Bəzi problemləri həll etmək üçün triqonometrik eyniliklər cədvəli faydalı olacaq, bu da funksiyaları çevirməyi asanlaşdıracaq:

Ən sadə triqonometrik eyniliklər

Alfa bucağının sinusunu eyni bucağın kosinusuna bölmək nisbəti bu bucağın tangensinə bərabərdir (Formula 1). Ən sadə triqonometrik eyniliklərin çevrilməsinin düzgünlüyünün sübutuna da baxın.
Alfa bucağının kosinusunu eyni bucağın sinusuna bölmək nisbəti eyni bucağın kotangentinə bərabərdir (Formula 2)
Bucağın sekantı eyni bucağın kosinusuna bölünən birinə bərabərdir (Formula 3)
Eyni bucağın sinusunun və kosinusunun kvadratlarının cəmi birə bərabərdir (Formula 4). kosinus və sinusun kvadratlarının cəminin sübutuna da baxın.
Birin cəmi və bucağın tangensi birin bu bucağın kosinusunun kvadratına nisbətinə bərabərdir (Formula 5)
Bir üstəgəl bir bucağın kotangensi bu bucağın sinus kvadratına bölünən birinin nisbətinə bərabərdir (Formula 6)
Eyni bucağın tangens və kotangens məhsulu birə bərabərdir (Formula 7).

Triqonometrik funksiyaların mənfi bucaqlarının çevrilməsi (cüt və tək)

Sinus, kosinus və ya tangensi hesablayarkən bucağın dərəcə ölçüsünün mənfi dəyərindən xilas olmaq üçün cüt və ya tək triqonometrik funksiyaların prinsipləri əsasında aşağıdakı triqonometrik çevrilmələrdən (identifikasiyalardan) istifadə edə bilərsiniz.

Göründüyü kimi, kosinus və sekantdır hətta fəaliyyət göstərir, sinus, tangens və kotangens tək funksiyalardır.

Mənfi bucağın sinusu eyni müsbət bucağın sinusunun mənfi dəyərinə bərabərdir (minus sinus alfa).
Kosinus minus alfa alfa bucağının kosinusu ilə eyni dəyəri verəcəkdir.
Tangens minus alfa mənfi tangens alfaya bərabərdir.

İkiqat bucaqları azaltmaq üçün düsturlar (ikiqat bucaqların sinus, kosinus, tangens və kotangens)

Bir bucağı yarıya bölmək və ya əksinə, ikiqat bucaqdan tək bucağa keçmək lazımdırsa, aşağıdakı triqonometrik eyniliklərdən istifadə edə bilərsiniz:

İkiqat bucaq çevrilməsi (qoşa bucağın sinusu, qoşa bucağın kosinusu və qoşa bucağın tangensi) tək aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq baş verir:

İki bucaqlı sinus tək bucağın sinusunun və kosinusunun ikiqat məhsuluna bərabərdir

İkiqat bucağın kosinusu tək bucağın kosinusunun kvadratı ilə bu bucağın sinusunun kvadratı arasındakı fərqə bərabərdir

İkiqat bucağın kosinusu tək bucağın kosinusunun kvadratının iki qatına bərabərdir

İkiqat bucağın kosinusu bir mənfi ikiqat sinus kvadrat tək bucağa bərabərdir

İkiqat bucağın tangensi payı tək bucağın tangensindən iki dəfə çox olan kəsrə, məxrəc isə tək bucağın toxunan kvadratına bir mənfi bərabərdir.

İkiqat bucağın kotangensiədədi tək bucağın kotangentinin kvadratı minus bir olan kəsrə, məxrəci isə tək bucağın kotangensinin iki qatına bərabər olan kəsrə bərabərdir.

Universal triqonometrik əvəzetmə üçün düsturlar

Aşağıdakı çevirmə düsturları triqonometrik funksiyanın arqumentini (sin α, cos α, tan α) ikiyə bölmək və ifadəni yarım bucaq dəyərinə endirmək lazım olduqda faydalı ola bilər. α-nın qiymətindən α/2 alırıq.

Bu düsturlar adlanır universal triqonometrik əvəzetmə düsturları. Onların dəyəri ondan ibarətdir ki, onların köməyi ilə triqonometrik ifadə, hansı triqonometrik funksiyalardan asılı olmayaraq, yarım bucağın tangensini ifadə etməyə endirilir ( sincos tg ctg) ilkin olaraq ifadədə idi. Bundan sonra yarım bucağın tangensi olan tənliyi həll etmək daha asandır.

Yarımbucaqlı çevrilmələr üçün triqonometrik eyniliklər

Aşağıdakı düsturlar triqonometrik çevrilmə bucağın yarısının dəyərinin tam dəyərinə bərabərdir.
α/2 triqonometrik funksiyanın arqumentinin qiyməti α triqonometrik funksiyasının arqumentinin qiymətinə endirilir.

Bucaqların əlavə edilməsi üçün triqonometrik düsturlar

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Bucaqlar cəminin tangensi və kotangensi alfa və beta triqonometrik funksiyaları çevirmək üçün aşağıdakı qaydalardan istifadə etməklə çevrilə bilər:

Bucaqların cəminin tangensi payı birinci bucağın tangensi ilə ikinci bucağın tangensinin cəminə, məxrəci isə birinci bucağın tangensi ilə ikinci bucağın tangensinin hasilinə bir minus olan kəsrə bərabərdir.

Bucaq fərqinin tangensi payı azaldılan bucağın tangensi ilə çıxılan bucağın tangensi arasındakı fərqə bərabər olan kəsrə bərabərdir və məxrəc bir üstəgəl bu bucaqların tangenslərinin hasilinə bərabərdir.

Bucaqların cəminin kotangensi payı bu bucaqların kotangenslərinin hasilinə üstəgəl bir, məxrəci isə ikinci bucağın kotangensi ilə birinci bucağın kotangensi arasındakı fərqə bərabər olan kəsrə bərabərdir.

Bucaq fərqinin kotangensi payı bu bucaqların kotangenslərinin hasili minus bir olan kəsrə, məxrəc isə bu bucaqların kotangentlərinin cəminə bərabərdir.

Bu triqonometrik eynilikləri, məsələn, 105 dərəcə (tg 105) tangensi hesablamaq lazım olduqda istifadə etmək rahatdır. Əgər siz onu tg (45 + 60) kimi təsəvvür edirsinizsə, onda siz bucaqların cəminin tangensinin verilmiş eyni çevrilmələrindən istifadə edə və sonra sadəcə 45 və tangens 60 dərəcənin cədvəlli qiymətlərini əvəz edə bilərsiniz.

