Tarix: 20.11.2014

Törəmə nədir?

Törəmələr cədvəli.

Törəmə əsas anlayışlardan biridir ali riyaziyyat. Bu dərsdə biz bu anlayışı təqdim edəcəyik. Gəlin, ciddi riyazi ifadələr və sübutlar olmadan bir-birimizi tanıyaq.

Bu tanışlıq sizə imkan verəcək:

Törəmələrlə sadə tapşırıqların mahiyyətini başa düşmək;

Bu ən sadə vəzifələri uğurla həll edin;

Törəmələrlə bağlı daha ciddi dərslərə hazırlaşın.

Birincisi - xoş sürpriz.)

Törəmənin ciddi tərifi məhdudiyyətlər nəzəriyyəsinə əsaslanır və şey olduqca mürəkkəbdir. Bu üzücüdür. Lakin törəmələrin praktiki tətbiqi, bir qayda olaraq, belə geniş və dərin bilik tələb etmir!

Məktəbdə və universitetdə bir çox işi uğurla yerinə yetirmək üçün bilmək kifayətdir sadəcə bir neçə şərt- tapşırığı başa düşmək və sadəcə bir neçə qayda- həll etmək üçün. Hamısı budur. Bu məni xoşbəxt edir.

Tanışlığa başlayaq?)

Şərtlər və təyinatlar.

İbtidai riyaziyyatda çoxlu müxtəlif riyazi əməliyyatlar mövcuddur. Toplama, çıxma, vurma, eksponentasiya, loqarifm və s. Bu əməliyyatlara daha bir əməliyyat əlavə etsəniz, elementar riyaziyyat daha yüksək olur. Bu yeni əməliyyat adlanır fərqləndirmə. Bu əməliyyatın tərifi və mənası ayrı dərslərdə müzakirə olunacaq.

Burada başa düşmək vacibdir ki, diferensiallaşma sadəcə bir funksiya üzərində riyazi əməliyyatdır. İstənilən funksiyanı götürürük və müəyyən qaydalara uyğun olaraq onu çeviririk. Nəticə yeni funksiya olacaq. Bu yeni funksiya adlanır: törəmə.

Fərqləndirmə- funksiya üzərində hərəkət.

törəmə- bu hərəkətin nəticəsi.

Eynilə, məsələn, məbləğ- əlavənin nəticəsi. Və ya özəl- bölünmənin nəticəsi.

Şərtləri bilməklə, ən azı tapşırıqları başa düşə bilərsiniz.) Tərkibləri aşağıdakı kimidir: funksiyanın törəməsini tapın; törəməni götürmək; funksiyanı fərqləndirmək; törəmə hesablayın və s. Hamısı budur eyni.Əlbəttə ki, daha mürəkkəb vəzifələr də var ki, burada törəmənin tapılması (fərqləndirmə) problemin həlli addımlarından yalnız biri olacaqdır.

Törəmə funksiyanın yuxarı sağ hissəsində tire ilə göstərilir. Bunun kimi: y" və ya f"(x) və ya S"(t) və s.

Oxumaq igrek vuruşu, x-dən ef vuruşu, te-dən es vuruşu, yaxşı başa düşürsən...)

Baş rəqəm müəyyən bir funksiyanın törəməsini də göstərə bilər, məsələn: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" və s. Çox vaxt törəmələr diferensiallardan istifadə etməklə işarələnir, lakin biz bu dərsdə belə qeydləri nəzərdən keçirməyəcəyik.

Tutaq ki, biz tapşırıqları başa düşməyi öyrənmişik. Onları necə həll edəcəyinizi öyrənmək qalır.) Sizə bir daha xatırlatmaq istəyirəm: törəməni tapmaq funksiyanın müəyyən qaydalara uyğun çevrilməsi. Təəccüblüdür ki, bu qaydalar çox azdır.

Funksiyanın törəməsini tapmaq üçün yalnız üç şeyi bilmək lazımdır. Bütün fərqləndirmənin dayandığı üç sütun. Bunlar üç sütundur:

1. Törəmələr cədvəli (diferensiasiya düsturları).

3. Törəmə mürəkkəb funksiya.

Sıra ilə başlayaq. Bu dərsdə biz törəmələr cədvəlinə baxacağıq.

Törəmələr cədvəli.

