Właściwość: 1. W jakimkolwiek trójkąt prostokątny, wysokość opuszczona pod kątem prostym (przy przeciwprostokątnej) dzieli trójkąt prostokątny na trzy podobne trójkąty.

Właściwość: 2. Wysokość trójkąta prostokątnego opuszczonego na przeciwprostokątną jest równa średniej geometrycznej rzutów nóg na przeciwprostokątną (lub średniej geometrycznej tych odcinków, na które wysokość rozbija przeciwprostokątną).

Właściwość: 3. Noga jest równa średniej geometrycznej przeciwprostokątnej i rzutowi tej nogi na przeciwprostokątną.

Właściwość: 4. Noga pod kątem 30 stopni jest równa połowie przeciwprostokątnej.

Formuła 1.

Formuła 2. gdzie jest przeciwprostokątna; , nogi.

Właściwość: 5. W trójkącie prostokątnym mediana narysowana do przeciwprostokątnej jest równa jej połowie i jest równa promieniowi opisanego okręgu.

Właściwość: 6. Zależność między bokami i narożnikami trójkąta prostokątnego:

44. Twierdzenie o cosinusach. Konsekwencje: połączenie przekątnych z bokami równoległoboku; określenie typu trójkąta; wzór do obliczania długości mediany trójkąta; obliczanie cosinusa kąta trójkąta.

Koniec pracy -

Ten temat należy do sekcji:

Klasa. Kolokwium programowe Podstawy planimetrii

Nieruchomość sąsiednie rogi.. definicja dwóch kątów przylegających do siebie, jeśli jeden bok jest wspólny z dwoma pozostałymi, tworząc linię prostą ..

Jeśli potrzebujesz dodatkowy materiał na ten temat, lub nie znalazłeś tego, czego szukałeś, zalecamy skorzystanie z wyszukiwania w naszej bazie prac:

Co zrobimy z otrzymanym materiałem:

Jeśli ten materiał okazał się dla Ciebie przydatny, możesz zapisać go na swojej stronie w sieciach społecznościowych:

Przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych przydatne jest przestrzeganie tego algorytmu. Czytając opis problemu, musisz:

• Narysuj coś. Rysunek powinien jak najbardziej odpowiadać stanowi problemu, dlatego jego głównym zadaniem jest pomoc w znalezieniu rozwiązania
• Zastosuj wszystkie dane z opisu problemu do rysunku
• Wypisz wszystkie pojęcia geometryczne, które występują w zadaniu
• Przypomnij sobie wszystkie twierdzenia odnoszące się do tego pojęcia
• Narysuj na rysunku wszystkie zależności między elementami figury geometrycznej, które wynikają z tych twierdzeń

Na przykład, jeśli w zadaniu występuje słowo dwusieczna kąta trójkąta, należy przywołać definicję i właściwości dwusiecznej i wyznaczyć na rysunku równe lub proporcjonalne segmenty i kąty.

W tym artykule znajdziesz podstawowe właściwości trójkąta, które musisz znać, aby skutecznie rozwiązywać problemy.

TRÓJKĄT.

Obszar trójkąta.

1. ,

tutaj jest dowolny bok trójkąta, czy wysokość jest obniżona do tej strony.

2. ,

tutaj i są dowolnymi bokami trójkąta, jest kątem między tymi bokami:

3. Wzór czapli:

Oto długości boków trójkąta, to półobwód trójkąta,

4. ,

tutaj jest półobwód trójkąta, jest to promień okręgu wpisanego.

Niech będą długościami odcinków stycznych.

Wtedy wzór Herona można zapisać w następujący sposób:

6. ,

tutaj - długości boków trójkąta, - promień opisanego okręgu.

Jeżeli na boku trójkąta weźmiemy punkt, który dzieli ten bok w stosunku m:n, to odcinek łączący ten punkt z wierzchołkiem o przeciwnym kącie dzieli trójkąt na dwa trójkąty, których pola są powiązane jako m : n:

Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi współczynnika podobieństwa.