Triqonometrik funksiyaların cəmini və ya fərqini çevirmək üçün düsturlar

sin α + sin β formasının cəmini təmsil edən ifadələr aşağıdakı düsturlardan istifadə etməklə çevrilə bilər:

Üçlü bucaq düsturları - sin3α cos3α tan3α-nı sinα cosα tanα-ya çevirmək

Bəzən triqonometrik funksiyanın arqumenti 3α əvəzinə α bucağına çevrilməsi üçün bucağın üçqat qiymətini çevirmək lazımdır.
Bu halda, üçlü bucaq çevrilmə düsturlarından (şəxsiyyətlərdən) istifadə edə bilərsiniz:

Triqonometrik funksiyaların məhsullarının çevrilməsi üçün düsturlar

Müxtəlif bucaqların sinuslarının məhsulunu, müxtəlif bucaqların kosinuslarını və ya hətta sinus və kosinusun məhsulunu çevirməyə ehtiyac varsa, aşağıdakı triqonometrik eyniliklərdən istifadə edə bilərsiniz:


Bu halda, müxtəlif bucaqların sinus, kosinus və ya tangens funksiyalarının hasili cəmi və ya fərqə çevriləcəkdir.

Triqonometrik funksiyaları azaltmaq üçün düsturlar

Azaltma cədvəlindən aşağıdakı kimi istifadə etməlisiniz. Sətirdə bizi maraqlandıran funksiyanı seçirik. Sütunda bir bucaq var. Məsələn, birinci cərgənin və birinci sütunun kəsişməsindəki bucağın sinüsü (α+90), biz tapırıq ki, sin (α+90) = cos α.

Müəllimlər hesab edirlər ki, hər bir şagird hesablamalar aparmalı və triqonometrik düsturları bilməlidir, lakin hər müəllim sinus və kosinusun nə olduğunu izah etmir. Onların mənası nədir, harada istifadə olunur? Niyə üçbucaqlardan danışırıq, amma dərslikdə dairə göstərilir? Gəlin bütün faktları birləşdirməyə çalışaq.

Məktəb mövzusu

Triqonometriyanın öyrənilməsi adətən 7-8-ci siniflərdən başlayır Ali məktəb. Bu zaman şagirdlərə sinus və kosinusun nə olduğu izah edilir və bu funksiyalardan istifadə edərək həndəsi məsələləri həll etmələri xahiş olunur. Daha sonra cəbri olaraq çevrilməsi lazım olan daha mürəkkəb düsturlar və ifadələr meydana çıxır (ikiqat və yarım bucaq düsturları, güc funksiyaları) və triqonometrik dairə ilə iş aparılır.

Bununla belə, müəllimlər heç də həmişə istifadə olunan anlayışların mənasını və düsturların tətbiqini aydın şəkildə izah edə bilmirlər. Ona görə də şagird çox vaxt bu fənndəki məqamı görmür, əzbərlədiyi məlumat tez unudulur. Ancaq orta məktəb şagirdinə, məsələn, funksiya ilə salınan hərəkət arasındakı əlaqəni izah etdikdən sonra məntiqi əlaqə uzun illər yaddaşlarda qalacaq, mövzunun faydasızlığı ilə bağlı zarafatlar keçmişdə qalacaq.

İstifadəsi

Maraq üçün gəlin fizikanın müxtəlif sahələrinə nəzər salaq. Bir mərminin məsafəsini müəyyən etmək istəyirsiniz? Yoxsa cisimlə müəyyən bir səth arasındakı sürtünmə qüvvəsini hesablayırsınız? Sarkacı yelləmək, şüşədən keçən şüaları seyr etmək, induksiyanı hesablamaq? Triqonometrik anlayışlar demək olar ki, hər hansı bir düsturda görünür. Beləliklə, sinus və kosinus nədir?

Təriflər

Bucağın sinusu qarşı tərəfin hipotenuzaya nisbətidir, kosinus qonşu tərəfin eyni hipotenuzaya nisbətidir. Burada tamamilə mürəkkəb bir şey yoxdur. Yəqin ki, tələbələr adətən triqonometriya cədvəlində gördükləri dəyərlərlə çaşqın olurlar, çünki bu, kvadrat kökləri ehtiva edir. Bəli, onlardan onluqları almaq çox rahat deyil, amma kim dedi ki, riyaziyyatda bütün ədədlər bərabər olmalıdır?

Əslində, triqonometriya problem kitablarında gülməli bir ipucu tapa bilərsiniz: burada cavabların əksəriyyəti cütdür və ən pis halda iki və ya üçün kökünü ehtiva edir. Nəticə sadədir: əgər cavabınız “çox mərtəbəli” fraksiya olarsa, hesablamalarda və ya əsaslandırmada səhvlər üçün həlli iki dəfə yoxlayın. Və çox güman ki, onları tapacaqsınız.

Nə xatırlamaq lazımdır

Hər hansı bir elm kimi, triqonometriyada da öyrənilməli olan məlumatlar var.

Əvvəlcə xatırlamalısınız rəqəmli dəyərlər sinuslar üçün düzbucaqlı üçbucağın kosinusu 0 və 90, həmçinin 30, 45 və 60 dərəcədir. Bu göstəricilər on məktəb problemindən doqquzunda rast gəlinir. Dərslikdə bu dəyərlərə baxmaqla siz çox vaxt itirəcəksiniz və sınaq və ya imtahan zamanı onlara ümumiyyətlə baxmaq üçün heç bir yer olmayacaq.

Yadda saxlamaq lazımdır ki, hər iki funksiyanın dəyəri birdən çox ola bilməz. Hesablamalarınızın hər hansı bir yerində 0-1 diapazonundan kənar bir dəyər əldə etsəniz, dayandırın və problemi yenidən sınayın.

Sinus və kosinusun kvadratlarının cəmi birə bərabərdir. Əgər siz artıq dəyərlərdən birini tapmısınızsa, qalanını tapmaq üçün bu düsturdan istifadə edin.

Teoremlər

Əsas triqonometriyada iki əsas teorem var: sinuslar və kosinuslar.

Birincisi, üçbucağın hər tərəfinin əks bucağın sinusuna nisbətinin eyni olduğunu bildirir. İkincisi, hər hansı bir tərəfin kvadratını qalan iki tərəfin kvadratlarını toplamaq və onların ikiqat hasilini aralarında yerləşən bucağın kosinusu ilə vurmaqla əldə etmək olar.

Beləliklə, 90 dərəcə bucağın qiymətini kosinus teoreminə əvəz etsək,... Pifaqor teoremini alarıq. İndi, düz üçbucaq olmayan bir fiqurun sahəsini hesablamaq lazımdırsa, artıq narahat olmaq lazım deyil - müzakirə olunan iki teorem problemin həllini əhəmiyyətli dərəcədə asanlaşdıracaq.

Məqsədlər və məqsədlər

Bir sadə həqiqəti dərk etdikdə triqonometriyanı öyrənmək daha asan olacaq: yerinə yetirdiyiniz bütün hərəkətlər yalnız bir məqsədə çatmağa yönəlib. Üçbucağın istənilən parametrlərini onun haqqında minimum məlumatı bilsəniz tapmaq olar - bu, bir bucağın dəyəri və iki tərəfin uzunluğu və ya məsələn, üç tərəf ola bilər.

