İkitərəfli üçbucaq. İkitərəfli üçbucaq və onun xassələri

Dərs mövzusu

Dərsin məqsədi

Şagirdləri ikitərəfli üçbucaqla tanış etmək;
Düzbucaqlı üçbucaqların qurulması bacarıqlarını inkişaf etdirməyə davam edin;
Məktəblilərin ikitərəfli üçbucaqların xüsusiyyətləri haqqında biliklərini genişləndirmək;
Problemləri həll edərkən nəzəri bilikləri möhkəmləndirmək.

Dərsin Məqsədləri

İkitərəfli üçbucağın xassələri haqqında teoremi tərtib etməyi, sübut etməyi və məsələlərin həlli prosesində istifadə etməyi bacarmalı;
Şüurlu qavrayış inkişaf etdirməyə davam edin tədris materialı, məntiqi təfəkkür, özünə nəzarət və özünə hörmət bacarıqları;
Riyaziyyat dərslərinə idrak marağı oyatmaq;
Fəaliyyət, maraq və təşkilatçılıq tərbiyəsi.

Dərs planı

1. Ümumi anlayışlar və ikitərəfli üçbucağın tərifləri.
2. İkitərəfli üçbucağın xassələri.
3. İkitərəfli üçbucağın əlamətləri.
4. Suallar və tapşırıqlar.

İkitərəfli üçbucaq

İkitərəfli üçbucaq iki bərabər tərəfi olan üçbucaqdır, ona ikitərəfli üçbucağın tərəfləri deyilir, üçüncü tərəfi isə əsas adlanır.

Verilmiş fiqurun üstü onun əsasının qarşısında yerləşən rəqəmdir.

Baza qarşı tərəfdə yerləşən bucaq bu üçbucağın təpə bucağı, digər iki bucaq isə ikitərəfli üçbucağın əsas bucaqları adlanır.

İkitərəfli üçbucaqların növləri

İkitərəfli üçbucaq, digər fiqurlar kimi ola bilər fərqli növlər. İkitərəfli üçbucaqlar arasında iti, düzbucaqlı, küt və bərabərtərəfli üçbucaqlar var.

Kəskin üçbucağın bütün iti bucaqları var.
Düzbucaqlı üçbucağın zirvəsində düz bucağı, bazasında isə kəskin bucaqları var.
Küt bucağın zirvəsində küt bucaq var və onun əsasındakı bucaqlar itidir.
Bərabərtərəfli obyektin bütün bucaqları və tərəfləri bərabərdir.

İkitərəfli üçbucağın xassələri

İkitərəfli üçbucağın bərabər tərəflərinə nisbətdə əks bucaqlar bir-birinə bərabərdir;

Üçbucağın bərabər tərəflərinə əks bucaqlardan çəkilmiş bissektrisalar, medianlar və yüksəkliklər bir-birinə bərabərdir.

Üçbucağın əsasına yönəldilmiş və çəkilmiş bissektrisa, median və hündürlük bir-biri ilə üst-üstə düşür.

Yazılı və əhatə olunmuş dairələrin mərkəzləri bazaya çəkilmiş hündürlükdə, bissektrisa və medianda (üst-üstə düşür) yerləşir.

İkitərəfli üçbucağın bərabər tərəflərinə qarşı olan bucaqlar həmişə kəskin olur.

İkitərəfli üçbucağın bu xüsusiyyətləri məsələlərin həllində istifadə olunur.

Ev tapşırığı

1. İkitərəfli üçbucağını təyin edin.
2. Bu üçbucağın özəlliyi nədir?
3. İkitərəfli üçbucaq düzbucaqlı üçbucaqdan nə ilə fərqlənir?
4. İkitərəfli üçbucağın bildiyiniz xüsusiyyətlərini adlandırın.
5. Sizcə, əsasda bucaqların bərabərliyini yoxlamaq praktikada mümkündürmü və bunu necə etmək olar?

Məşq edin

İndi gəlin qısa bir sorğu keçirək və yeni materialı necə öyrəndiyinizi öyrənək.