Dünyada sonsuz sayda funksiya var. Bu müxtəliflik arasında ən vacib olan funksiyalar var praktik tətbiq. Bu funksiyalara təbiətin bütün qanunlarında rast gəlinir. Bu funksiyalardan, məsələn, kərpicdən, bütün digərlərini qura bilərsiniz. Bu funksiyalar sinfi adlanır elementar funksiyalar. Məhz məktəbdə öyrənilən bu funksiyalar - xətti, kvadrat, hiperbola və s.

Funksiyaların "sıfırdan" fərqləndirilməsi, yəni. Törəmə tərifinə və məhdudiyyətlər nəzəriyyəsinə əsaslansaq, bu, kifayət qədər əmək tələb edən bir şeydir. Riyaziyyatçılar da insanlardır, bəli, bəli!) Beləliklə, onlar (və bizim) həyatlarını sadələşdirdilər. Bizdən əvvəl elementar funksiyaların törəmələrini hesabladılar. Nəticə hər şeyin hazır olduğu törəmələr cədvəlidir.)

Budur, ən populyar funksiyalar üçün bu boşqab. Solda elementar funksiya, sağda onun törəməsi var.

	Funksiya y	y funksiyasının törəməsi y"
1	C (sabit dəyər)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - istənilən ədəd)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	günah x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arktan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Bu törəmələr cədvəlində üçüncü qrup funksiyalara diqqət yetirməyi məsləhət görürəm. Güc funksiyasının törəməsi ən ümumi deyilsə, ən çox yayılmış düsturlardan biridir! İpucu başa düşürsünüz?) Bəli, törəmələr cədvəlini əzbər bilmək məsləhətdir. Yeri gəlmişkən, bu, göründüyü qədər çətin deyil. Daha çox nümunə həll etməyə çalışın, cədvəlin özü yadda qalacaq!)

Törəmənin cədvəl dəyərini tapmaq, başa düşdüyünüz kimi, ən çətin iş deyil. Buna görə də, çox vaxt bu cür tapşırıqlarda əlavə çiplər olur. Ya tapşırığın mətnində, ya da cədvəldə görünməyən orijinal funksiyada...

Bir neçə nümunəyə baxaq:

1. y = x funksiyasının törəməsini tapın 3

Cədvəldə belə bir funksiya yoxdur. Ancaq güc funksiyasının bir törəməsi var ümumi görünüş(üçüncü qrup). Bizim vəziyyətimizdə n=3. Beləliklə, n əvəzinə üçü əvəz edirik və nəticəni diqqətlə yazırıq:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Bu belədir.

Cavab: y" = 3x 2

2. y = sinx funksiyasının törəməsinin x = 0 nöqtəsindəki qiymətini tapın.

Bu tapşırıq o deməkdir ki, əvvəlcə sinusun törəməsini tapmalı, sonra isə dəyəri əvəz etməlisiniz x = 0 bu çox törəmə. Məhz bu qaydada!Əks halda elə olur ki, onlar dərhal ilkin funksiyada sıfırı əvəz edirlər... Bizdən ilkin funksiyanın qiymətini deyil, dəyərini tapmaq tələb olunur. onun törəməsi. Nəzərinizə çatdırım ki, törəmə yeni funksiyadır.

Planşetdən istifadə edərək sinus və müvafiq törəməni tapırıq:

y" = (sin x)" = cosx

Törəmədə sıfırı əvəz edirik:

y"(0) = cos 0 = 1

Bu cavab olacaq.

3. Funksiyanı fərqləndirin:

Nə, ruhlandırır?) Törəmələr cədvəlində belə funksiya yoxdur.

Xatırladım ki, funksiyanı diferensiallaşdırmaq sadəcə olaraq bu funksiyanın törəməsini tapmaqdır. Elementar triqonometriyanı unudursunuzsa, funksiyamızın törəməsini axtarmaq olduqca çətin olur. Cədvəl kömək etmir ...

Amma görsək ki, bizim funksiyamız belədir ikiqat bucaq kosinusu, onda hər şey dərhal yaxşılaşacaq!

Hə hə! Orijinal funksiyanın çevrildiyini unutmayın fərqləndirmədən əvvəl olduqca məqbuldur! Və bu, həyatı çox asanlaşdırır. İki bucaqlı kosinus düsturundan istifadə edərək:

Bunlar. bizim çətin funksiyamız bundan başqa bir şey deyil y = cosx. Və bu cədvəl funksiyasıdır. Dərhal alırıq:

Cavab: y" = - sin x.