İstənilən bucağın sinusunu, kosinusunu, tangensini təyin etmək üçün bu məlumatlar kifayətdir və onların köməyi ilə fiqurun sahəsini asanlıqla hesablaya bilərsiniz. Demək olar ki, həmişə cavab qeyd olunan dəyərlərdən birini tələb edir və onları eyni düsturlardan istifadə etməklə tapmaq olar.

Triqonometriyanın öyrənilməsində uyğunsuzluqlar

Tələbələrin qaçmağa üstünlük verdikləri çaşdırıcı suallardan biri də triqonometriyada müxtəlif anlayışlar arasında əlaqənin aşkarlanmasıdır. Görünür ki, üçbucaqlar bucaqların sinuslarını və kosinuslarını öyrənmək üçün istifadə olunur, lakin nədənsə simvollara tez-tez bir dairə ilə şəkildə rast gəlinir. Bundan əlavə, nə dairəyə, nə də üçbucaqlara heç bir xarici oxşarlığı olmayan, sinus dalğası adlanan tamamilə anlaşılmaz dalğaya bənzər bir qrafik var.

Üstəlik, bucaqlar ya dərəcələrlə, ya da radyanlarla ölçülür və sadəcə olaraq 3.14 (vahidlərsiz) kimi yazılmış Pi sayı nədənsə düsturlarda 180 dərəcəyə uyğun gəlir. Bütün bunlar necə bağlıdır?

Vahidlər

Niyə Pi tam olaraq 3.14-dür? Bu mənanın nə olduğunu xatırlayırsınız? Bu, yarım dairədə bir qövsə uyğun gələn radiusların sayıdır. Dairənin diametri 2 santimetrdirsə, çevrə 3,14 * 2 və ya 6,28 olacaqdır.

İkinci məqam: "radian" və "radius" sözləri arasındakı oxşarlığı görmüsünüz. Fakt budur ki, bir radian, dairənin mərkəzindən bir radius uzunluğunda bir qövsə götürülmüş bucağa ədədi olaraq bərabərdir.

İndi biz əldə etdiyimiz bilikləri birləşdirəcəyik və triqonometriyada niyə “Yarıda Pi”nin koordinat oxunun üstündə, “Pi”nin isə solda yazıldığını anlayacağıq. Bu radyanla ölçülən bucaq dəyəridir, çünki yarımdairə 180 dərəcə və ya 3,14 radyandır. Və dərəcələr olan yerdə sinuslar və kosinuslar var. Seqmentləri mərkəzə və koordinat oxuna kənara qoyaraq, istədiyiniz nöqtədən üçbucaq çəkmək asandır.

Gələcəyə baxaq

Məktəbdə öyrənilən triqonometriya düzxətli koordinat sistemi ilə məşğul olur, burada nə qədər qəribə səslənsə də, düz xətt düz xəttdir.

Amma daha çox var mürəkkəb yollar boşluqla işləmək: burada üçbucağın bucaqlarının cəmi 180 dərəcədən çox olacaq və bizim fikrimizcə düz xətt həqiqi bir qövsə bənzəyəcəkdir.

Gəlin sözdən hərəkətə keçək! Bir alma götürün. Bıçaqla üç kəsik edin ki, yuxarıdan baxanda üçbucaq alın. Yaranan alma parçasını çıxarın və qabığın bitdiyi "qabırğalara" baxın. Onlar heç də düz deyillər. Əlinizdə olan meyvəni şərti olaraq yuvarlaq adlandırmaq olar, amma indi kəsilmiş parçanın sahəsini tapa biləcəyiniz düsturların nə qədər mürəkkəb olduğunu təsəvvür edin. Ancaq bəzi mütəxəssislər hər gün belə problemləri həll edirlər.

Həyatda triqonometrik funksiyalar

Planetimizin səthində A nöqtəsindən B nöqtəsinə qədər bir təyyarə üçün ən qısa marşrutun açıq bir qövs formasına sahib olduğunu görmüsünüzmü? Səbəb sadədir: Yer sferikdir, yəni üçbucaqlardan istifadə edərək çox hesablaya bilməzsiniz - daha mürəkkəb düsturlardan istifadə etməlisiniz.

Kosmosla bağlı hər hansı bir sualda kəskin bucağın sinus/kosinusu olmadan edə bilməzsiniz. Maraqlıdır ki, burada çoxlu amillər bir araya gəlir: planetlərin dairələr, ellipslər və daha mürəkkəb formalı müxtəlif trayektoriyalar boyunca hərəkətini hesablayarkən triqonometrik funksiyalar tələb olunur; raketlərin, peyklərin, servislərin buraxılması, tədqiqat aparatlarının boşaldılması prosesi; uzaq ulduzları müşahidə etmək və insanların yaxın gələcəkdə çata bilməyəcəyi qalaktikaları öyrənmək.

Ümumiyyətlə, triqonometriyanı bilən bir insanın fəaliyyət sahəsi çox genişdir və görünür, yalnız zamanla genişlənəcəkdir.

Nəticə

Bu gün biz sinus və kosinusun nə olduğunu öyrəndik və ya heç olmasa təkrarladıq. Bunlar qorxmağınız lazım olmayan anlayışlardır - sadəcə onları istəyin və onların mənasını anlayacaqsınız. Unutmayın ki, triqonometriya məqsəd deyil, yalnız real insan ehtiyaclarını ödəmək üçün istifadə edilə bilən bir vasitədir: evlər tikmək, hərəkət təhlükəsizliyini təmin etmək, hətta kainatın genişliyini araşdırmaq.

Həqiqətən də, elmin özü darıxdırıcı görünə bilər, lakin siz onda öz məqsədlərinizə çatmaq və özünü həyata keçirmək üçün bir yol tapan kimi öyrənmə prosesi maraqlı olacaq və şəxsi motivasiyanız artacaq.

kimi ev tapşırığıŞəxsən sizi maraqlandıran fəaliyyət sahəsində triqonometrik funksiyaları tətbiq etməyin yollarını tapmağa çalışın. Təsəvvür edin, təxəyyülünüzü işə salın və o zaman yəqin ki, yeni biliklərin gələcəkdə sizin üçün faydalı olacağını görəcəksiniz. Bundan əlavə, riyaziyyat təfəkkürün ümumi inkişafı üçün faydalıdır.

Bu yazıda hərtərəfli nəzərdən keçirəcəyik. Əsas triqonometrik eyniliklər bir bucağın sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi arasında əlaqə yaradan və məlum digəri vasitəsilə bu triqonometrik funksiyalardan hər hansı birini tapmağa imkan verən bərabərliklərdir.

