək:

mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3

ω 2 = ω 1 /4 ω 2 =10s-1/4=2.5s -1

Misal 2.6 . Kütləvi adamm=60kq, kütləsi M=120kq olan platformanın kənarında dayanaraq, tezliyi ν olan sabit şaquli ox ətrafında ətalətlə fırlanan 1 =12 dəq -1 , mərkəzinə doğru hərəkət edir. Platformanın yuvarlaq homojen disk olduğunu və şəxsin nöqtə kütləsi olduğunu nəzərə alaraq, hansı tezlikdə ν olduğunu müəyyənləşdirin. 2 platforma sonra fırlanacaq.

Verildi: m=60kq, M=120kq, ν 1 =12dəq -1 = 0,2s -1 .

Tapın:ν 1

Həll: Problemin şərtlərinə görə, şəxslə platforma ətalətlə fırlanır, yəni. fırlanan sistemə tətbiq edilən bütün qüvvələrin nəticə anı sıfırdır. Buna görə də, "platforma-şəxs" sistemi üçün bucaq momentumunun saxlanması qanunu təmin edilir.

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

Harada
- platformanın kənarında insan dayandıqda sistemin ətalət anı (nəzərə alın ki, platformanın ətalət momenti bərabərdir. (R – radius n
platforma), platformanın kənarındakı insanın ətalət anı mR 2).

- platformanın mərkəzində insan dayandıqda sistemin ətalət anı (nəzərə alın ki, platformanın mərkəzində dayanan şəxsin momenti sıfırdır). Bucaq sürəti ω 1 = 2π ν 1 və ω 1 = 2π ν 2.

Yazılı ifadələri düsturla (1) əvəz edərək əldə edirik

tələb olunan fırlanma sürəti haradan gəlir?

Cavab verin: ν 2 =24 dəq -1.

Fırlanan cismin kinetik enerjisi bədənin bütün hissəciklərinin kinetik enerjilərinin cəminə bərabərdir:

Bir hissəciyin kütləsi, onun xətti (çevrəvi) sürəti, bu hissəciyin fırlanma oxundan məsafəsinə mütənasibdir. Bu ifadəni əvəz edib bütün hissəciklər üçün ümumi olan bucaq sürətini cəm işarəsindən çıxarsaq, tapırıq:

Fırlanan cismin kinetik enerjisi üçün bu düstur, cismin sözdə ətalət momentinin dəyərini təqdim etsək, tərcümə hərəkətinin kinetik enerjisi ifadəsinə bənzər bir formaya gətirilə bilər. Maddi nöqtənin ətalət anı nöqtənin kütləsi ilə onun fırlanma oxundan məsafəsinin kvadratının hasilidir. Cismin ətalət anı bədənin bütün maddi nöqtələrinin ətalət momentlərinin cəmidir:

Beləliklə, fırlanan cismin kinetik enerjisi aşağıdakı düsturla müəyyən edilir:

Formula (2) translasiya hərəkətində cismin kinetik enerjisini təyin edən düsturdan onunla fərqlənir ki, cismin kütləsi əvəzinə ətalət momenti I və sürət əvəzinə qrup sürəti daxildir.

Fırlanan volanın böyük kinetik enerjisi ani dəyişən yüklər altında maşının vahid işləməsini təmin etmək üçün texnologiyada istifadə olunur. Əvvəlcə böyük bir ətalət anına malik bir volanı fırlanma vəziyyətinə gətirmək üçün maşından əhəmiyyətli miqdarda iş tələb olunur, lakin birdən böyük bir yük işə salındıqda, maşın dayanmır və ehtiyatdan istifadə edərək işi görür. volanın kinetik enerjisi.

Xüsusilə kütləvi volanlardan elektrik mühərriki ilə idarə olunan yayma dəyirmanlarında istifadə olunur. Bu təkərlərdən birinin təsviri belədir: “Təkərin diametri 3,5 m və çəkisi 600 rpm-lik normal sürətdə təkərin kinetik enerji ehtiyatı elədir ki, təkər yuvarlanan zaman ona təkər verir. gücü 20.000 litr olan dəyirman. ilə. Rulmanlardakı sürtünmə təzyiq altında nağıl ilə minimuma endirilir və mərkəzdənqaçma ətalət qüvvələrinin zərərli təsirlərinin qarşısını almaq üçün təkər balanslaşdırılır ki, təkərin ətrafına yerləşdirilən bir yük onu istirahətdən çıxarsın. "

Bəzi cisimlərin ətalət anlarının qiymətlərini (hesablamalar aparmadan) təqdim edək (bu cisimlərin hər birinin bütün sahələrində eyni sıxlığa malik olduğu güman edilir).