Qabaqcıl məzunlar və tələbələr üçün nümunə:

4. Funksiyanın törəməsini tapın:

Törəmələr cədvəlində təbii ki, belə bir funksiya yoxdur. Amma elementar riyaziyyatı, güclərlə əməliyyatları xatırlayırsınızsa... Onda bu funksiyanı sadələşdirmək tamamilə mümkündür. Bunun kimi:

Onda birinin gücünə x isə artıq cədvəl funksiyasıdır! Üçüncü qrup, n=1/10. Formula uyğun olaraq birbaşa yazırıq:

Hamısı budur. Bu cavab olacaq.

Ümid edirəm ki, fərqləndirmənin birinci sütunu - törəmələr cədvəli ilə hər şey aydındır. Qalan iki balina ilə məşğul olmaq qalır. Növbəti dərsdə biz fərqləndirmə qaydalarını öyrənəcəyik.

Cədvəlin ilk düsturunu çıxararkən, bir nöqtədə törəmə funksiyanın tərifindən çıxış edəcəyik. hara aparaq x- istənilən real rəqəm, yəni, x– funksiyanın təyini sahəsindən istənilən ədəd. Funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddini aşağıdakı nöqtədə yazaq:

Qeyd etmək lazımdır ki, limit işarəsi altında sıfırın qeyri-müəyyənliyi sıfıra bölünən ifadə alınmır, çünki paylayıcıda sonsuz kiçik bir dəyər yoxdur, lakin dəqiq sıfırdır. Başqa sözlə, sabit funksiyanın artımı həmişə sıfırdır.

Beləliklə, sabit funksiyanın törəməsibütün tərif sahəsi boyunca sıfıra bərabərdir.

Güc funksiyasının törəməsi.

Güc funksiyasının törəməsinin düsturu formaya malikdir , eksponent olduğu yerdə səh- istənilən real rəqəm.

Əvvəlcə təbii göstəricinin, yəni üçün formulunu sübut edək p = 1, 2, 3, …

Törəmə tərifindən istifadə edəcəyik. Güc funksiyasının artımının arqumentin artımına nisbətinin həddini yazaq:

Numeratordakı ifadəni sadələşdirmək üçün Nyuton binom düsturuna müraciət edirik:

Beləliklə,

Bu, təbii eksponent üçün güc funksiyasının törəməsinin düsturunu sübut edir.

Eksponensial funksiyanın törəməsi.

Tərif əsasında törəmə düsturun törəməsini təqdim edirik:

Qeyri-müəyyənliyə gəldik. Onu genişləndirmək üçün yeni dəyişən təqdim edirik və . Sonra . Sonuncu keçiddə yeni loqarifmik bazaya keçid üçün düsturdan istifadə etdik.

Orijinal limiti əvəz edək:

İkinci diqqətəlayiq həddi xatırlasaq, eksponensial funksiyanın törəməsinin düsturuna gəlirik:

Loqarifmik funksiyanın törəməsi.

Hamı üçün loqarifmik funksiyanın törəməsinin düsturunu sübut edək x tərif sahəsindən və bazanın bütün etibarlı dəyərlərindən a loqarifm Törəmə tərifinə görə biz var:

Qeyd etdiyiniz kimi, isbat zamanı loqarifmin xassələrindən istifadə etməklə çevrilmələr aparılmışdır. Bərabərlik ikinci əlamətdar həddi səbəbindən doğrudur.

Triqonometrik funksiyaların törəmələri.

Triqonometrik funksiyaların törəmələri üçün düsturlar əldə etmək üçün bəzi triqonometriya düsturlarını, eləcə də ilk diqqətəlayiq həddi xatırlamalı olacağıq.

Sinus funksiyası üçün törəmənin tərifinə görə əlimizdə .

Sinusların fərqi düsturundan istifadə edək:

İlk əlamətdar həddə keçmək qalır:

Beləliklə, funksiyanın törəməsi günah x var cos x.

Kosinusun törəməsinin düsturu da məhz eyni şəkildə isbat edilir.

Buna görə də funksiyanın törəməsi cos x var – sin x.

Sübut edilmiş diferensiasiya qaydalarından (kəsirin törəməsi) istifadə edərək tangens və kotangens üçün törəmələr cədvəli üçün düsturlar əldə edəcəyik.

Hiperbolik funksiyaların törəmələri.

Diferensiasiya qaydaları və törəmələr cədvəlindən eksponensial funksiyanın törəməsinin düsturu hiperbolik sinus, kosinus, tangens və kotangens törəmələri üçün düsturlar əldə etməyə imkan verir.

