ВСE müstəvisi (şəkil) AS kənarına perpendikulyar olan ВС tərəfi vasitəsilə çəkilir. Yan üzlər arasındakı ikitərəfli bucaqlar (hamısı bərabərdir) BEC = bucağı ilə ölçülür. φ . ÇƏKİRLİ üçbucaq ikitərəflidir.

Bölmə sahəsi S və bucağı müəyyən etmək üçün φ , DE tapmaq kifayətdir (D eramızdan əvvəl ortasıdır). Bunun üçün ardıcıl olaraq BS-ni tapırıq (BSD üçbucağından, burada BD = a / 2 və ∠BSD = α / 2 ).

Sonra BE (BSE üçbucağından, burada ∠BSE = α ) və nəhayət DE=√BE 2 -BD 2 . alırıq

Qeyd 1 . S təpəsindəki müstəvi bucaqlarının cəmi həmişə 360°-dən azdır. Buna görə 0<α <120°. При этом условии 2cos α / 2 > 1, yəni tənlik həmişə həll yolu var.

Qeyd 2 . Əgər α >90°, yəni yan üzün təpəsindəki ASB bucağı kütdür, onda ASB üçbucağının BE hündürlüyü təməlin davamı ilə kəsişəcək və BEC müstəvisi piramidanın heç bir hissəsini verməyəcək. Bu arada formula

və küt bucaq altında α (120°-dən az, 1-ci qeydə baxın) S-in müəyyən qiymətini verəcəkdir.

Cavab: φ = 2 qövs günahı (1/2 san α / 2 );

Oxşar nümunələr:

Piramidanın təməlində düzbucaqlı yerləşir. Yan üzlərdən biri belə görünür ikitərəfli üçbucaq və bazaya perpendikulyar; digər üzdə, birincinin əksinə, bərabər yanal kənarlar var b , öz aralarında 2 bucaq yaradır α və bucaq altında birinci üzə meyl edir α . Piramidanın həcmini və göstərilən iki üz arasındakı bucağı təyin edin.

Qısa danışacam. İki düz xətt arasındakı bucaq onların istiqamət vektorları arasındakı bucağa bərabərdir. Beləliklə, a = (x 1 ; y 1 ; z 1) və b = (x 2 ; y 2; z 2) istiqamət vektorlarının koordinatlarını tapa bilsəniz, bucağı tapa bilərsiniz. Daha dəqiq desək, düstura görə bucağın kosinusu:

Xüsusi nümunələrdən istifadə edərək bu formulun necə işlədiyini görək:

Tapşırıq. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kubunda E və F nöqtələri qeyd olunur - müvafiq olaraq A 1 B 1 və B 1 C 1 kənarlarının orta nöqtələri. AE və BF xətləri arasındakı bucağı tapın.

Kubun kənarı göstərilmədiyi üçün AB = 1 təyin edirik. Təqdim edirik standart sistem koordinatlar: başlanğıc A nöqtəsindədir, x, y, z oxları müvafiq olaraq AB, AD və AA 1 boyunca yönəldilmişdir. Vahid seqment AB = 1-ə bərabərdir. İndi xətlərimiz üçün istiqamət vektorlarının koordinatlarını tapaq.

AE vektorunun koordinatlarını tapaq. Bunun üçün bizə A = (0; 0; 0) və E = (0.5; 0; 1) nöqtələri lazımdır. E nöqtəsi A 1 B 1 seqmentinin ortası olduğundan onun koordinatları ucların koordinatlarının arifmetik ortasına bərabərdir. Qeyd edək ki, AE vektorunun mənşəyi koordinatların başlanğıcı ilə üst-üstə düşür, ona görə də AE = (0,5; 0; 1).

İndi BF vektoruna baxaq. Eynilə, B = (1; 0; 0) və F = (1; 0.5; 1) nöqtələrini təhlil edirik, çünki F B 1 C 1 seqmentinin ortasıdır. Bizdə:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Beləliklə, istiqamət vektorları hazırdır. Düz xətlər arasındakı bucağın kosinusu istiqamət vektorları arasındakı bucağın kosinusudur, ona görə də əldə edirik:

Tapşırıq. Bütün kənarları 1-ə bərabər olan müntəzəm üçbucaqlı ABCA 1 B 1 C 1 prizmasında D və E nöqtələri qeyd olunur - müvafiq olaraq A 1 B 1 və B 1 C 1 kənarlarının orta nöqtələri. AD və BE xətləri arasındakı bucağı tapın.