Nazik halqanın mərkəzindən keçən və müstəvisinə perpendikulyar olan oxa nisbətən ətalət momenti (şək. 55):

Dairəvi diskin (və ya silindrin) mərkəzindən keçən və müstəvisinə perpendikulyar olan ox ətrafında ətalət anı (diskin qütb ətalət anı; şək. 56):

İncə yuvarlaq diskin diametrinə uyğun gələn oxa nisbətən ətalət anı (diskin ekvator ətalət anı; şək. 57):

Topun mərkəzindən keçən oxa nisbətən topun ətalət anı:

Mərkəzdən keçən ox ətrafında radiuslu nazik sferik təbəqənin ətalət anı:

Qalın sferik təbəqənin (xarici səth radiusuna və boşluq radiusuna malik içi boş top) mərkəzdən keçən ox ətrafında ətalət anı:

Cismlərin ətalət momentləri inteqral hesablamadan istifadə etməklə hesablanır. Bu cür hesablamaların gedişi haqqında fikir vermək üçün çubuqun ona perpendikulyar olan oxa nisbətən ətalət momentini tapaq (şək. 58). Çubuğun kəsişməsi, sıxlığı olsun. Uzunluğu olan və fırlanma oxundan x məsafəsində yerləşən çubuqun elementar kiçik hissəsini seçək. Onda onun kütləsi Fırlanma oxundan x məsafəsində olduğu üçün onun ətalət anı sıfırdan I diapazonuna inteqrasiya olunur:

Düzbucaqlı paralelepipedin simmetriya oxuna nisbətən ətalət anı (şək. 59)

Üzük torusunun ətalət anı (Şəkil 60)

Bir təyyarə boyunca yuvarlanan (sürüşmədən) bir cismin fırlanma enerjisinin bu cismin translyasiya hərəkətinin enerjisi ilə necə əlaqəli olduğunu nəzərdən keçirək,

Yuvarlanan cismin tərcümə hərəkətinin enerjisi bərabərdir, burada cismin kütləsi və köçürmə hərəkətinin sürəti. Yuvarlanan cismin fırlanma bucaq sürətini və cismin radiusunu qeyd edək. Sürüşmədən yuvarlanan cismin tərcümə hərəkətinin sürətinin cismin təyyarə ilə təmas nöqtələrində (bədənin bir inqilab etdiyi zaman, mərkəzi bədənin cazibə qüvvəsi bir məsafədə hərəkət edir, buna görə də

Beləliklə,

Fırlanma enerjisi

deməli,

Burada ətalət anlarının yuxarıdakı qiymətlərini əvəz edərək tapırıq ki:

a) yuvarlanan halqanın fırlanma hərəkətinin enerjisi onun ötürmə hərəkətinin enerjisinə bərabərdir;

b) yuvarlanan homojen diskin fırlanma enerjisi tərcümə hərəkətinin enerjisinin yarısına bərabərdir;

c) yuvarlanan homojen topun fırlanma enerjisi tərcümə hərəkətinin enerjisidir.

Ətalət anının fırlanma oxunun vəziyyətindən asılılığı. Ağırlıq mərkəzi C nöqtəsində olan çubuq (şəkil 61) bucaq sürəti ilə fırlansın (o oxu O ətrafında, çertyoj müstəvisinə perpendikulyar. Fərz edək ki, müəyyən vaxt ərzində o, mövqedən hərəkət edib. A B-yə və ağırlıq mərkəzinə bir qövs təsvir edilmişdir. Çubuğun bu hərəkəti elə hesab oluna bilər ki, çubuq əvvəlcə translyasiya olaraq (yəni, özünə paralel olaraq) mövqeyə keçdi və sonra C ətrafında fırlandı (məsafəni işarə edək). ağırlıq mərkəzinin fırlanma oxundan) a və bucağı ilə Çubuq A mövqeyindən B mövqeyinə hərəkət etdikdə, onun hissəciklərinin hər birinin hərəkəti ağırlıq mərkəzinin hərəkəti ilə eyni olur, yəni. bərabərdir və ya Çubuğun faktiki hərəkətini əldə etmək üçün hər iki göstərilən hərəkətin eyni vaxtda baş verdiyini güman edə bilərik hissələri.

Mühazirə 3. Sərt cisim dinamikası

Mühazirənin xülasəsi

3.1. Güc anı.

3.2. Fırlanma hərəkətinin əsas tənlikləri. Ətalət anı.

3.3. Fırlanmanın kinetik enerjisi.

3.4. İmpuls anı. Bucaq impulsunun saxlanması qanunu.