Tərs funksiyanın törəməsi.

Təqdimat zamanı çaşqınlığa yol verməmək üçün diferensiasiyanın həyata keçirildiyi funksiyanın arqumentini, yəni funksiyanın törəməsi olduğunu alt işarə ilə qeyd edək. f(x) By x.

İndi formullaşdıraq tərs funksiyanın törəməsinin tapılması qaydası.

Qoy funksiyalar y = f(x) Və x = g(y) qarşılıqlı tərs, intervallarda müəyyən edilmiş və müvafiq olaraq. Bir nöqtədə funksiyanın sonlu sıfırdan fərqli törəməsi varsa f(x), onda nöqtədə tərs funksiyanın sonlu törəməsi var g(y), və . Başqa bir yazıda .

Bu qayda istənilən şəxs üçün yenidən formalaşdırıla bilər x intervaldan , sonra alırıq .

Bu düsturların etibarlılığını yoxlayaq.

Natural loqarifm üçün tərs funksiyanı tapaq (Burada y funksiyadır və x- mübahisə). Bu tənliyi həll etdikdən sonra x, alırıq (burada x funksiyadır və y– onun arqumenti). Yəni, və qarşılıqlı tərs funksiyalar.

Törəmələr cədvəlindən bunu görürük Və .

Əmin olaq ki, tərs funksiyanın törəmələrini tapmaq üçün düsturlar bizi eyni nəticələrə gətirib çıxarır:

Gördüyünüz kimi, törəmələr cədvəlində olduğu kimi eyni nəticələr əldə etdik.

İndi biz tərs triqonometrik funksiyaların törəmələri üçün düsturları sübut etmək üçün biliklərə sahibik.

Arksinusun törəməsi ilə başlayaq.

. Sonra tərs funksiyanın törəməsi üçün düsturdan istifadə edərək, alırıq

Geriyə yalnız dəyişiklikləri həyata keçirmək qalır.

Arksinüs diapazonu interval olduğundan , Bu (əsas elementar funksiyalar, onların xassələri və qrafikləri bölməsinə baxın). Ona görə də biz bunu nəzərə almırıq.

Beləliklə, . Arksinus törəməsinin tərif sahəsi intervaldır (-1; 1) .

Qövs kosinusu üçün hər şey eyni şəkildə edilir:

Arktangentin törəməsini tapaq.

Çünki tərs funksiyadır .

Alınan ifadəni sadələşdirmək üçün arktangenti arkkosinlə ifadə edək.

Qoy arctgx = z, Sonra

Beləliklə,

Qövs kotangentinin törəməsi oxşar şəkildə tapılır:

Törəmə hesablamalarına tez-tez rast gəlinir Vahid dövlət imtahan tapşırıqları. Bu səhifədə törəmələri tapmaq üçün düsturların siyahısı var.

Fərqləndirmə qaydaları

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi. Əgər y=F(u) və u=u(x) olarsa, y=f(x)=F(u(x)) funksiyası x-in kompleks funksiyası adlanır. y′(x)=Fu′⋅ ux′-a bərabərdir.
5. Gizli funksiyanın törəməsi. F(x,f(x))≡0 olarsa, y=f(x) funksiyası F(x,y)=0 münasibəti ilə təyin olunan gizli funksiya adlanır.
6. Tərs funksiyanın törəməsi. Əgər g(f(x))=x olarsa, g(x) funksiyası y=f(x) funksiyasının tərs funksiyası adlanır.
7. Parametrli təyin olunmuş funksiyanın törəməsi. X və y t dəyişəninin funksiyaları kimi təyin olunsun: x=x(t), y=y(t). Deyirlər ki, y=y(x) x∈ (a;b) intervalında parametrik təyin olunmuş funksiyadır, əgər bu intervalda x=x(t) tənliyini t=t(x) və funksiyası ilə ifadə etmək olarsa. y=y( t(x))=y(x).
8. Güc törəməsi eksponensial funksiya. Təbii loqarifmin əsasına loqarifmləri götürməklə tapılır.

Linki yadda saxlamağınızı məsləhət görürük, çünki bu cədvəl dəfələrlə lazım ola bilər.

Sinusun törəməsi - sin(x) üçün düsturun sübutu və törəməsi təqdim olunur. Sin 2x, sinus kvadrat və kub törəmələrinin hesablanması nümunələri. n-ci dərəcəli sinusun törəməsi üçün düsturun törəməsi.