Sualları diqqətlə dinləyin və aşağıdakı ifadənin doğru olub olmadığını cavablandırın:

1. İki tərəfi bərabər olan üçbucağı ikitərəfli hesab etmək olarmı?
2. Bissektrisa üçbucağın təpəsini ortası ilə birləşdirən seqmentdir qarşı tərəf?
3. Bisektrisa təpəni əks tərəfdəki nöqtə ilə birləşdirən bucağı ikiyə bölən seqmentdir?

İkitərəfli üçbucaq problemlərini həll etmək üçün göstərişlər:

1. İkitərəfli üçbucağın perimetrini təyin etmək üçün tərəfinin uzunluğunu 2-yə vurmaq və bu hasili üçbucağın əsasının uzunluğuna əlavə etmək kifayətdir.
2. Əgər məsələdə ikitərəfli üçbucağın əsasının perimetri və uzunluğu məlumdursa, onda tərəfinin uzunluğunu tapmaq üçün perimetrdən əsasın uzunluğunu çıxmaq və tapılan fərqi 2-yə bölmək kifayətdir.
3. İkitərəfli üçbucağın həm perimetrini, həm də tərəfinin uzunluğunu bilərək əsasının uzunluğunu tapmaq üçün sadəcə tərəfi ikiyə vurmaq və bu hasili üçbucağın perimetrindən çıxarmaq kifayətdir.

Tapşırıqlar:

1. Şəkildəki üçbucaqlar arasından əlavə birini müəyyənləşdirin və seçiminizi izah edin:

2. Şəkildə göstərilən üçbucaqlardan hansının ikitərəfli olduğunu müəyyənləşdirin, onların əsaslarını və tərəflərini adlandırın, həmçinin perimetrini hesablayın.

3. İkitərəfli üçbucağın perimetri 21 sm-dir, əgər onlardan biri 3 sm böyükdürsə, bu məsələnin neçə həlli ola bilər?

4. Məlumdur ki, bir ikitərəfli üçbucağın yan tərəfi və əsasına qarşı olan bucaq digərinin yan tərəfi ilə bucağına bərabərdirsə, bu üçbucaqlar bərabər olacaqdır. Bu ifadəni sübut edin.

5. Fikirləşin və deyin ki, hər hansı ikitərəfli üçbucaq bərabərtərəflidir? Və hər hansı bərabərtərəfli üçbucaq ikitərəfli olacaqmı?

6. Əgər ikitərəfli üçbucağın tərəfləri 4 m və 5 m olarsa, onun perimetri neçə olacaq? Bu problemin neçə həlli ola bilər?

7. Əgər ikitərəfli üçbucağın bucaqlarından biri 91 dərəcəyə bərabərdirsə, digər bucaqları neçəyə bərabərdir?

8. Fikir verin və cavab verin, üçbucağın həm düzbucaqlı, həm də ikitərəfli olması üçün onun hansı bucaqları olmalıdır?

Paskal üçbucağının nə olduğunu neçəniz bilirsiniz? Əsas proqramlaşdırma bacarıqlarını yoxlamaq üçün Paskal üçbucağının qurulması problemi tez-tez soruşulur. Ümumiyyətlə, Paskal üçbucağı kombinatorika və ehtimal nəzəriyyəsinə aiddir. Bəs bu hansı üçbucaqdır?

Paskal üçbucağı, binomial əmsallardan istifadə etməklə yaradılan sonsuz hesab üçbucağı və ya üçbucaq şəkilli cədvəldir. Sadə sözlərlə, bu üçbucağın təpəsi və tərəfləri vahidlərdir və özü də yuxarıda yerləşən iki ədədin cəmi ilə doldurulur. Belə bir üçbucaq sonsuza qədər qatlana bilər, lakin onun konturunu çəksək, onun şaquli oxuna nisbətən simmetrik xətləri olan ikitərəfli üçbucaq alacağıq.

Harada olduğunu düşünün Gündəlik həyat Heç ikitərəfli üçbucaqlarla rastlaşmısınız? Doğru deyilmi, evlərin damları və qədim memarlıq strukturları onlara çox oxşayırlar? Misir piramidalarının əsasının nə olduğunu xatırlayırsınızmı? İkitərəfli üçbucaqlarla başqa harada rastlaşmısınız?