3.5. Tərcümə və fırlanma hərəkəti arasında analogiya.

Güc anı

Sərt cismin sabit ox ətrafında hərəkətini nəzərdən keçirək. Sərt cismin sabit fırlanma oxuna malik olmasına icazə verin OO ( Şəkil 3.1) və ona ixtiyari qüvvə tətbiq edilir.

düyü. 3.1

Gücü qüvvənin iki komponentinə parçalayaq, qüvvə fırlanma müstəvisində yerləşir və qüvvə fırlanma oxuna paraleldir. Sonra qüvvəni iki komponentə parçalayacağıq: – radius vektoru boyunca hərəkət edən və – ona perpendikulyar.

Bir cismə tətbiq olunan hər qüvvə onu döndərə bilməz. Qüvvələr rulmanlar üzərində təzyiq yaradır, lakin onu döndərmir.

Radius vektorunun harada tətbiq olunduğundan asılı olaraq qüvvə bədəni tarazlıqdan çıxara və ya atmaya bilər. Buna görə də ox ətrafında qüvvə momenti anlayışı təqdim olunur. Bir anlıq güc fırlanma oxuna nisbətən radius vektorunun və qüvvənin vektor məhsulu adlanır.

Vektor fırlanma oxu boyunca yönəldilir və çarpaz məhsul qaydası və ya sağ vida qaydası və ya gimlet qaydası ilə müəyyən edilir.

Qüvvə momentinin modulu

burada α vektorlar arasındakı bucaqdır.

Şəkil 3.1-dən. aydındır ki .

r 0– fırlanma oxundan qüvvənin təsir xəttinə qədər olan ən qısa məsafə qüvvənin çiyni adlanır. Sonra güc momenti yazıla bilər

M = F r 0 . (3.3)

Şəkildən. 3.1.

Harada F– vektorun radius vektoruna perpendikulyar istiqamətə proyeksiyası. Bu vəziyyətdə qüvvənin momenti bərabərdir

. (3.4)

Bir cismə bir neçə qüvvə təsir edərsə, onda yaranan qüvvə anı ayrı-ayrı qüvvələrin momentlərinin vektor cəminə bərabərdir, lakin bütün momentlər ox boyunca yönəldildiyi üçün onları cəbri cəmi ilə əvəz etmək olar. Bədəni saat əqrəbinin istiqamətində fırladırsa, an müsbət, saat yönünün əksinə dönərsə mənfi hesab ediləcək. Əgər qüvvələrin bütün momentləri () sıfıra bərabərdirsə, cisim tarazlıqda olacaq.

Tork anlayışı "şıltaq bobin" istifadə edərək nümayiş etdirilə bilər. İpin makarası ipin sərbəst ucu ilə çəkilir ( düyü. 3.2).

düyü. 3.2

İpin dartılma istiqamətindən asılı olaraq, makara bu və ya digər istiqamətdə yuvarlanır. Bucaq altında çəkilərsə α , sonra ox ətrafında qüvvə momenti HAQQINDA(şəklə perpendikulyar) bobini saat əqrəbinin əksinə fırladıb geriyə yuvarlanır. Bucaq altında gərginlik halında β fırlanma anı saat yönünün əksinə yönəldilir və çarx irəli yuvarlanır.

Tarazlıq şərtindən () istifadə edərək, gücün "transformatorları" olan sadə mexanizmlər qurmaq mümkündür, yəni. Daha az güc tətbiq etməklə, müxtəlif ağırlıqdakı yükləri qaldıra və daşıya bilərsiniz. Tikintidə geniş istifadə olunan rıçaqlar, təkər arabaları və müxtəlif növ bloklar bu prinsipə əsaslanır. Yükün ağırlığından yaranan güc anını kompensasiya etmək üçün tikinti kranlarında tarazlıq vəziyyətini saxlamaq üçün həmişə əks işarənin qüvvə momentini yaradan əks çəkilər sistemi mövcuddur.

3.2. Əsas fırlanma tənliyi
hərəkətlər. Ətalət anı

Sabit bir ox ətrafında fırlanan tamamilə sərt bir cismi düşünün OO(Şəkil 3.3). Gəlin əqli olaraq bu bədəni kütlələri Δ olan elementlərə ayıraq m 1, Δ m 2, …, Δ m n. Döndürüldükdə, bu elementlər radiuslu dairələri təsvir edəcəkdir r 1,r 2 , …,r n. Qüvvələr hər bir elementə uyğun olaraq hərəkət edir F 1,F 2 , …,Fn. Bir cismin bir ox ətrafında fırlanması OO tam fırlanma momentinin təsiri altında baş verir M.

M = M 1 + M 2 + … + M n (3.4)

Harada M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Nyutonun II qanununa görə hər bir qüvvə F, D kütləli bir elementə təsir edən m, bu elementin sürətlənməsinə səbəb olur a, yəni.