Standart koordinat sistemini təqdim edək: başlanğıc nöqtəsi A nöqtəsindədir, x oxu AB boyunca, z - AA 1 boyunca yönəldilmişdir. Y oxunu elə istiqamətləndirək ki, OXY müstəvisi ABC müstəvisi ilə üst-üstə düşsün. Vahid seqment AB = 1-ə bərabərdir. Lazım olan xətlər üçün istiqamət vektorlarının koordinatlarını tapaq.

Əvvəlcə AD vektorunun koordinatlarını tapaq. Nöqtələrə nəzər salın: A = (0; 0; 0) və D = (0.5; 0; 1), çünki D - A 1 B 1 seqmentinin ortası. AD vektorunun başlanğıcı koordinatların başlanğıcı ilə üst-üstə düşdüyündən AD = (0,5; 0; 1) alırıq.

İndi BE vektorunun koordinatlarını tapaq. B nöqtəsini = (1; 0; 0) hesablamaq asandır. E nöqtəsi ilə - C 1 B 1 seqmentinin ortası - bir az daha mürəkkəbdir. Bizdə:

Bucağın kosinusunu tapmaq qalır:

Tapşırıq. Bütün kənarları 1-ə bərabər olan müntəzəm altıbucaqlı ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 prizmasında K və L nöqtələri qeyd olunur - müvafiq olaraq A 1 B 1 və B 1 C 1 kənarlarının orta nöqtələri. . AK və BL xətləri arasındakı bucağı tapın.

Prizma üçün standart koordinat sistemini təqdim edək: koordinatların mənşəyini aşağı bazanın mərkəzinə qoyuruq, x oxu FC boyunca yönəldilir, y oxu AB və DE seqmentlərinin orta nöqtələrindən keçir və z. ox şaquli olaraq yuxarıya yönəldilmişdir. Vahid seqment yenidən AB = 1-ə bərabərdir. Bizi maraqlandıran nöqtələrin koordinatlarını yazaq:

K və L nöqtələri müvafiq olaraq A 1 B 1 və B 1 C 1 seqmentlərinin orta nöqtələridir, ona görə də onların koordinatları arifmetik orta ilə tapılır. Nöqtələri bilməklə AK və BL istiqamət vektorlarının koordinatlarını tapırıq:

İndi bucağın kosinusunu tapaq:

Tapşırıq. Bütün kənarları 1-ə bərabər olan müntəzəm dördbucaqlı SABCD piramidasında E və F nöqtələri qeyd olunur - müvafiq olaraq SB və SC tərəflərinin orta nöqtələri. AE və BF xətləri arasındakı bucağı tapın.

Standart koordinat sistemini təqdim edək: başlanğıc nöqtəsi A nöqtəsindədir, x və y oxları müvafiq olaraq AB və AD boyunca, z oxu isə şaquli olaraq yuxarıya doğru yönəldilmişdir. Vahid seqment AB = 1-ə bərabərdir.

E və F nöqtələri müvafiq olaraq SB və SC seqmentlərinin orta nöqtələridir, ona görə də onların koordinatları uçların arifmetik ortası kimi tapılır. Bizi maraqlandıran nöqtələrin koordinatlarını yazaq:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Nöqtələri bilməklə AE və BF istiqamət vektorlarının koordinatlarını tapırıq:

AE vektorunun koordinatları E nöqtəsinin koordinatları ilə üst-üstə düşür, çünki A nöqtəsi başlanğıcdır. Bucağın kosinusunu tapmaq qalır:

Tapşırıq

Həll.

Qabırğaların baza müstəvisinə meyl bucağını tapaq.
Çünki bazada müntəzəm piramida düzgün dördbucaqlı yerləşir, onda bu halda kvadratdır. Piramidanın hündürlüyü təməlin mərkəzinə proqnozlaşdırıldığı üçün bu, diaqonalların kəsişmə nöqtəsidir. KN = a/2 haradan gəlir?

OKN üçbucağı düzbucaqlıdır, OK hündürlüyü 3a-ya bərabərdir.
KNO bucağının tangensini tapaq, onu α kimi göstərək.

Tg α = OK / KN
tg α = 3a / (a/2) = 6
α = arktan 6 ≈ 80,5377°

Piramidanın kənarının meyl bucağını tapaq.
Tərəfi a olan kvadratın diaqonalı a√2-ə bərabərdir. Hündürlük bazanın mərkəzinə proqnozlaşdırıldığı üçün bu nöqtədə diaqonallar yarıya bölünür.

Beləliklə, üçün düz üçbucaq KCO bucağının OKC tangensi (bunu β kimi qeyd edək) bərabərdir

Tg β = OK / KC
tg β = 3a / (a√2/2) = 6 / √2
β = arktan 6/√2 ≈ 76,7373°

Cavab verin: üzlərin meyl bucağı arctg 6 ≈ 80,5377°; qabırğaların meyl bucağı arctg 6/√2 ≈ 76,7373°