Qədim dövrlərdən bəri ikitərəfli üçbucaqlar yunanlar və misirlilərə məsafələri və hündürlükləri təyin etməkdə kömək etmişdir. Məsələn, qədim yunanlar dənizdə gəmiyə qədər olan məsafəni uzaqdan müəyyən etmək üçün ondan istifadə edirdilər. Qədim misirlilər isə piramidalarının hündürlüyünü tökmə kölgənin uzunluğuna əsasən təyin edirdilər, çünki... bu ikitərəfli üçbucaq idi.

Qədim dövrlərdən bəri insanlar bu rəqəmin gözəlliyini və praktikliyini yüksək qiymətləndirmişlər, çünki üçbucaqların formaları bizi hər yerdə əhatə edir. Fərqli kəndlərdən keçərkən bizə ikitərəfli üçbucağı xatırladan evlərin və digər tikililərin damlarını görürük, bir mağazaya girəndə üçbucaq şəklində yemək və şirələr paketləri görürük, hətta bəzi insan sifətləri də bir forma malikdir; üçbucaq. Bu rəqəm o qədər məşhurdur ki, onu hər addımda görə bilərsiniz.

Mövzular > Riyaziyyat > Riyaziyyat 7-ci sinif

İki tərəfi bir-birinə bərabər olan üçbucağa isosceles deyilir. Bu tərəflər yanal, üçüncü tərəf isə əsas adlanır. Bu yazıda sizə ikitərəfli üçbucağın xüsusiyyətləri haqqında məlumat verəcəyik.

Teorem 1

İkitərəfli üçbucağın təməlinə yaxın bucaqlar bir-birinə bərabərdir

Teoremin sübutu.

Tutaq ki, bizdə bazası AB olan ABC ikitərəfli üçbucaq var. BAC üçbucağına baxaq. Bu üçbucaqlar birinci əlamətə görə bir-birinə bərabərdir. Bu doğrudur, çünki BC = AC, AC = BC, ACB bucağı = ACB bucağı. Buradan belə çıxır ki, BAC bucağı = ABC bucağı, çünki bunlar bərabər üçbucaqlarımızın uyğun bucaqlarıdır. Budur ikitərəfli üçbucağın bucaqlarının xassələri.

Teorem 2

İkizövrəli üçbucağın əsasına çəkilən median da hündürlük və bissektrisadır.

Teoremin sübutu.

Tutaq ki, bizim bazası AB, CD isə onun bazasına çəkdiyimiz medianı olan ABC ikitərəfli üçbucağına sahibik. ACD və BCD üçbucaqlarında, CAD bucağı = CBD bucağı, ikitərəfli üçbucağın təməlindəki müvafiq bucaqlar kimi (Teorem 1). Və AC tərəfi = BC tərəfi (ikitərəfli üçbucağın tərifinə görə). AD tərəfi = BD tərəfi, çünki D nöqtəsi AB seqmentini bərabər hissələrə ayırır. Buradan belə çıxır ki, ACD üçbucağı = BCD üçbucağı.

Bu üçbucaqların bərabərliyindən müvafiq bucaqların bərabərliyini əldə edirik. Yəni, bucaq ACD = bucaq BCD və bucaq ADC = bucaq BDC. 1-ci bərabərlikdən belə çıxır ki, CD bissektrisadır. Və ADC bucağı və BDC bucağıdır bitişik açılar, və bərabərlik 2-dən belə nəticə çıxır ki, onların hər ikisi düzdür. Belə çıxır ki, CD üçbucağın hündürlüyüdür. Bu, ikitərəfli üçbucağın medianın xüsusiyyətidir.

İndi bir az ikitərəfli üçbucağın əlamətləri haqqında.

Teorem 3

Üçbucaqdakı iki bucaq bir-birinə bərabərdirsə, belə üçbucaq ikitərəflidir

Teoremin sübutu.

Tutaq ki, CAB bucağı = CBA bucağı olan ABC üçbucağımız var. Üçbucaq ABC = üçbucaqlar arasındakı bərabərliyin ikinci kriteriyasına görə BAC üçbucağı. Bu doğrudur, çünki AB = BA; bucaq CBA = bucaq CAB, bucaq CAB = bucaq CBA. Üçbucaqların bu bərabərliyindən biz üçbucağın uyğun tərəflərinin bərabərliyini əldə edirik - AC = BC. Onda məlum olur ki, ABC üçbucağı ikitərəflidir.