F i = D m i a i (3.5)

Müvafiq dəyərləri (3.4) ilə əvəz edərək əldə edirik

düyü. 3.3

Xətti bucaq sürətlənməsi arasındakı əlaqəni bilmək ε () və bucaq sürətinin bütün elementlər üçün eyni olduğu halda (3.6) düsturunun forması olacaqdır.

M = (3.7)

=I (3.8)

I– bədənin sabit oxa nisbətən ətalət anı.

Sonra alacağıq

M = I ε (3.9)

Və ya vektor şəklində

(3.10)

Bu tənlik fırlanma hərəkətinin dinamikası üçün əsas tənlikdir. Formasına görə Nyuton qanununun II tənliyinə bənzəyir. (3.10)-dan ətalət anı bərabərdir

Beləliklə, verilmiş cismin ətalət anı qüvvə momentinin onun yaratdığı bucaq sürətinə nisbətidir. (3.11)-dən aydın olur ki, ətalət anı cismin fırlanma hərəkətinə görə ətalət ölçüsüdür. Tərcümə hərəkətində ətalət anı kütlə ilə eyni rol oynayır. SI vahidi [ I] = kq m 2. (3.7) düsturundan belə çıxır ki, ətalət anı fırlanma oxuna nisbətən bədən hissəciklərinin kütlələrinin paylanmasını xarakterizə edir.

Beləliklə, r radiuslu dairədə hərəkət edən kütləsi ∆m olan elementin ətalət momenti bərabərdir.

I = r 2 D m (3.12)

I= (3.13)

Davamlı kütlə paylanması vəziyyətində, cəmi inteqralla əvəz edilə bilər

I= ∫ r 2 dm (3.14)

burada inteqrasiya bütün bədən kütləsi üzərində aparılır.

Bu göstərir ki, cismin ətalət momenti kütlədən və onun fırlanma oxuna nisbətən paylanmasından asılıdır. Bunu eksperimental olaraq göstərmək olar ( Şəkil 3.4).

düyü. 3.4

İki yuvarlaq silindr, biri içi boş (məsələn, metal), digəri bərk (taxta) eyni uzunluqda, radiusda və kütlədə eyni vaxtda yuvarlanmağa başlayır. Böyük bir ətalət anına malik olan içi boş silindr bərkdən geri qalacaq.

Kütləsi məlum olarsa, ətalət momentini hesablamaq olar m və onun fırlanma oxuna nisbətən paylanması. Ən sadə hal, kütlənin bütün elementlərinin fırlanma oxundan bərabər yerləşdiyi halqadır ( düyü. 3.5):

I = (3.15)

düyü. 3.5

Müxtəlif simmetrik kütlə cisimlərinin ətalət momentləri üçün ifadələr təqdim edək m.

1. Ətalət anı üzüklər, içi boş nazik divarlı silindr simmetriya oxu ilə üst-üstə düşən fırlanma oxuna nisbətən.

, (3.16)

r– halqanın və ya silindrin radiusu

2. Möhkəm silindr və disk üçün simmetriya oxuna görə ətalət anı

(3.17)

3. Mərkəzdən keçən ox ətrafında topun ətalət anı

(3.18)

r- topun radiusu

4. Uzun uzunluqlu nazik çubuqun ətalət anı lçubuğa perpendikulyar olan və onun ortasından keçən oxa nisbətən

(3.19)

l- çubuğun uzunluğu.

Əgər fırlanma oxu kütlə mərkəzindən keçmirsə, onda bu oxa nisbətən cismin ətalət anı Ştayner teoremi ilə müəyyən edilir.

(3.20)

Bu teoremə görə, ixtiyari ox ətrafında ətalət momenti O’O’ ( ) bədənin kütlə mərkəzindən keçən paralel oxla bağlı ətalət momentinə bərabərdir ( ) üstəgəl bədən kütləsinin məhsulu məsafənin kvadratına bərabərdir A oxlar arasında ( düyü. 3.6).

düyü. 3.6

Fırlanmanın kinetik enerjisi

Mütləq sərt cismin sabit ox ətrafında bucaq sürəti ilə fırlanmasını nəzərdən keçirək. ω (düyü. 3.7). Gəlin bərk cismi parçalayaq n elementar kütlələr ∆ m i. Kütlənin hər bir elementi radius dairəsi boyunca fırlanır r i xətti sürət ilə (). Kinetik enerji ayrı-ayrı elementlərin kinetik enerjilərindən ibarətdir.

(3.21)

düyü. 3.7

(3.13) bəndini xatırlayaq – OO oxuna nisbətən ətalət anı.