Bu yazıda təhlil edəcəyimiz əsas triqonometrik şəxsiyyətləri dərhal sadalayaq. Gəlin onları cədvəldə yazaq və aşağıda bu düsturların çıxışını verəcəyik və lazımi izahatları verəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Bir bucağın sinüsü ilə kosinusu arasında əlaqə

Bəzən yuxarıdakı cədvəldə sadalanan əsas triqonometrik eyniliklər haqqında deyil, bir tək haqqında danışırlar əsas triqonometrik eynilik mehriban . Bu faktın izahı olduqca sadədir: bərabərliklər əsas triqonometrik eynilikdən onun hər iki hissəsini müvafiq olaraq, və bərabərliklərə böldükdən sonra əldə edilir. Və sinus, kosinus, tangens və kotangensin təriflərindən əməl edin. Bu barədə növbəti paraqraflarda daha ətraflı danışacağıq.

Yəni, əsas triqonometrik eyniliyin adı verilən bərabərlik xüsusi maraq doğurur.

Əsas triqonometrik eyniliyi sübut etməzdən əvvəl onun formulunu veririk: bir bucağın sinusunun və kosinusunun kvadratlarının cəmi eyni şəkildə birinə bərabərdir. İndi bunu sübut edək.

Əsas triqonometrik şəxsiyyət çox vaxt istifadə olunur triqonometrik ifadələrin çevrilməsi. Bu, bir bucağın sinus və kosinusunun kvadratlarının cəmini bir ilə əvəz etməyə imkan verir. Əsas triqonometrik eynilik daha az tez-tez istifadə olunur tərs qaydada: vahid istənilən bucağın sinus və kosinusunun kvadratlarının cəmi ilə əvəz olunur.

Sinus və kosinus vasitəsilə tangens və kotangens

Tangens və kotangensi bir baxış bucağının sinus və kosinusu ilə birləşdirən eyniliklər və sinus, kosinus, tangens və kotangensin təriflərindən dərhal əməl edin. Həqiqətən də, tərifə görə sinus y-nin ordinatıdır, kosinus x-in absisidir, tangens ordinatın absissə nisbətidir, yəni. , kotangens isə absislərin ordinata nisbətidir, yəni .

Kimliklərin belə aşkarlığı sayəsində və Tangens və kotangens çox vaxt absis və ordinat nisbəti ilə deyil, sinus və kosinus nisbəti ilə müəyyən edilir. Deməli, bucağın tangensi sinusun bu bucağın kosinusuna, kotangens isə kosinusun sinusuna nisbətidir.

Bu bəndin sonunda qeyd etmək lazımdır ki, şəxsiyyətlər və onlara daxil olan triqonometrik funksiyaların məna kəsb etdiyi bütün bucaqlar üçün baş verir. Beləliklə, düstur (əks halda məxrəc sıfır olacaq və biz sıfıra bölməni təyin etməmişik) və düsturdan başqa hər hansı biri üçün etibarlıdır. - hamı üçün , fərqli , burada z hər hansıdır .

Tangens və kotangens arasındakı əlaqə

Əvvəlki ikisindən daha aydın triqonometrik eynilik, formanın bir bucağının tangensini və kotangensini birləşdirən eynilikdir. . Aydındır ki, -dən başqa hər hansı bucaqlar üçün uyğundur, əks halda ya tangens, ya da kotangens müəyyən edilmir.

Düsturun sübutu çox sadə. Tərifinə görə və haradan . Sübut bir az fərqli həyata keçirilə bilərdi. ildən , Bu .

Beləliklə, onların məna verdiyi eyni bucağın tangensi və kotangensi .

Məncə siz bundan daha çoxuna layiqsiniz. Budur triqonometriya açarım:

• Günbəzi, divarı və tavanı çəkin
• Triqonometrik funksiyalar bu üç formanın faizindən başqa bir şey deyil.

Sinus və kosinus üçün metafora: günbəz

Üçbucaqların özlərinə baxmaq əvəzinə, bəzilərini taparaq onları hərəkətdə təsəvvür edin xüsusi misal həyatdan.

Təsəvvür edin ki, günbəzin ortasındasınız və kinoproyektor ekranını asmaq istəyirsiniz. Siz barmağınızı qübbəni müəyyən bir “x” bucağında göstərirsiniz və ekran bu nöqtədən asılmalıdır.

Göstərdiyiniz bucaq müəyyən edir:

• sinus(x) = sin(x) = ekran hündürlüyü (döşəmədən günbəzin montaj nöqtəsinə qədər)
• kosinus(x) = cos(x) = sizdən ekrana qədər olan məsafə (mərtəbə ilə)
• hipotenuz, sizdən ekranın yuxarısına qədər olan məsafə, həmişə eyni, günbəzin radiusuna bərabərdir

Ekranın mümkün qədər böyük olmasını istəyirsiniz? Onu birbaşa üstünüzdən asın.

Ekranın sizdən mümkün qədər uzağa asılmasını istəyirsiniz? Düz perpendikulyar asın. Bu vəziyyətdə ekranın hündürlüyü sıfır olacaq və xahiş etdiyiniz kimi ən uzaqda asılacaq.

Hündürlük və ekrandan məsafə tərs mütənasibdir: ekran nə qədər yaxından asılırsa, onun hündürlüyü bir o qədər böyük olur.

Sinus və kosinus faizdir

Təəssüf ki, oxuduğum illər ərzində heç kim mənə sinus və kosinus triqonometrik funksiyalarının faizdən başqa bir şey olmadığını izah etmədi. Onların dəyərləri +100% -dən 0-dan -100% -ə qədər və ya müsbət maksimumdan sıfıra qədər mənfi maksimuma qədər dəyişir.

Tutaq ki, mən 14 rubl vergi ödəmişəm. Nə qədər olduğunu bilmirsən. Amma desəniz ki, mən 95 faiz vergi ödəmişəm, başa düşəcəksiniz ki, mən sadəcə olaraq ləpələnmişəm.

Mütləq hündürlük heç nə demək deyil. Amma əgər sinus dəyəri 0,95 olarsa, o zaman başa düşürəm ki, televizor demək olar ki, günbəzinizin üstündə asılır. Çox tezliklə günbəzin mərkəzində maksimum hündürlüyünə çatacaq və sonra yenidən azalmağa başlayacaq.

Bu faizi necə hesablaya bilərik? Çox sadədir: mövcud ekran hündürlüyünü mümkün olan maksimuma bölün (qübbənin radiusu, həmçinin hipotenuza da deyilir).

Buna görə də Bizə deyilir ki, "kosinus = əks tərəf / hipotenuz". Hər şey maraq qazanmaqdır! Sinusu "mümkün olan maksimumdan cari hündürlüyün faizi" kimi təyin etmək daha yaxşıdır. (Bucağınız “yeraltını” göstərirsə, sinüs mənfi olur. Əgər bucaq arxanızdakı günbəz nöqtəsinə işarə edirsə, kosinus mənfi olur.)

Vahid dairənin mərkəzində olduğumuzu fərz etməklə hesablamaları sadələşdirək (radius = 1). Bölməni atlaya bilərik və yalnız hündürlüyə bərabər sinus götürə bilərik.