Teorem 4

Əgər hər hansı üçbucaqda onun medianı da hündürlükdədirsə, belə üçbucaq ikitərəflidir

Teoremin sübutu.

ABC üçbucağında CD medianı çəkəcəyik. Hündürlüyü də olacaq. Düzbucaqlı üçbucaq ACD = düzbucaqlı BCD üçbucağı, çünki CD ayağı onlar üçün ümumidir və ayaq AD = ayaq BD. Buradan belə çıxır ki, onların hipotenusları bərabər üçbucaqların müvafiq hissələri kimi bir-birinə bərabərdir. Bu o deməkdir ki, AB = BC.

Teorem 5

Üçbucağın üç tərəfi digər üçbucağın üç tərəfinə bərabərdirsə, bu üçbucaqlar konqruentdir.

Teoremin sübutu.

Tutaq ki, ABC üçbucağı və A1B1C1 üçbucağı var ki, tərəfləri AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1 olsun. Bu teoremin sübutunu ziddiyyətlə nəzərdən keçirək.

Tutaq ki, bu üçbucaqlar bir-birinə bərabər deyil. Buradan əldə edirik ki, BAC bucağı B1A1C1 bucağına bərabər deyil, ABC bucağı A1B1C1 bucağına bərabər deyil, ACB bucağı eyni zamanda A1C1B1 bucağına bərabər deyil. Əks halda, bu üçbucaqlar yuxarıda müzakirə olunan meyarlara uyğun olaraq bərabər olardı.

Fərz edək ki, A1B1C2 üçbucağı = ABC üçbucağıdır. Üçbucaqda C2 təpəsi eyni yarımmüstəvidə A1B1 düz xəttinə nisbətən C1 təpəsi ilə yerləşir. Fərz etdik ki, C2 və C1 təpələri üst-üstə düşmür. Fərz edək ki, D nöqtəsi C1C2 seqmentinin ortasıdır. Beləliklə, ortaq əsası C1C2 olan B1C1C2 və A1C1C2 ikitərəfli üçbucaqlarımız var. Belə çıxır ki, onların B1D və A1D medianları da onların boylarıdır. Bu o deməkdir ki, B1D düz xətti və A1D düz xətti C1C2 düz xəttinə perpendikulyardır.

B1D və A1D var fərqli nöqtələr B1 və A1 müvafiq olaraq üst-üstə düşə bilməz. Lakin C1C2 xəttinin D nöqtəsi vasitəsilə ona perpendikulyar yalnız bir xətt çəkə bilərik. Bizdə bir ziddiyyət var.

İndi ikitərəfli üçbucağın xüsusiyyətlərinin nə olduğunu bilirsiniz!

İkitərəfli üçbucaq iki tərəfinin uzunluqları bir-birinə bərabər olan üçbucaqdır.

Qeyd. İkitərəfli üçbucağın tərifindən belə çıxır ki, müntəzəm üçbucaq da ikitərəfli üçbucaqdır. Bununla belə, əks bəyanatın doğru olmadığını xatırlamaq lazımdır.

İkitərəfli üçbucağın xassələri

Aşağıda verilmiş xassələr məsələlərin həllində istifadə olunur. Onlar geniş şəkildə tanındıqları üçün izaha ehtiyacı olmadığı başa düşülür. Buna görə də problemlərin mətnlərində onlara istinadlar buraxılır.

Bucaqlar bərabərdiröz aralarında.
Bisektorlar, medianlar və yüksəkliklərüçbucağın bərabər tərəflərinə qarşı olan bucaqlardan çəkilmiş, bərabərdiröz aralarında.
Bisektor, median və hündürlük, bazaya aparıldı, uyğunöz aralarında.
Yazılı və dairəvi dairələrin mərkəzləri hündürlükdə yalan, bissektrisa və bazaya çəkilən median (onlar üst-üstə düşür).
Bucaqlar, ikitərəfli üçbucağın əks tərəfləri, həmişə ədviyyatlı.