Beləliklə, fırlanan cismin kinetik enerjisi

E k = (3.22)

Sabit bir ox ətrafında fırlanmanın kinetik enerjisini nəzərdən keçirdik. Əgər cisim iki hərəkətdə iştirak edirsə: tərcümə və fırlanma hərəkəti, onda bədənin kinetik enerjisi tərcümə hərəkətinin kinetik enerjisindən və fırlanmanın kinetik enerjisindən ibarətdir.

Məsələn, bir kütlə topu m rulonlar; topun kütlə mərkəzi translyasiya olaraq sürətlə hərəkət edir u (düyü. 3.8).

düyü. 3.8

Topun ümumi kinetik enerjisi bərabər olacaq

(3.23)

3.4. İmpuls anı. Qoruma Qanunu
bucaq impulsu

Ətalət anının məhsuluna bərabər fiziki kəmiyyət I bucaq sürətinə ω , bucaq impulsu adlanır (bucaq momentum) L fırlanma oxuna nisbətən.

– bucaq impulsu vektor kəmiyyətdir və onun istiqaməti bucaq sürətinin istiqaməti ilə üst-üstə düşür.

Zamana görə diferensial tənliyi (3.24) alırıq

Harada, M– xarici qüvvələrin ümumi momenti. Təcrid olunmuş bir sistemdə xarici qüvvələrin anı yoxdur ( M=0) və

Əvvəlcə bucaq sürəti ilə sabit ox OZ ətrafında fırlanan sərt cismi nəzərdən keçirək ω (Şəkil 5.6). Bədəni elementar kütlələrə bölək. Elementar kütlənin xətti sürəti bərabərdir, burada onun fırlanma oxundan məsafəsi yerləşir. Kinetik enerji i-elementar kütlə bərabər olacaq

.

Beləliklə, bütün bədənin kinetik enerjisi onun hissələrinin kinetik enerjilərindən ibarətdir

.

Nəzərə alsaq ki, bu münasibətin sağ tərəfindəki cəmi cismin fırlanma oxuna nisbətən ətalət momentini ifadə edir, nəhayət, əldə edirik.

. (5.30)

Fırlanan cismin kinetik enerjisi üçün düsturlar (5.30) cismin ötürmə hərəkətinin kinetik enerjisi üçün müvafiq düsturlara bənzəyir. Onlar sonuncudan formal dəyişdirmə yolu ilə əldə edilir .

Ümumi halda, sərt bir cismin hərəkəti hərəkətlərin cəmi kimi təmsil oluna bilər - bədənin kütlə mərkəzinin sürətinə bərabər bir sürətlə translyasiya və cisimdən keçən ani ox ətrafında bucaq sürətində fırlanma. kütlə mərkəzi. Bu halda, bədənin kinetik enerjisi üçün ifadə formasını alır

.

İndi sərt cismin fırlanması zamanı xarici qüvvələrin momentinin gördüyü işi tapaq. Xarici qüvvələrin vaxtında elementar işi dt bədənin kinetik enerjisinin dəyişməsinə bərabər olacaqdır

Fırlanma hərəkətinin kinetik enerjisindən diferensial alaraq onun artımını tapırıq

.

Fırlanma hərəkəti üçün dinamikanın əsas tənliyinə uyğun olaraq

Bu münasibətləri nəzərə alaraq elementar işin ifadəsini formaya salırıq

burada xarici qüvvələrin yaranan momentinin fırlanma oxunun istiqaməti üzrə proyeksiyası OZ, cismin baxılan zaman müddətində fırlanma bucağıdır.

(5.31) inteqrasiya edərək, fırlanan bir cismə təsir edən xarici qüvvələrin işi üçün bir düstur alırıq.

Əgər varsa, onda düstur sadələşir

Beləliklə, sərt cismin sabit oxa nisbətən fırlanması zamanı xarici qüvvələrin işi bu qüvvələrin anının bu oxa proyeksiyasının hərəkəti ilə müəyyən edilir.

Giroskop

Giroskop sürətlə fırlanan simmetrik cisimdir, fırlanma oxu kosmosda istiqamətini dəyişə bilər. Giroskopun oxu kosmosda sərbəst dönə bilməsi üçün giroskop sözdə gimbal asqıya yerləşdirilir (şək. 5.13). Giroskop volanı daxili halqada onun ağırlıq mərkəzindən keçən C1C2 oxu ətrafında fırlanır. Daxili halqa, öz növbəsində, C 1 C 2-ə perpendikulyar olan B 1 B 2 oxu ətrafında xarici halqada dönə bilər. Nəhayət, xarici irq C 1 C 2 və B 1 B 2 oxlarına perpendikulyar olan A 1 A 2 oxu ətrafında dayaqların rulmanlarında sərbəst dönə bilər. Hər üç ox asma mərkəzi və ya giroskopun dayaq nöqtəsi adlanan bəzi sabit O nöqtəsində kəsişir. Gimbaldakı giroskop üç sərbəstlik dərəcəsinə malikdir və buna görə də gimbalın mərkəzi ətrafında istənilən fırlanma edə bilər. Əgər giroskopun asma mərkəzi onun ağırlıq mərkəzi ilə üst-üstə düşürsə, onda asma mərkəzinə nisbətən giroskopun bütün hissələrinin yaranan ağırlıq anı sıfıra bərabərdir. Belə bir giroskop balanslaşdırılmış adlanır.