Məzmun

Həmçinin bax: Sinus və kosinus - xassələr, qrafiklər, düsturlar

X-in sinusundan x dəyişəninə görə törəmə x-in kosinusuna bərabərdir:
(sin x)' = cos x.

Sübut

Sinus törəməsinin düsturunu əldə etmək üçün törəmə tərifindən istifadə edəcəyik:
.

Bu həddi tapmaq üçün ifadəni məlum qanunlara, xassələrə və qaydalara endirəcək şəkildə çevirməliyik. Bunun üçün dörd xassəni bilməliyik.
1) İlk diqqətəlayiq məhdudiyyətin mənası belədir:
(1) ;
2) Kosinus funksiyasının davamlılığı:
(2) ;
3) Triqonometrik düsturlar. Aşağıdakı düstura ehtiyacımız olacaq:
(3) ;
4) Funksiya limitinin arifmetik xassələri:
Əgər və varsa, onda
(4) .

Gəlin bu qaydaları öz limitimizə uyğun tətbiq edək. Əvvəlcə cəbri ifadəni çeviririk
.
Bunu etmək üçün formula tətbiq edirik
(3) .
Bizim vəziyyətimizdə
; . Sonra
;
;
;
.

İndi əvəzetməni edək. , .
.

İlk diqqətəlayiq həddi tətbiq edək (1):
.

Eyni əvəzetməni edək və davamlılıq xassəsindən istifadə edək (2):

.

Yuxarıda hesablanmış məhdudiyyətlər mövcud olduğundan, biz (4) mülkiyyətini tətbiq edirik:

Sinusun törəməsinin düsturu sübut edilmişdir.

Nümunələr
Tərkibində sinus olan funksiyaların törəmələrinin tapılmasına dair sadə nümunələrə baxaq. Aşağıdakı funksiyaların törəmələrini tapacağıq: y = günah 2x; y = günah 2 x və y =.

günah 3 x

Misal 1 -nin törəməsini tapın.

günah 2x
Əvvəlcə ən sadə hissənin törəməsini tapaq:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
.
Biz müraciət edirik.

Budur.

(günah 2x)′ = 2 cos 2x.

Misal 2
Sinusun kvadratının törəməsini tapın: y = günah 2x; y =.

y =
.
Orijinal funksiyanı daha başa düşülən formada yenidən yazaq:
.
Ən sadə hissənin törəməsini tapaq:

.
Biz müraciət edirik.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düstur tətbiq edirik.
.

Triqonometriya düsturlarından birini tətbiq edə bilərsiniz. Sonra

Misal 3
Sinusun kvadratının törəməsini tapın: və y =.

Sinus kubunun törəməsini tapın:

Daha yüksək dərəcəli törəmələr günah x birinci sıra sinus vasitəsilə aşağıdakı kimi ifadə edilə bilər:
.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düsturdan istifadə edərək ikinci dərəcəli törəməni tapaq:

.
Biz müraciət edirik.

İndi biz bu fərqi görə bilərik günah x arqumentinin artmasına səbəb olur. Onda n-ci dərəcəli törəmə formaya malikdir:
(5) .

Bunu riyazi induksiya metodundan istifadə edərək sübut edək.

Biz artıq düsturun (5) etibarlı olduğunu yoxladıq.

Fərz edək ki, düstur (5) müəyyən qiymət üçün etibarlıdır. Sübut edək ki, buradan belə çıxır ki, (5) düsturu - üçün ödənilir.

(5) düsturunu yazaq:
.
Mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasından istifadə edərək bu tənliyi fərqləndiririk:

.
Biz müraciət edirik.
Beləliklə, tapdıq:
.
Əvəz etsək, bu düstur (5) formasını alacaq.

Formula sübut edilmişdir.

Həmçinin bax:

Bu dərsdə biz düsturları və fərqləndirmə qaydalarını tətbiq etməyi öyrənəcəyik.

Nümunələr. Funksiyaların törəmələrini tapın.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Qaydanın tətbiqi I, düsturlar 4, 2 və 1. Biz əldə edirik:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Eyni düsturlardan və düsturlardan istifadə edərək eyni şəkildə həll edirik 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Qaydanın tətbiqi I, düsturlar 3, 5 Və 6 Və 1.

Qaydanın tətbiqi IV, düsturlar 5 Və 1 .

Beşinci misalda, qaydaya görə I cəminin törəməsi törəmələrin cəminə bərabərdir və biz indicə 1-ci həddin törəməsini tapdıq (nümunə 4 ), buna görə də biz törəmələri tapacağıq 2-ci Və 3-cüşərtləri və 1-ci üçün yekun nəticəni dərhal yaza bilərik.