İkitərəfli üçbucağın tərəfləri onların uzunluqlarını böyüklüyü məlum olan digər tərəflər və bucaqlar baxımından ifadə edən düsturlardan istifadə etməklə hesablana bilər.

İkitərəfli üçbucağın yanal tərəfi təməlin əmsalının təməldəki bucağın ikiqat kosinusuna bölünməsinə bərabərdir (Formula 1). Bu eyniliyi kosinus teoremindən sadə çevrilmələrlə əldə etmək olar.

İkitərəfli üçbucağın əsası yan tərəfin kvadrat kökünün ikiqat fərqinin və təpəsindəki bucağın kosinusunun hasilinə bərabərdir (Formula 2)

İkitərəfli üçbucağın əsası yan tərəfin və təpə bucağının yarısının sinusunun ikiqat məhsuluna bərabərdir. (Formula 3)

İkitərəfli üçbucağın əsası yan tərəfin və onun bazasındakı bucağın kosinusunun ikiqat məhsuluna bərabərdir (Formula 4).

İkitərəfli üçbucaqda yazılmış dairənin radiusu

Düsturlardakı təyinatları yuxarıdakı şəkildə görmək olar.

İkitərəfli üçbucaq üçün yazılmış dairənin radiusunu bazanın və hər tərəfin dəyərlərinə əsasən tapmaq olar. (Formula 1)

İkitərəfli üçbucaq üçün yazılmış çevrənin radiusu bazanın qiymətlərinə və bu bazaya çəkilən hündürlüyə əsasən müəyyən edilə bilər (Formula 2)

İkitərəfli üçbucağın içərisinə daxil edilmiş dairənin radiusu, tərəfinin uzunluğu və üçbucağın əsasına çəkilmiş hündürlüyü ilə də hesablana bilər (Formula 3)

Yan tərəflər arasındakı bucağı və əsasın uzunluğunu bilmək, həmçinin yazılmış dairənin radiusunu təyin etməyə imkan verir (Formula 4)

Bənzər bir düstur (5) yanlardan keçən dairənin radiusunu və aralarındakı bucağı təyin etməyə imkan verir.

İkitərəfli üçbucağın əlamətləri

Aşağıdakı xüsusiyyətlərə malik üçbucaqdır isosceles.

Üçbucağın iki bucağı bərabərdir
Hündürlük orta ilə üst-üstə düşür
Hündürlük bissektrisa ilə üst-üstə düşür
Bissektrisa mediana ilə üst-üstə düşür
İki hündürlük bərabərdir
İki median bərabərdir
İki bissektrisa bərabərdir

İkitərəfli üçbucağın sahəsi

İkitərəfli üçbucağın sahəsi aşağıdakı düsturlardan istifadə etməklə tapılır:

,
Harada
a- üçbucağın iki bərabər tərəfdən birinin uzunluğu
b- əsas uzunluğu
α - əsasda iki bərabər bucaqdan birinin ölçüsü

β - üçbucağın bərabər tərəfləri ilə onun əsasına əks tərəf arasındakı bucağın ölçüsü.

İkitərəfli üçbucağın xassələri aşağıdakı teoremlərlə ifadə edilir.

Teorem 1. İkitərəfli üçbucaqda təməldəki bucaqlar bərabərdir.

Teorem 2. İkitərəfli üçbucaqda bazaya çəkilmiş bissektrisa median və hündürlükdür.

Teorem 3. İkitərəfli üçbucaqda bazaya çəkilmiş median bissektrisa və hündürlükdür.

Teorem 4. İkitərəfli üçbucaqda bazaya çəkilən hündürlük bissektrisa və mediana bərabərdir.

Onlardan birini isbat edək, məsələn, Teorem 2.5.

Sübut. Əsası BC olan ikitərəfli ABC üçbucağını nəzərdən keçirək və sübut edək ki, ∠ B = ∠ C. AD ABC üçbucağının bissektrisa olsun (şək. 1). ABD və ACD üçbucaqları üçbucaqların bərabərliyinin ilk əlamətinə görə bərabərdir (AB = AC şərtlə, AD ümumi tərəfdir, ∠ 1 = ∠ 2, çünki AD bisektrisadır). Bu üçbucaqların bərabərliyindən belə çıxır ki, ∠ B = ∠ C. Teorem isbat olunur.