İndi giroskopun müxtəlif sahələrdə geniş istifadəsini tapmış ən mühüm xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirək.

1) Sabitlik.

Əks balanslaşdırılmış giroskopun istənilən fırlanması üçün onun fırlanma oxu laboratoriya istinad sisteminə nisbətən istiqamətdə dəyişməz qalır. Bu, sürtünmə qüvvələrinin anına bərabər olan bütün xarici qüvvələrin momentinin çox kiçik olması və praktiki olaraq giroskopun bucaq momentumunun dəyişməsinə səbəb olmaması ilə əlaqədardır, yəni.

Bucaq impulsu giroskopun fırlanma oxu boyunca yönəldildiyi üçün onun istiqaməti dəyişməz qalmalıdır.

Xarici qüvvə qısa müddət ərzində təsir edərsə, bucaq momentumunun artımını təyin edən inteqral kiçik olacaqdır.

. (5.34)

Bu o deməkdir ki, hətta böyük qüvvələrin qısamüddətli təsiri altında balanslaşdırılmış giroskopun hərəkəti az dəyişir. Giroskop özünün bucaq momentumunun miqyasını və istiqamətini dəyişmək cəhdlərinə müqavimət göstərir. Bu, giroskopun hərəkətinin sürətli fırlanma vəziyyətinə gətirildikdən sonra əldə etdiyi diqqətəlayiq sabitliyə bağlıdır. Giroskopun bu xüsusiyyətindən təyyarələrin, gəmilərin, raketlərin və digər cihazların hərəkətini avtomatik idarə etmək üçün geniş istifadə olunur.

Əgər giroskopa uzun müddət istiqamətdə sabit olan xarici qüvvələrin bir anı təsir edərsə, onda giroskopun oxu son nəticədə xarici qüvvələrin momenti istiqamətində qurulur. Bu fenomen gyrocompasda istifadə olunur. Bu cihaz oxu üfüqi müstəvidə sərbəst döndərə bilən giroskopdur. Yerin gündəlik fırlanması və mərkəzdənqaçma qüvvələrinin anının təsiri ilə giroskopun oxu fırlanır ki, aralarındakı bucaq minimal olur (şək. 5.14). Bu, giroskop oxunun meridian müstəvisindəki mövqeyinə uyğundur.

2). Giroskopik effekt.

Bir cüt qüvvə və fırlanma oxuna perpendikulyar bir ox ətrafında döndərməyə meylli olan fırlanan gyroskopa tətbiq edilərsə, o, ilk ikisinə perpendikulyar olan üçüncü ox ətrafında fırlanmağa başlayacaq (Şəkil 5.15). Giroskopun bu qeyri-adi davranışına giroskopik effekt deyilir. Bu, onunla izah olunur ki, qüvvələr cütünün momenti O 1 O 1 oxu boyunca yönəldilir və zamanla vektorun böyüklüyü ilə dəyişməsi eyni istiqamətə malik olacaqdır. Nəticədə yeni vektor O 2 O 2 oxuna nisbətən dönəcək. Beləliklə, ilk baxışdan qeyri-təbii olan giroskopun davranışı fırlanma hərəkəti dinamikasının qanunlarına tam uyğundur.

3). Giroskopun presesiyası.

Gyroskopun presesiyası onun oxunun konusvari hərəkətidir. Bu, böyüklüyündə sabit qalan xarici qüvvələrin anı giroskopun oxu ilə eyni vaxtda fırlanaraq hər zaman onunla düzgün bir bucaq meydana gətirdiyi halda baş verir. Presessiyanı nümayiş etdirmək üçün sürətli fırlanma rejiminə qoyulmuş uzadılmış oxu olan velosiped təkərindən istifadə etmək olar (Şəkil 5.16).

Təkər oxun uzadılmış ucu ilə asılırsa, oxu öz ağırlığının təsiri altında şaquli ox ətrafında irəliləməyə başlayacaq. Sürətlə fırlanan üst də presessiya nümayişi kimi xidmət edə bilər.