Hər bir dairə mahiyyətcə tək bir dairədir, istədiyiniz ölçüyə qədər böyüdülmüş və ya aşağı salınmışdır. Beləliklə, vahid dairə əlaqələrini müəyyənləşdirin və nəticələri xüsusi dairə ölçüsünə tətbiq edin.

Təcrübə edin: istənilən küncü götürün və hündürlüyün eni ilə neçə faizinin göstərildiyinə baxın:

Sinus dəyərinin artım qrafiki sadəcə düz xətt deyil. İlk 45 dərəcə hündürlüyün 70% -ni əhatə edir, lakin son 10 dərəcə (80 ° -dən 90 ° -ə qədər) yalnız 2% -ni əhatə edir.

Bu sizə bunu daha aydın göstərəcək: bir dairədə gəzirsinizsə, 0°-də demək olar ki, şaquli yüksəlirsiniz, lakin günbəzin yuxarı hissəsinə yaxınlaşdıqca hündürlük getdikcə daha az dəyişir.

Tangens və sekant. Divar

Bir gün qonşu bir divar tikdi düz bir-birinin yanında sənin günbəzinə. Pəncərədən baxışınızı ağladı və yenidən satış üçün yaxşı qiymətə!

Bəs bu vəziyyətdə hansısa yolla qalib gəlmək mümkündürmü?

Əlbəttə bəli. Qonşumuzun divarına kino ekranı assaq necə olar? Bucağı (x) hədəfləyirsiniz və əldə edirsiniz:

• tan(x) = tan(x) = divardakı ekran hündürlüyü
• sizdən divara qədər olan məsafə: 1 (bu günbəzinizin radiusudur, divar sizdən heç yerə hərəkət etmir, elə deyilmi?)
• sekant(x) = sec(x) = günbəzin mərkəzində dayanan sizdən asılmış ekranın yuxarısına qədər "nərdivan uzunluğu"

Tangens və ya ekran hündürlüyü ilə bağlı bir neçə məqama aydınlıq gətirək.

• 0-dan başlayır və sonsuz yüksəkliyə qalxa bilər. Sevdiyiniz filmi izləmək üçün sonsuz kətan yaratmaq üçün ekranı divara və daha yüksəklərə uzada bilərsiniz! (Belə bir nəhəng üçün, əlbəttə ki, çox pul xərcləməli olacaqsınız).
• tangens sinusun daha böyük versiyasıdır! Günbəzin zirvəsinə doğru irəlilədikcə sinusun artması yavaşlasa da, tangens böyüməyə davam edir!

Sekansu da öyünməli bir şey var:

• Sekant 1-dən başlayır (nərdivan yerdədir, sizdən divara) və oradan qalxmağa başlayır.
• Sekant həmişə tangensdən uzun olur. Ekranınızı asmaq üçün istifadə etdiyiniz maili nərdivan ekranın özündən uzun olmalıdır, elə deyilmi? (Qeyri-real ölçülərlə, ekran çox uzun olduqda və nərdivanı demək olar ki, şaquli olaraq yerləşdirmək lazım olduqda, onların ölçüləri demək olar ki, eynidir. Amma belə olduqda da sekant bir az daha uzun olacaq).

Unutmayın, dəyərlər var faiz. Ekranı 50 dərəcə bucaq altında asmaq qərarına gəlsəniz, tan(50)=1,19. Ekranınız divara olan məsafədən (qübbə radiusu) 19% böyükdür.

(x=0 daxil edin və intuisiyanızı yoxlayın - tan(0) = 0 və san(0) = 1).

Kotangent və kosekant. Tavan

İnanılmazdır ki, qonşunuz indi günbəzinizin üstündə dam tikmək qərarına gəlib. (Onun nə günahı var? Deyəsən, o, lüt həyətdə gəzərkən sənin ona casusluq etməni istəmir...)

Yaxşı, dam üçün bir çıxış qurmaq və qonşunuzla danışmaq vaxtı gəldi. Siz meyl bucağını seçirsiniz və tikintiyə başlayırsınız:

• dam çıxışı ilə döşəmə arasındakı şaquli məsafə həmişə 1-dir (qübbənin radiusu)
• kotangent(x) = çarpayı(x) = günbəzin yuxarı hissəsi ilə çıxış nöqtəsi arasındakı məsafə
• cosekant(x) = csc(x) = damınıza gedən yolun uzunluğu

Tangens və sekant divarı, COtangent və COsekant isə tavanı təsvir edir.

Bu dəfəki intuitiv nəticələrimiz əvvəlkilərə bənzəyir:

• Bucağı 0 ° -ə bərabər götürsəniz, tavana çıxışınız əbədi davam edəcək, çünki o, heç vaxt tavana çatmayacaq. Problem.
• Damın ən qısa "nərdivanı" döşəməyə 90 dərəcə bir açı ilə qurarsanız əldə ediləcəkdir. Kotangent 0-a bərabər olacaq (biz ümumiyyətlə dam boyunca hərəkət etmirik, ciddi şəkildə perpendikulyar çıxırıq) və kosekant 1-ə bərabər olacaq (nərdivan uzunluğu minimal olacaq).

Əlaqələri vizuallaşdırın

Hər üç hal günbəz-divar-tavan kombinasiyasında çəkilərsə, nəticə aşağıdakı olacaq:

Bəli, hələ də eyni üçbucaqdır, divara və tavana çatmaq üçün ölçüsü artır. Şaquli tərəflərimiz (sinus, tangens), üfüqi tərəflərimiz (kosinus, kotangens) və "hipotenuzlarımız" (sekant, kosekant) var. (Oxlar vasitəsilə siz hər bir elementin hara çatdığını görə bilərsiniz. Kosekant sizdən dam örtüyünə qədər olan ümumi məsafədir).

Bir az sehrli. Bütün üçbucaqlar eyni bərabərliklərə malikdir:

Pifaqor teoremindən (a 2 + b 2 = c 2) hər üçbucağın tərəflərinin necə bağlandığını görürük. Bundan əlavə, "hündürlükdən enə" nisbətləri də bütün üçbucaqlar üçün eyni olmalıdır. (Sadəcə ən başdan geri çəkil böyük üçbucaq daha az. Bəli, ölçü dəyişdi, lakin aspekt nisbətləri eyni qalacaq).

Hər üçbucağın hansı tərəfinin 1-ə (qübbənin radiusu) bərabər olduğunu bilməklə, biz asanlıqla “sin/cos = tan/1” hesablaya bilərik.

Mən həmişə sadə vizuallaşdırma vasitəsilə bu faktları xatırlamağa çalışmışam. Şəkildə siz bu asılılıqları aydın görürsünüz və onların haradan gəldiyini başa düşürsünüz. Bu texnika quru formulları yadda saxlamaqdan qat-qat yaxşıdır.

Digər açılar haqqında unutmayın

Psst... Tangensin həmişə 1-dən kiçik olduğunu düşünüb bir qrafikdə ilişib qalma.Bucağı artırsan, divara çatmadan tavana çata bilərsən:

Pifaqor əlaqələri həmişə işləyir, lakin nisbi ölçülər fərqli ola bilər.

