Funksiyaların cəmi və fərqinin törəməsinin düsturu verilmişdir. Bir sübut verilir və bu düsturun tətbiqi nümunələri ətraflı müzakirə olunur.

Məzmun

Funksiyaların cəminin (fərqinin) törəməsi üçün düstur

Müstəqil x dəyişəninin funksiyaları olsun və olsun. Onlar x dəyişəninin bəzi dəyər diapazonunda diferensiallaşsınlar. Sonra bu sahədə bu funksiyaların cəminin (fərqinin) törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəminə (fərqinə) bərabərdir.:
(1) .

Sübut

Funksiyaları və diferensiallana bildiyi üçün bu funksiyaların törəmələri olan aşağıdakı limitlər mövcuddur:
;
.

Funksiyaların cəmi olan x dəyişəninin y funksiyasını nəzərdən keçirək:
.
Gəlin törəmənin tərifini tətbiq edək.


.

Beləliklə, biz sübut etdik ki, funksiyaların cəminin törəməsi törəmələrin cəminə bərabərdir:
.

Eyni şəkildə, funksiyalar fərqinin törəməsinin törəmələrin fərqinə bərabər olduğunu göstərə bilərsiniz:
.
Bu, cəmini fərqləndirmək üçün sübut edilmiş qaydadan istifadə edərək başqa bir şəkildə göstərilə bilər:
.

Bu iki qayda bir tənlik kimi yazıla bilər:
(1) .

Nəticə

Yuxarıda iki funksiyanın cəminin törəməsinin tapılması qaydasına baxdıq. Bu qayda istənilən sayda diferensiallanan funksiyaların cəminə və fərqinə ümumiləşdirilə bilər.

İstənilən sonlu sayda diferensiallana bilən funksiyaların cəminin (fərqinin) törəməsi onların törəmələrinin cəminə (fərqinə) bərabərdir. Törəmə işarəsindən kənarda sabitin yerləşdirilməsi qaydasını nəzərə alaraq, bu qayda aşağıdakı kimi yazıla bilər:
.
Və ya genişləndirilmiş formada:
(2) .
Burada - sabitlər;
- x dəyişəninin diferensiallanan funksiyaları.

İstintaqın sübutu

n = olduqda 2 , (1) qaydasını və sabitin törəmə işarəsindən kənarda yerləşdirilməsi qaydasını tətbiq edirik. Bizdə:
.
n = olduqda 3 funksiyalar üçün düstur (1) tətbiq edin və:
.

İxtiyari n ədədi üçün induksiya metodunu tətbiq edirik. üçün (2) tənliyi təmin edilsin. O zaman bizdə:

.
Yəni (2) tənliyinin üçün uyğun olduğu fərziyyəsindən belə nəticə çıxır ki, (2) tənliyi . Və (2) tənliyi üçün doğru olduğu üçün hamı üçün doğrudur.
İstintaq sübuta yetirilib.

Nümunələr

Misal 1

Törəməni tapın
.

Mötərizənin açılması. Bunu etmək üçün formula tətbiq edirik
.
Güc funksiyalarının xassələrindən də istifadə edirik.
;

;
.

Funksiyaların cəmi və fərqinin törəməsi üçün (2) düsturunu tətbiq edirik.
.

Törəmələr cədvəlindən tapırıq:
.
Sonra
;
;
.

Nəhayət bizdə:
.

Misal 2

Funksiyanın x dəyişəninə görə törəməsini tapın
.

Kökləri güc funksiyalarına endirək.
.
Cəmin və fərqin diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik.
.
Törəmələr cədvəlindən düsturları tətbiq edirik.
;
;
;
;
;
.
Əvəz edək:
.
Kəsrləri ortaq məxrəcə gətiririk.
.
Burada nəzərə aldıq ki, verilmiş funksiya -də təyin olunur.
.

Törəmə hesablanması- diferensial hesablamada ən vacib əməliyyatlardan biridir. Aşağıda törəmələri tapmaq üçün cədvəl verilmişdir sadə funksiyalar. Daha mürəkkəb fərqləndirmə qaydaları üçün digər dərslərə baxın:

• Eksponensial və loqarifmik funksiyaların törəmələri cədvəli

Verilmiş düsturları istinad qiymətləri kimi istifadə edin. Onlar diferensial tənliklərin və məsələlərin həllində kömək edəcəklər. Şəkildə, sadə funksiyaların törəmələri cədvəlində istifadə üçün başa düşülən formada törəmə tapmağın əsas hallarının "fırıldaqçı vərəqi" var, onun yanında hər bir hal üçün izahatlar var.

Sadə funksiyaların törəmələri

1. Ədədin törəməsi sıfırdır
с´ = 0
Misal:
5´ = 0

İzahat:
Törəmə funksiyanın arqumenti dəyişdikdə onun dəyərinin dəyişmə sürətini göstərir. Ədəd heç bir şəraitdə heç bir şəkildə dəyişmədiyi üçün onun dəyişmə sürəti həmişə sıfırdır.

2. Dəyişənin törəməsi birinə bərabərdir
x´ = 1

İzahat:
(x) arqumentinin hər bir artımı ilə funksiyanın dəyəri (hesablamanın nəticəsi) eyni miqdarda artır. Beləliklə, y = x funksiyasının qiymətinin dəyişmə sürəti arqumentin qiymətinin dəyişmə sürətinə tam bərabərdir.