Gyroskopun presessiyasının səbəblərini öyrənək. Oxu müəyyən O nöqtəsi ətrafında sərbəst dönə bilən balanssız giroskopu nəzərdən keçirək (şək. 5.16). Giroskopa tətbiq edilən cazibə anı böyüklüyünə bərabərdir

burada giroskopun kütləsi, O nöqtəsindən giroskopun kütlə mərkəzinə qədər olan məsafə, giroskopun oxunun şaquli ilə yaratdığı bucaqdır. Vektor giroskopun oxundan keçən şaquli müstəviyə perpendikulyar yönəldilmişdir.

Bu anın təsiri altında giroskopun bucaq momenti (onun başlanğıcı O nöqtəsində yerləşir) zamanla artım alacaq və giroskopun oxundan keçən şaquli müstəvi bucaqla fırlanacaq. Vektor həmişə -ə perpendikulyardır, buna görə də böyüklüyünü dəyişmədən vektor yalnız istiqamətdə dəyişir. Ancaq bir müddət sonra qarşılıqlı tənzimləmə vektorlar və ilkin andakı kimi olacaq. Nəticədə, giroskop oxu koni təsvir edərək şaquli ətrafında davamlı olaraq fırlanacaq. Bu hərəkət presessiya adlanır.

Presesiyanın bucaq sürətini təyin edək. 5.16-cı şəklə görə, konusun oxundan və giroskopun oxundan keçən təyyarənin fırlanma bucağı bərabərdir.

giroskopun bucaq momentumu haradadır və onun zamanla artımıdır.

-a bölmək, qeyd olunan əlaqələri və çevrilmələri nəzərə alaraq, presesiyanın bucaq sürətini alırıq.

. (5.35)

Texnologiyada istifadə edilən giroskoplar üçün presesiyanın bucaq sürəti giroskopun fırlanma sürətindən milyonlarla dəfə azdır.

Sonda qeyd edirik ki, elektronların orbital hərəkəti ilə əlaqədar olaraq, presessiya hadisəsi atomlarda da müşahidə olunur.

Dinamika qanunlarının tətbiqi nümunələri

Fırlanma hərəkəti zamanı

1. Jukovski dəzgahından istifadə etməklə həyata keçirilə bilən bucaq momentumunun saxlanma qanununa dair bəzi nümunələri nəzərdən keçirək. Ən sadə halda, Jukovski dəzgahı bilyalı rulmanlar üzərində şaquli ox ətrafında sərbəst dönə bilən disk formalı platformadır (kürsüdür) (Şəkil 5.17). Nümayişçi skamyada oturur və ya dayanır, bundan sonra fırlanma vəziyyətinə gətirilir. Rulmanların istifadəsi nəticəsində yaranan sürtünmə qüvvələrinin çox kiçik olması səbəbindən, fırlanma oxuna nisbətən bir dəzgah və nümayişçidən ibarət sistemin bucaq impulsu, sistem öz imkanlarına buraxılarsa, zamanla dəyişə bilməz. . Nümayişçi əlində ağır dumbbellləri tutursa və qollarını tərəflərə yayırsa, o zaman sistemin ətalət momentini artıracaq və buna görə də bucaq sürəti dəyişməz qalması üçün bucaq fırlanma sürəti azalmalıdır.

Bucaq impulsunun qorunması qanununa əsasən, bu hal üçün bir tənlik yaradırıq

burada insanın və dəzgahın ətalət momenti və birinci və ikinci mövqelərdə dumbbelllərin ətalət momenti və sistemin bucaq sürətləridir.

Dumbbellləri yan tərəfə qaldırarkən sistemin bucaq fırlanma sürəti bərabər olacaqdır

.

Dumbbellləri hərəkət etdirərkən insanın gördüyü işi sistemin kinetik enerjisinin dəyişməsi ilə müəyyən etmək olar

2. Jukovski dəzgahı ilə başqa bir təcrübə verək. Nümayişçi skamyada oturur və ya dayanır və ona şaquli istiqamətlənmiş oxu ilə sürətlə fırlanan təkər verilir (şək. 5.18). Nümayişçi daha sonra çarxı 180 0 döndərir. Bu halda, təkərin bucaq momentumunun dəyişməsi tamamilə dəzgah və nümayişçiyə ötürülür. Nəticədə dəzgah nümayişçi ilə birlikdə bucaq impulsunun saxlanma qanunu əsasında müəyyən edilən bucaq sürəti ilə fırlanmağa başlayır.

Başlanğıc vəziyyətdə sistemin bucaq momentumu yalnız təkərin bucaq momenti ilə müəyyən edilir və ona bərabərdir.

burada təkərin ətalət momenti və onun fırlanmasının bucaq sürətidir.