Teorem 1-dən istifadə edərək aşağıdakı teorem qurulur.

Teorem 5. Üçbucaqların bərabərliyinin üçüncü meyarı. Əgər bir üçbucağın üç tərəfi müvafiq olaraq digər üçbucağın üç tərəfinə bərabərdirsə, onda belə üçbucaqlar konqruentdir (şək. 2).

Şərh. 1 və 2-ci misallarda qurulmuş cümlələr seqmentin perpendikulyar bissektrisasının xassələrini ifadə edir. Bu təkliflərdən belə çıxır ki üçbucağın tərəflərinə perpendikulyar bisektorlar bir nöqtədə kəsişir.

Misal 1. Sübut edin ki, müstəvidə seqmentin uclarından bərabər məsafədə olan nöqtə bu seqmentə perpendikulyar bissektrisa üzərində yerləşir.

Həll. M nöqtəsi AB seqmentinin uclarından bərabər məsafədə olsun (şəkil 3), yəni AM = BM.

Onda Δ AMV ikitərəflidir. AB seqmentinin M nöqtəsindən və O orta nöqtəsindən p düz xətti çəkək. Quruluşuna görə MO seqmenti AMB ikitərəfli üçbucağının medianıdır və buna görə də (Teorem 3), hündürlüyü, yəni MO düz xətti AB seqmentinə perpendikulyar bisektordur.

Misal 2. Seqmentə perpendikulyar bisektorun hər bir nöqtəsinin onun uclarından bərabər məsafədə olduğunu sübut edin.

Həll. p AB seqmentinə perpendikulyar bisektor, O nöqtəsi isə AB seqmentinin orta nöqtəsi olsun (şək. 3-ə baxın).

p düz xəttində yerləşən ixtiyari M nöqtəsini nəzərdən keçirək. AM və BM seqmentlərini çəkək. AOM və BOM üçbucaqları bərabərdir, çünki onların O təpəsindəki bucaqları düzdür, ayaq OM ümumidir və ayaq OA şərti ilə OB ayağına bərabərdir. AOM və BOM üçbucaqlarının bərabərliyindən belə çıxır ki, AM = BM.

Misal 3. ABC üçbucağında (şək. 4-ə bax) AB = 10 sm, BC = 9 sm, AC = 7 sm; üçbucağında DEF DE = 7 sm, EF = 10 sm, FD = 9 sm.

ABC və DEF üçbucaqlarını müqayisə edin. Müvafiq olaraq tapın bərabər açılar.

Həll. Bu üçbucaqlar üçüncü kriteriyaya görə bərabərdir. Müvafiq olaraq, bərabər bucaqlar: A və E (BC və FD bərabər tərəfləri ilə qarşı-qarşıya yerləşir), B və F (AC və DE bərabər tərəfləri ilə qarşı-qarşıyadır), C və D (AB və EF bərabər tərəfləri ilə qarşı-qarşıyadır).

Misal 4.Şəkil 5-də AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.

D bucağını tapın.

Həll. ABC və ADC üçbucaqlarını nəzərdən keçirək. Onlar üçüncü meyara görə bərabərdirlər (Şərtlə AB = DC, BC = AD və AC tərəfi ümumidir). Bu üçbucaqların bərabərliyindən belə çıxır ki, ∠ B = ∠ D, lakin B bucağı 100°-yə bərabərdir, bu isə D bucağının 100°-yə bərabər olması deməkdir.

Misal 5.Əsası AC olan ABC ikitərəfli üçbucağında C təpəsində xarici bucaq 123°-dir. ABC bucağının ölçüsünü tapın. Cavabınızı dərəcələrlə verin.

Video həlli.

İkitərəfli üçbucağın xassələri.
İkitərəfli üçbucağın əlamətləri.
İkitərəfli üçbucaq üçün düsturlar:
- yan uzunluq düsturları;
- bərabər tərəflərin uzunluğu üçün düsturlar;
- ikitərəfli üçbucağın hündürlüyü, medianı, bissektrisasının düsturları.