Fərqləndirək 2-ci Və 3-cü düstura görə şərtlər 4 . Bunun üçün məxrəclərdəki üçüncü və dördüncü qüvvələrin köklərini mənfi eksponentli güclərə, sonra isə 4 düsturunda güclərin törəmələrini tapırıq.

Bax bu misal və əldə edilən nəticə. Nümunəni tutdun? Yaxşı. Bu o deməkdir ki, bizim yeni düsturumuz var və onu törəmələr cədvəlimizə əlavə edə bilərik.

Altıncı misalı həll edək və başqa bir düstur çıxaraq.

Qaydadan istifadə edək IV və formula 4 . Yaranan fraksiyaları azaldaq.

Gəlin baxaq bu funksiya və onun törəməsi. Siz, əlbəttə ki, nümunəni başa düşürsünüz və düsturu adlandırmağa hazırsınız:

Yeni düsturları öyrənin!

Nümunələr.

1. Arqumentin artımını və y= funksiyasının artımını tapın x 2, arqumentin ilkin dəyəri bərabər idisə 4 və yeni - 4,01 .

Həll.

Yeni arqument dəyəri x=x 0 +Δx. Verilənləri əvəz edək: 4.01=4+Δх, deməli, arqumentin artımı Δх=4,01-4=0,01. Bir funksiyanın artımı, tərifinə görə, funksiyanın yeni və əvvəlki dəyərləri arasındakı fərqə bərabərdir, yəni. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Çünki bizim funksiyamız var y=x2, Bu Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Cavab: arqument artımı Δх=0,01; funksiya artımı Δу=0,0801.

Funksiya artımı fərqli şəkildə tapıla bilər: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Funksiyanın qrafikinə toxunanın meyl bucağını tapın y=f(x) nöqtədə x 0, Əgər f "(x 0) = 1.

Həll.

Törəmənin toxunma nöqtəsindəki qiyməti x 0 və tangens bucağın tangensinin qiymətidir (törəmənin həndəsi mənası). Bizdə: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,çünki tg45°=1.

Cavab: bu funksiyanın qrafikinə toxunan Ox oxunun müsbət istiqaməti bərabər olan bucaq əmələ gətirir 45°.

3. Funksiyanın törəməsinin düsturunu çıxarın y=xn.

Fərqləndirmə funksiyanın törəməsinin tapılması hərəkətidir.

Törəmələri taparkən, törəmə dərəcəsi üçün düstur əldə etdiyimiz kimi, törəmənin tərifinə əsaslanan düsturlardan istifadə edin: (x n)" = nx n-1.

Bunlar düsturlardır.

Törəmələr cədvəliŞifahi ifadələri tələffüz etməklə yadda saxlamaq daha asan olacaq:

1. Sabit kəmiyyətin törəməsi sıfırdır.

2. X əsas birinə bərabərdir.

3. Daimi amili törəmənin işarəsindən çıxarmaq olar.

4. Dərəcənin törəməsi bu dərəcənin göstəricisinin eyni əsaslı dərəcə hasilinə bərabərdir, lakin göstərici bir azdır.

5. Kökün törəməsi iki bərabər kökə bölünən birinə bərabərdir.

6. Birin x-ə bölünməsinin törəməsi mənfi birə bölünən x kvadratına bərabərdir.

7. Sinusun törəməsi kosinusa bərabərdir.

8. Kosinusun törəməsi mənfi sinusa bərabərdir.

9. Tangensin törəməsi kosinusun kvadratına bölünən birinə bərabərdir.

10. Kotangensin törəməsi sinusun kvadratına bölünən mənfi birinə bərabərdir.

Biz öyrədirik fərqləndirmə qaydaları.

1. Cəbri cəminin törəməsi terminlərin törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir.

2. Məhsulun törəməsi birinci amilin törəməsi ilə ikincinin hasilinə üstəgəl birinci amilin və ikincinin törəməsinin hasilinə bərabərdir.

3. “Y”-nin “ve” ilə bölünməsi törəməsi, payın “y sadə çarpımı “ve” minus “y”nin və əsas ilə vurulduğu”, məxrəcinin isə “ve kvadratı” olduğu kəsrə bərabərdir.

4. Formulun xüsusi halı 3.

Gəlin birlikdə öyrənək!

Səhifə 1/1 1