(Ola bilsin ki, sinus və kosinus nisbətlərinin həmişə ən kiçik olduğunu fərq etmişsiniz, çünki onlar günbəzin içərisindədir).

Xülasə etmək üçün: nəyi yadda saxlamalıyıq?

Çoxumuz üçün deyərdim ki, bu kifayətdir:

• triqonometriya dairələr və təkrarlanan intervallar kimi riyazi obyektlərin anatomiyasını izah edir
• Günbəz/divar/dam bənzətməsi müxtəlif triqonometrik funksiyalar arasındakı əlaqəni göstərir
• Triqonometrik funksiyalar bizim ssenarimizə tətbiq etdiyimiz faizlərlə nəticələnir.

1 2 + çarpayı 2 = csc 2 kimi düsturları yadda saxlamağa ehtiyac yoxdur. Onlar yalnız bir fakt haqqında biliklərin onu başa düşmək kimi ötürüldüyü axmaq sınaqlar üçün uyğundur. Bir günbəz, divar və dam şəklində yarımdairə çəkmək üçün bir dəqiqə vaxt ayırın, elementləri etiketləyin və bütün formullar kağız üzərində sizə gələcək.

Tətbiq: Tərs funksiyalar

İstənilən triqonometrik funksiya giriş parametri kimi bucaq götürür və nəticəni faizlə qaytarır. sin(30) = 0,5. Bu o deməkdir ki, 30 dərəcə bucaq maksimum hündürlüyün 50%-ni tutur.

Tərs triqonometrik funksiya sin -1 və ya arcsin kimi yazılır. Bu da tez-tez olaraq yazılır müxtəlif dillər proqramlaşdırma.

Əgər hündürlüyümüz günbəzin hündürlüyünün 25%-ni təşkil edirsə, bucağımız nə qədərdir?

Bizim nisbətlər cədvəlimizdə sekantın 1-ə bölündüyü nisbəti tapa bilərsiniz. Məsələn, sekant 1-ə (üfüqi üçün hipotenuza) kosinusla bölünən 1-ə bərabər olacaq:

Tutaq ki, sekantımız 3,5-dir, yəni. Vahid dairənin radiusunun 350%-i. Bu dəyər divara hansı meyl bucağına uyğundur?

Əlavə: Bəzi nümunələr

Nümunə: x bucağının sinusunu tapın.

Darıxdırıcı bir iş. Gəlin banal “sinusu tapın” ifadəsini “Maksimumun (hipotenuzanın) faizi kimi hündürlük neçəyə bərabərdir?” kimi çətinləşdirək.

Əvvəlcə üçbucağın fırlandığına diqqət yetirin. Bunda səhv bir şey yoxdur. Üçbucağın da hündürlüyü var, şəkildə yaşıl rənglə göstərilib.

Hipotenuz nəyə bərabərdir? Pifaqor teoreminə görə biz bilirik ki:

3 2 + 4 2 = hipotenuz 2 25 = hipotenuz 2 5 = hipotenuz

Yaxşı! Sinus üçbucağın ən uzun tərəfinin və ya hipotenuzun hündürlüyünün faizidir. Bizim nümunəmizdə sinus 3/5 və ya 0,60-dır.

Təbii ki, bir neçə yolla gedə bilərik. İndi biz bilirik ki, sinus 0,60-dır, sadəcə olaraq arksini tapa bilərik:

Asin(0,6)=36,9

Budur başqa bir yanaşma. Qeyd edək ki, üçbucaq “divara baxır”, buna görə də sinus əvəzinə tangensdən istifadə edə bilərik. Hündürlük 3, divara olan məsafə 4-dür, ona görə də tangens ¾ və ya 75% -dir. Faiz dəyərindən bucağa qayıtmaq üçün arktangentdən istifadə edə bilərik:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Misal: Sahilə üzəcəksən?

Siz qayıqdasınız və 2 km qət etmək üçün kifayət qədər yanacağınız var. İndi sahildən 0,25 km uzaqdasınız. Sahilə maksimum hansı bucaq altında ona tərəf üzmək olar ki, kifayət qədər yanacağın olsun? Problem ifadəsinə əlavə: bizdə yalnız qövs kosinus dəyərlərinin cədvəli var.

Bizdə nə var? Sahil xətti məşhur üçbucağımızda “divar” kimi göstərilə bilər və divara bərkidilmiş “nərdivan uzunluğu” qayıqla sahilə qədər keçə biləcəyi maksimum məsafədir (2 km). Bir sekant görünür.

Əvvəlcə faizlərə keçməlisiniz. Bizdə 2 / 0,25 = 8, yəni sahilə (ya da divara) düz məsafədən 8 dəfə çox olan məsafəni üzə bilərik.

Sual yaranır: "8-in sekantı nədir?" Ancaq biz buna cavab verə bilmərik, çünki bizdə yalnız qövs kosinusları var.

Sekantı kosinusla əlaqələndirmək üçün əvvəllər əldə edilmiş asılılıqlarımızdan istifadə edirik: “sec/1 = 1/cos”

8-in sekantı ⅛-in kosinusuna bərabərdir. Kosinusu ⅛ olan bucaq acos(1/8) = 82,8-ə bərabərdir. Və bu, müəyyən miqdarda yanacaq olan bir qayıqda ödəyə biləcəyimiz ən böyük bucaqdır.

Pis deyil, hə? Günbəz-divar-tavan bənzətməsi olmasaydı, mən çoxlu düsturlar və hesablamalar içində itərdim. Problemin vizuallaşdırılması həll yolunun axtarışını xeyli asanlaşdırır və nəticədə hansı triqonometrik funksiyanın kömək edəcəyini görmək də maraqlıdır.

Hər problem üçün belə düşünün: Məni günbəz (sin/cos), divar (tan/san) və ya tavan (beşik/csc) maraqlandırır?

Və triqonometriya daha zövqlü olacaq. Sizin üçün asan hesablamalar!

Bucağın sinus, kosinus, tangens, kotangens nə olduğunu başa düşməyə kömək edəcək düz üçbucaq.

Düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri necə adlanır? Düzdür, hipotenuza və ayaqlar: hipotenuza düzgün bucağın qarşısında yerləşən tərəfdir (bizim nümunəmizdə bu tərəf \(AC\)); ayaqları qalan iki tərəfdir \(AB\) və \(BC\) (bitişik olanlar düz bucaq), və əgər ayaqları \(BC\) bucağına nisbətən nəzərə alsaq, \(AB\) ayaq bitişik ayaq, \(BC\) isə əksinədir. Beləliklə, indi suala cavab verək: bucağın sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi nədir?

Bucaq sinüsü– bu, əks (uzaq) ayağın hipotenuzaya nisbətidir.

Bizim üçbucağımızda:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Bucaq kosinusu– bu, bitişik (yaxın) ayağın hipotenuzaya nisbətidir.