3. Dəyişən və amilin törəməsi bu əmsala bərabərdir
сx´ = с
Misal:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
İzahat:
Bu halda, funksiya arqumenti hər dəfə dəyişdikdə ( X) onun dəyəri (y) ilə artır ilə bir dəfə. Beləliklə, arqumentin dəyişmə sürətinə nisbətdə funksiya dəyərinin dəyişmə sürəti tam olaraq dəyərə bərabərdir. ilə.

Bu, haradan gəlir
(cx + b)" = c
yəni y=kx+b xətti funksiyasının diferensialı (k) xəttinin mailliyinə bərabərdir.

4. Dəyişənin modul törəməsi bu dəyişənin moduluna nisbətinə bərabərdir
|x|"= x / |x| bir şərtlə ki, x ≠ 0
İzahat:
Dəyişənin törəməsi (2-ci düstura bax) birinə bərabər olduğundan, modulun törəməsi yalnız onunla fərqlənir ki, mənşə nöqtəsini keçərkən funksiyanın dəyişmə sürətinin dəyəri əksinə dəyişir (qrafik çəkməyə çalışın). y = |x| funksiyasını seçin və özünüz baxın< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - bir. Yəni x dəyişəninin mənfi qiymətləri üçün arqumentin hər artması ilə funksiyanın dəyəri tam olaraq eyni dəyərlə azalır, müsbət qiymətlər üçün isə əksinə, artır, lakin tam olaraq eyni dəyər. .

5. Dəyişənin gücə törəməsi bu gücün sayının hasilinə bərabərdir və bir azalan gücə dəyişən
(x c)"= cx c-1, bir şərtlə ki, x c və cx c-1 müəyyən edilsin və c ≠ 0 olsun
Misal:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Formulu xatırlamaq üçün:
Dəyişən dərəcəsini amil kimi aşağıya köçürün və sonra dərəcənin özünü bir azaldın. Məsələn, x 2 üçün - ikisi x-dən qabaqda idi və sonra azaldılmış güc (2-1 = 1) bizə sadəcə 2x verdi. Eyni şey x 3 üçün də baş verdi - üçlüyü "aşağı hərəkət etdirdik", bir azaldırıq və bir kub əvəzinə bir kvadrat, yəni 3x 2 var. Bir az "elmi olmayan", lakin yadda saxlamaq çox asandır.

6.Kəsrin törəməsi 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Misal:
Çünki bir kəsr mənfi gücə yüksəltməklə təmsil oluna bilər
(1/x)" = (x -1)", onda siz törəmələr cədvəlinin 5-ci qaydasından düstur tətbiq edə bilərsiniz.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Kəsrin törəməsi ixtiyari dərəcə dəyişəni ilə məxrəcdə
(1 / x c)" = - c / x c+1
Misal:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Kökün törəməsi(kvadrat kök altında dəyişənin törəməsi)
(√x)" = 1 / (2√x) və ya 1/2 x -1/2
Misal:
(√x)" = (x 1/2)" düsturu 5-ci qaydadan tətbiq edə biləcəyiniz deməkdir
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. İxtiyari dərəcənin kökü altında dəyişənin törəməsi
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

İLƏ "törəmə" mövzusunda materialların redaktəsi. Əsas məktəb səviyyəsi.
Riyaziyyatdan tələbələr, müəllimlər və repetitorlar üçün nəzəri məlumat. Dərslərin keçirilməsinə kömək etmək.

Tərif: bir nöqtədə funksiyanın törəməsi, funksiyanın artımının dəyişənin artımına nisbətinin həddidir, yəni.

Əsas riyazi funksiyaların törəmələri cədvəli:

Törəmələrin hesablanması qaydaları

Cəmin törəməsi istənilən iki ifadə bu ifadələrin törəmələrinin cəminə bərabərdir (cəmin törəməsi törəmələrin cəminə bərabərdir)

Fərqin törəməsi istənilən iki ifadə bu terminlərin törəmələrinin fərqinə bərabərdir (fərqin törəməsi törəmələrin fərqinə bərabərdir).

Məhsulun törəməsi iki amil birinci amilin törəməsinin hasilinə və ikinci üstəgəl birinci amilin törəməsi ilə ikincinin törəməsinin hasilinə bərabərdir (növbə ilə alınan amillərin törəmələrinin cəmi).
Riyaziyyat müəllimi şərhi: Tələbəyə məhsulun törəməsinin hesablanması qaydasını qısaca xatırladanda bunu deyirəm: birinci amilin törəməsi ikinci üstəgəl mübadilə vuruşları!

Bölmənin törəməsi iki ifadə növbə ilə alınan amillərin törəmələri ilə məxrəcin kvadratı arasındakı fərqin əmsalına bərabərdir.

Ədədin və funksiyanın hasilinin törəməsi. Ədədin və hərfi ifadənin (funksiya) hasilinin törəməsini tapmaq üçün bu ədədi bu hərfi ifadənin törəməsinə vurmaq lazımdır.

Kompleks funksiyanın törəməsi:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsini hesablamaq üçün xarici funksiyanın törəməsini tapmaq və onu daxili funksiyanın törəməsinə vurmaq lazımdır.

Törəmələr səhifəsində şərhləriniz və rəyləriniz:
Aleksandr S.
Mənə həqiqətən masa lazım idi. İnternetdə ən çox biri. İzahlara və qaydalara görə də çox sağ olun. Ən azı daha bir nümunə onlar üçün əla olardı. Bir daha çox sağ olun.

Kolpakov A.N., riyaziyyat müəllimi: ok, yaxın gələcəkdə səhifəni nümunələrlə yeniləməyə çalışacağam.

Virtual riyaziyyat kitabçası.
Kolpakov Alexander Nikolaevich, riyaziyyat müəllimi.