Çarxı 180 0 bucaqla çevirdikdən sonra sistemin bucaq momentumu dəzgahın şəxslə bucaq momentumunun və təkərin bucaq momentinin cəmi ilə müəyyən ediləcək. Təkərin bucaq momentum vektorunun öz istiqamətini əksinə dəyişdiyini və şaquli oxa proyeksiyasının mənfi olduğunu nəzərə alaraq, əldə edirik.

,

burada “şəxs-platforma” sisteminin ətalət anı və dəzgahın şəxslə fırlanma bucaq sürətidir.

Bucaq impulsunun saxlanması qanununa görə

Və .

Nəticədə dəzgahın fırlanma sürətini tapırıq

3. Kütləvi nazik çubuq m və uzunluq lçubuqun ortasından keçən şaquli ox ətrafında üfüqi müstəvidə ω=10 s -1 bucaq sürəti ilə fırlanır. Eyni müstəvidə fırlanmağa davam edərək, çubuq elə hərəkət edir ki, fırlanma oxu indi çubuğun ucundan keçsin. İkinci halda bucaq sürətini tapın.

Bu məsələdə çubuq kütləsinin fırlanma oxuna nisbətən paylanması dəyişdiyinə görə çubuqun ətalət momenti də dəyişir. İzolyasiya edilmiş sistemin bucaq momentumunun saxlanması qanununa uyğun olaraq, bizdə var

Burada çubuqun ortasından keçən oxa nisbətən çubuqun ətalət momenti; çubuqun ucundan keçən oxa nisbətən ətalət momentidir və Ştayner teoremi ilə tapılır.

Bu ifadələri bucaq impulsunun saxlanması qanunu ilə əvəz edərək, əldə edirik

,

.

4. Çubuğun uzunluğu L=1,5 m və kütləsi m 1=10 kq yuxarı ucundan menteşəli asılmışdır. Kütləsi olan bir güllə m 2=10 q, üfüqi istiqamətdə =500 m/s sürətlə uçur və çubuqda ilişib qalır. Çubuq zərbədən sonra hansı bucaq altında əyiləcək?

Şəkildə təsəvvür edək. 5.19. qarşılıqlı təsir edən cisimlər sistemi “çubuq güllə”. Zərbə anında xarici qüvvələrin momentləri (cazibə qüvvəsi, ox reaksiyası) sıfıra bərabərdir, ona görə də bucaq momentumunun saxlanma qanunundan istifadə edə bilərik.

Zərbədən əvvəl sistemin bucaq momenti güllənin asma nöqtəsinə nisbətən bucaq momentinə bərabərdir.

Qeyri-elastik təsirdən sonra sistemin bucaq momentumu düsturla müəyyən edilir

,

burada çubuqun asma nöqtəsinə nisbətən ətalət anı, güllənin ətalət anı, zərbədən dərhal sonra çubuqun güllə ilə bucaq sürəti.

Əvəzetmədən sonra yaranan tənliyi həll edərək tapırıq

.

İndi mexaniki enerjinin saxlanması qanunundan istifadə edək. Güllə dəydikdən sonra çubuğun kinetik enerjisini bərabərləşdirək potensial enerji yüksəlişin ən yüksək nöqtəsində:

,

bu sistemin kütlə mərkəzinin hündürlüyü haradadır.

Lazımi çevrilmələri həyata keçirərək əldə edirik

Çubuğun əyilmə bucağı nisbətlə bağlıdır

.

Hesablamaları apararaq =0,1p=18 0 alırıq.

5. Atvud dəzgahında gövdələrin sürətlənməsini və sapın gərginliyini müəyyən edin (şək. 5.20). Blokun fırlanma oxuna nisbətən ətalət anı bərabərdir I, blok radiusu r. İpin kütləsini laqeyd edin.

Yüklərə və bloka təsir edən bütün qüvvələri təşkil edək və onlar üçün dinamik tənliklər tərtib edək.

Əgər blok boyunca ipin sürüşməsi yoxdursa, onda xətti və bucaq sürətlənməsi bir-biri ilə əlaqə ilə bağlıdır.

Bu tənlikləri həll edərək əldə edirik

Sonra T 1 və T 2-ni tapırıq.

6. Oberbek xaçının kasnağına bir sap bağlanır (şəkil 5.21), ondan çəkisi olan yük M= 0,5 kq. Yükün hündürlükdən düşməsi üçün nə qədər vaxt lazım olduğunu müəyyənləşdirin h=1 m aşağı mövqeyə. Kasnak radiusu r=3 sm ağırlığında m Hər biri =250 q məsafədə R= öz oxundan 30 sm. Yüklərin ətalət momenti ilə müqayisədə çarpazın və kasnağın özünün ətalət momenti nəzərə alınmır.