Bizim üçbucağımızda:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Bucağın tangensi– bu, qarşı (uzaq) tərəfin bitişik (yaxın) tərəfə nisbətidir.

Bizim üçbucağımızda:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Bucaq kotangensi– bu, bitişik (yaxın) ayağın əksinə (uzağa) nisbətidir.

Bizim üçbucağımızda:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Bu təriflər zəruridir xatırlayın! Hansı ayağın nəyə bölünəcəyini xatırlamağı asanlaşdırmaq üçün bunu aydın şəkildə başa düşməlisiniz tangens Və kotangent yalnız ayaqları oturur və hipotenuz yalnız içərisində görünür sinus Və kosinus. Və sonra birliklər zənciri ilə gələ bilərsiniz. Məsələn, bu:

Kosinus→toxunma→toxunma→bitişik;

Kotangent→toxunma→toxunma→bitişik.

Əvvəlcə xatırlamaq lazımdır ki, sinus, kosinus, tangens və kotangens üçbucağın tərəflərinin nisbətləri bu tərəflərin uzunluqlarından (eyni bucaq altında) asılı deyildir. İnanma? Sonra şəkilə baxaraq əmin olun:

Məsələn, \(\beta \) bucağın kosinusunu nəzərdən keçirək. Tərifinə görə, \(ABC\) üçbucağından: \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), lakin \(AHI \) üçbucağından \(\beta \) bucağının kosinusunu hesablaya bilərik: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Görürsünüz, tərəflərin uzunluqları fərqlidir, lakin bir bucağın kosinusunun qiyməti eynidir. Beləliklə, sinus, kosinus, tangens və kotangensin dəyərləri yalnız bucağın böyüklüyündən asılıdır.

Əgər tərifləri başa düşsəniz, davam edin və onları birləşdirin!

Aşağıdakı şəkildə göstərilən \(ABC \) üçbucağı üçün tapırıq \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(massiv)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(massiv) \)

Yaxşı, aldınız? Sonra özünüz cəhd edin: \(\beta \) bucağı üçün eyni şeyi hesablayın.

Cavablar: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Vahid (triqonometrik) dairə

Dərəcə və radyan anlayışlarını başa düşərək, radiusu \(1\) -ə bərabər olan bir dairəni nəzərdən keçirdik. Belə bir dairə deyilir subay. Triqonometriyanı öyrənərkən çox faydalı olacaq. Buna görə də gəlin bir az daha ətraflı baxaq.

Göründüyü kimi, bu çevrə Dekart koordinat sistemində qurulmuşdur. Dairənin radiusu birə bərabərdir, dairənin mərkəzi koordinatların başlanğıcında yerləşdiyi halda, radius vektorunun ilkin mövqeyi \(x\) oxunun müsbət istiqaməti boyunca sabitdir (bizim nümunəmizdə bu radiusdur \(AB\)).

Dairənin hər bir nöqtəsi iki rəqəmə uyğundur: \(x\) oxu boyunca koordinat və \(y\) oxu boyunca koordinat. Bu koordinat nömrələri nədir? Və ümumiyyətlə, onların müzakirə mövzusu ilə nə əlaqəsi var? Bunu etmək üçün nəzərdə tutulan düzbucaqlı üçbucağı xatırlamaq lazımdır. Yuxarıdakı şəkildə iki tam düz üçbucaq görə bilərsiniz. \(ACG\) üçbucağını nəzərdən keçirək. O, düzbucaqlıdır, çünki \(CG\) \(x\) oxuna perpendikulyardır.

\(ACG \) üçbucağından \(\cos \ \alpha \) nədir? Düzdür \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Bundan əlavə, biz bilirik ki, \(AC\) vahid dairənin radiusudur, yəni \(AC=1\) . Bu dəyəri kosinus üçün düsturumuzda əvəz edək. Nə baş verir:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

\(ACG \) üçbucağından \(\sin \ \alfa \) nəyə bərabərdir? Yaxşı, əlbəttə, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Bu düsturda \(AC\) radiusunun dəyərini əvəz edin və əldə edin:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Beləliklə, dairəyə aid olan \(C\) nöqtəsinin hansı koordinatlara malik olduğunu deyə bilərsinizmi? Yaxşı, olmaz? Əgər \(\cos \ \alpha \) və \(\sin \alpha \) sadəcə rəqəmlər olduğunu başa düşsəniz nə olacaq? \(\cos \alpha \) hansı koordinata uyğun gəlir? Yaxşı, əlbəttə ki, \(x\) koordinatı! Və \(\sin \alpha \) hansı koordinata uyğun gəlir? Düzdü, \(y\) koordinasiya edin! Beləliklə, nöqtə \(C(x;y)=C(\cos \alpha;\sin \alpha) \).

\(tg \alpha \) və \(ctg \alpha \) nəyə bərabərdir? Düzdür, tangens və kotangensin müvafiq təriflərindən istifadə edək və bunu əldə edək \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Bucaq daha böyükdürsə nə olacaq? Məsələn, bu şəkildəki kimi:

Nə dəyişdi bu misalda? Gəlin bunu anlayaq. Bunun üçün yenidən düz üçbucağa dönək. Düzgün üçbucağı nəzərdən keçirək \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : bucaq (bucağa bitişik \(\beta \) ). Bucaq üçün sinus, kosinus, tangens və kotangensin dəyəri nədir \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Düzdür, triqonometrik funksiyaların müvafiq təriflərinə əməl edirik:

\(\begin(massiv)(l)\sin \bucaq ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \bucaq ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\bucaq ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\bucaq ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(massiv) \)

Yaxşı, gördüyünüz kimi, bucağın sinusunun qiyməti hələ də koordinata uyğundur \(y\) ; bucağın kosinusunun qiyməti - koordinat \(x\) ; və uyğun nisbətlərə toxunan və kotangensin qiymətləri. Beləliklə, bu əlaqələr radius vektorunun istənilən fırlanmasına aiddir.

Artıq qeyd edilmişdir ki, radius vektorunun ilkin mövqeyi \(x\) oxunun müsbət istiqaməti boyunca yerləşir. İndiyə qədər biz bu vektoru saat əqrəbinin əksinə fırladıq, bəs onu saat əqrəbinin əksinə çevirsək nə olar? Fövqəladə bir şey yoxdur, siz də müəyyən bir dəyər bucağı alacaqsınız, ancaq yalnız mənfi olacaq. Beləliklə, radius vektorunu saat əqrəbinin əksinə fırladıqda alırıq müsbət açılar, və saat əqrəbi istiqamətində fırlananda – mənfi.

Beləliklə, biz bilirik ki, radius vektorunun dairə ətrafında bütün dövrəsi \(360()^\circ \) və ya \(2\pi \) . Radius vektorunu \(390()^\circ \) və ya \(-1140()^\circ \) ilə çevirmək mümkündürmü? Yaxşı, əlbəttə ki, edə bilərsiniz! Birinci halda, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), beləliklə, radius vektoru bir tam inqilab edəcək və \(30()^\circ \) və ya \(\dfrac(\pi )(6) \) mövqeyində dayanacaq.