İki tərəfi bərabər olan üçbucaq ikitərəfli üçbucaqdır. Bu tərəflər adlanır yanal və üçüncü tərəf - əsas.

AB = BC - tərəflər

AC - baza

İkitərəfli üçbucağın xassələri

İkitərəfli üçbucağın xassələri vasitəsilə ifadə edilir 5 teorem:

Teorem 1.İkitərəfli üçbucaqda əsas bucaqlar bərabərdir.

Teoremin sübutu:

Δ isosceles-i nəzərdən keçirək ABC baza ilə AC .

Tərəflər bərabərdir AB = Günəş ,

Buna görə də bazadakı açılar ∠ BAC = ∠ BCA .

İkitərəfli üçbucağın əsasına çəkilmiş bissektrisa, median, hündürlük haqqında teorem

Teorem 2.İkitərəfli üçbucaqda bazaya çəkilmiş bisektor median və hündürlükdür.
Teorem 3.İkitərəfli üçbucaqda bazaya çəkilən median bissektrisa və hündürlükdür.
Teorem 4.İkitərəfli üçbucaqda bazaya çəkilən hündürlük bissektrisa və mediana bərabərdir.

Teoremin sübutu:

Δ verilmişdir ABC .
Nöqtədən IN hündürlüyü çəkək B.D.
Üçbucaq Δ-ə bölünür ABD və Δ CBD. Bu üçbucaqlar bərabərdir, çünki onların hipotenuzları və ümumi ayaqları bərabərdir ().
Birbaşa AC Və BD perpendikulyar adlanır.
V Δ ABD və Δ BCD ∠PİS = ∠BCD (Teorem 1-dən).
AB = BC - tərəflər bərabərdir.
Tərəflər AD = CD, çünki nöqtə D seqmenti yarıya bölür.
Buna görə də Δ ABD = Δ BCD.
Bisektor, hündürlük və median bir seqmentdir - BD

Nəticə:

Bazaya çəkilmiş ikitərəfli üçbucağın hündürlüyü median və bissektrisadır.
Bazaya çəkilmiş ikitərəfli üçbucağın medianı hündürlük və bissektrisadır.
Əsasına çəkilmiş ikitərəfli üçbucağın bissektrisa median və hündürlükdür.

Unutma! Belə məsələləri həll edərkən hündürlüyü ikitərəfli üçbucağın bazasına endirin. Onu bərabər iki yerə bölmək düz üçbucaq.

Teorem 5. Bir üçbucağın üç tərəfi digər üçbucağın üç tərəfinə bərabərdirsə, üçbucaqlar konqruentdir.

Teoremin sübutu:

İki Δ ABC və Δ A 1 B 1 C 1 verilmişdir. Tərəflər AB = A 1 B 1; BC = B 1 C 1; AC = A 1 C 1.

Ziddiyyətlə sübut.

Üçbucaqlar bərabər olmasın (əks halda üçbucaqlar birinci kriteriyaya görə bərabər idi).
C 2 təpəsi A 1 B 1 düz xəttinə nisbətən C 1 təpəsi ilə eyni yarımmüstəvidə yerləşən Δ A 1 B 1 C 2 = Δ ABC olsun. Fərziyyəyə görə, C 1 və C 2 təpələri üst-üstə düşmür. C 1 C 2 seqmentinin orta nöqtəsi D olsun. Δ A 1 C 1 C 2 və Δ B 1 C 1 C 2 ümumi əsası C 1 C 2 olan ikitərəfli ikitərəflidir. Buna görə də onların medianları A 1 D və B 1 D yüksəkliklərdir. Bu o deməkdir ki, A 1 D və B 1 D xətləri C 1 C 2 xəttinə perpendikulyardır. A 1 D və B 1 D fərqli A 1 və B 1 nöqtələrinə malikdir, buna görə də üst-üstə düşmürlər. Lakin C 1 C 2 düz xəttinin D nöqtəsindən ona perpendikulyar yalnız bir düz xətt çəkmək olar.
Buradan bir ziddiyyətə gəldik və teoremi sübut etdik.