İkinci halda, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), yəni radius vektoru üç tam dövr edəcək və \(-60()^\circ \) və ya \(-\dfrac(\pi )(3) \) mövqeyində dayanacaq.

Beləliklə, yuxarıdakı nümunələrdən belə nəticəyə gələ bilərik ki, \(360()^\circ \cdot m \) və ya \(2\pi \cdot m \) ilə fərqlənən bucaqlar (burada \(m \) istənilən tam ədəddir ), radius vektorunun eyni mövqeyinə uyğundur.

Aşağıdakı rəqəm bucağı göstərir \(\beta =-60()^\circ \) . Eyni şəkil küncə uyğun gəlir \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) və s. Bu siyahını sonsuza qədər davam etdirmək olar. Bütün bu bucaqlar ümumi düsturla yazıla bilər \(\beta +360()^\circ \cdot m\) və ya \(\beta +2\pi \cdot m \) (burada \(m \) istənilən tam ədəddir)

\(\begin(massiv)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(massiv) \)

İndi əsas triqonometrik funksiyaların təriflərini bilmək və vahid dairədən istifadə edərək, dəyərlərin nə olduğuna cavab verməyə çalışın:

\(\begin(massiv)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(massiv) \)

Budur sizə kömək etmək üçün vahid dairə:

Çətinliklər var? Onda gəlin bunu anlayaq. Beləliklə, biz bunu bilirik:

\(\begin(massiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(massiv)\)

Buradan müəyyən bucaq ölçülərinə uyğun olan nöqtələrin koordinatlarını təyin edirik. Yaxşı, sıra ilə başlayaq: küncdən içəri \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) koordinatları olan nöqtəyə uyğundur \(\left(0;1 \right) \) , buna görə də:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Sağ ox \text(tg)\ 90()^\circ \)- mövcud deyil;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Bundan əlavə, eyni məntiqə riayət edərək, künclərin içəridə olduğunu öyrənirik \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) koordinatları olan nöqtələrə uyğundur \(\sol(-1;0 \sağ),\text( )\left(0;-1 \sağ),\text( )\left(1;0 \sağ),\text( )\left(0 ;1 \sağ) \), müvafiq olaraq. Bunu bilməklə, müvafiq nöqtələrdə triqonometrik funksiyaların qiymətlərini təyin etmək asandır. Əvvəlcə özünüz cəhd edin, sonra cavabları yoxlayın.

Cavablar:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \\pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Sağ ox \text(ctg)\ \pi \)- mövcud deyil

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\ cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Sağ ox \text(tg)\ 270()^\circ \)- mövcud deyil

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Sağ ox \text(ctg)\ 2\pi \)- mövcud deyil

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Sağ ox \text(tg)\ 450()^\circ \)- mövcud deyil

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Beləliklə, aşağıdakı cədvəli tərtib edə bilərik:

Bütün bu dəyərləri xatırlamağa ehtiyac yoxdur. Vahid dairədəki nöqtələrin koordinatları ilə triqonometrik funksiyaların qiymətləri arasındakı uyğunluğu xatırlamaq kifayətdir:

\(\sol. \begin(massiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(massiv) \sağ\)\ \text(Siz yadda saxlamalı və ya göstərə bilməlisiniz! \) !}

Lakin bucaqların triqonometrik funksiyalarının dəyərləri və \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) aşağıdakı cədvəldə verilmişdir, yadda saxlamalısınız:

Qorxma, indi biz sizə müvafiq dəyərlərin kifayət qədər sadə yadda saxlanmasının bir nümunəsini göstərəcəyik:

Bu metoddan istifadə etmək üçün hər üç bucaq ölçüsü üçün sinus dəyərlərini yadda saxlamaq vacibdir ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), həmçinin \(30()^\circ \) -dəki bucağın tangensinin qiyməti. Bu \(4\) dəyərləri bilməklə, bütün cədvəli bərpa etmək olduqca sadədir - kosinus dəyərləri oxlara uyğun olaraq köçürülür, yəni:

\(\begin(massiv)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(massiv) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), bunu bilərək, üçün dəyərləri bərpa edə bilərsiniz \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). "\(1 \)" payı \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) uyğun olacaq və "\(\sqrt(\text(3)) \)" məxrəci uyğun olacaq \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangent dəyərlər şəkildə göstərilən oxlara uyğun olaraq köçürülür. Bunu başa düşsəniz və oxlarla diaqramı xatırlasanız, cədvəldən yalnız \(4\) dəyərləri xatırlamaq kifayət edəcəkdir.

Dairə üzərindəki nöqtənin koordinatları

Dairənin mərkəzinin koordinatlarını, radiusunu və fırlanma bucağını bilə-bilə çevrə üzərində nöqtəni (onun koordinatlarını) tapmaq mümkündürmü? Yaxşı, əlbəttə ki, edə bilərsiniz! Nöqtənin koordinatlarını tapmaq üçün ümumi düstur çıxaraq. Məsələn, qarşımızda bir dairə var:

Bizə həmin məqam verilir \(K(((x)_(0));((y)_(0)=K(3;2) \)- dairənin mərkəzi. Dairənin radiusu \(1,5\) -dir. \(O\) nöqtəsini \(\delta \) dərəcə fırlatmaqla əldə edilən \(P\) nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq lazımdır.

Şəkildən göründüyü kimi \(P\) nöqtəsinin koordinatı \(x\) seqmentin uzunluğuna uyğundur \(TP=UQ=UK+KQ\) . \(UK\) seqmentinin uzunluğu dairənin mərkəzinin koordinatına \(x\) uyğundur, yəni \(3\) -ə bərabərdir. \(KQ\) seqmentinin uzunluğu kosinusun tərifindən istifadə etməklə ifadə edilə bilər:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Sonra \(P\) nöqtəsi üçün koordinatımız var \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Eyni məntiqdən istifadə edərək \(P\) nöqtəsi üçün y koordinatının qiymətini tapırıq. Beləliklə,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Beləliklə, in ümumi görünüş Nöqtələrin koordinatları düsturlarla müəyyən edilir:

\(\begin(massiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(massiv) \), Harada

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - dairənin mərkəzinin koordinatları,

\(r\) - dairənin radiusu,

\(\delta \) - vektor radiusunun fırlanma bucağı.

Gördüyünüz kimi, nəzərdən keçirdiyimiz vahid dairə üçün bu düsturlar əhəmiyyətli dərəcədə azaldılır, çünki mərkəzin koordinatları sıfıra bərabərdir və radius birə bərabərdir:

\(\begin(massiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(massiv) \)

Javascript brauzerinizdə deaktiv edilib.
Hesablamaları yerinə yetirmək üçün ActiveX nəzarətlərini aktivləşdirməlisiniz!