Mediana trójkąta

Jest to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwnej strony.

Mediany trójkąta przecinają się w jednym punkcie i są dzielone przez punkt przecięcia w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.

Punkt przecięcia median trójkąta foremnego dzieli medianę na dwa odcinki, z których mniejszy jest równy promieniowi okręgu wpisanego, a większy jest równy promieniowi okręgu wpisanego.

Promień okręgu wpisanego jest dwukrotnością promienia okręgu wpisanego: R = 2r

Mediana długości dowolny trójkąt

,

tutaj - mediana narysowana z boku, - długości boków trójkąta.

Dwusieczna trójkąta

Jest to odcinek dwusiecznej dowolnego rogu trójkąta, łączący wierzchołek tego kąta z przeciwną stroną.

Dwusieczna trójkąta dzieli bok na segmenty proporcjonalne do sąsiednich boków:

Dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego.

Wszystkie punkty dwusiecznej kąta są równoodległe od boków kąta.

Wysokość trójkąta

Jest to odcinek prostopadłej opuszczony z wierzchołka trójkąta przez Przeciwna strona lub jego kontynuacją. W trójkącie rozwartym wysokość wyciągnięta z wierzchołka kąta ostrego leży poza trójkątem.

Wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który nazywa się ortocentrum trójkąta.

Aby znaleźć wysokość trójkąta przyciągnięty na bok, potrzebujesz czegokolwiek w przystępny sposób znajdź jego obszar, a następnie użyj wzoru:

Środek okręgu opisanego wokół trójkąta, leży w miejscu przecięcia prostopadłych do boków trójkąta.

Promień opisanego okręgu trójkąta można znaleźć według następujących wzorów:

Oto długości boków trójkąta, to obszar trójkąta.

,

gdzie jest długość boku trójkąta, to kąt przeciwny. (Ta formuła wynika z twierdzenia sinus).

Nierówność trójkąta

Każda strona trójkąta jest mniejsza niż suma i większa niż różnica dwóch pozostałych.

Suma długości dowolnych dwóch boków jest zawsze większa niż długość trzeciego boku:

Naprzeciw większego boku jest większy kąt; naprzeciwko większego rogu leży większy bok:

Jeśli, to na odwrót.

Twierdzenie sinusowe:

boki trójkąta są proporcjonalne do sinusów przeciwnych kątów:

Twierdzenie cosinusowe:

kwadrat boku trójkąta jest równy sumie kwadratów pozostałych dwóch boków bez podwójnego iloczynu tych boków przez cosinus kąta między nimi:

Trójkąt prostokątny

- jest to trójkąt, którego jeden z kątów wynosi 90 °.

Ostre kąty trójkąta prostokątnego sumują się do 90 °.

Przeciwprostokątna to strona leżąca naprzeciwko kąta 90 °. Największą stroną jest przeciwprostokątna.

Twierdzenie Pitagorasa:

kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg:

Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny wynosi

,

oto promień okręgu wpisanego, - nogi, - przeciwprostokątna:

Środek okręgu opisanego wokół trójkąta prostokątnego leży w środku przeciwprostokątnej:

Mediana trójkąta prostokątnego narysowanego do przeciwprostokątnej, jest równa połowie przeciwprostokątnej.

Wyznaczanie sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa trójkąta prostokątnego Popatrz

Stosunek elementów w trójkącie prostokątnym:

Kwadrat wysokości trójkąta prostokątnego, narysowanego z wierzchołka kąta prostego, jest równy iloczynowi rzutów nóg i przeciwprostokątnej:

Kwadrat nogi jest równy iloczynowi przeciwprostokątnej i rzutu nogi na przeciwprostokątną:

Noga leżąca naprzeciwko rogu równa połowie przeciwprostokątnej:

Trójkąt równoramienny.

Dwusieczna trójkąta równoramiennego narysowanego do podstawy to mediana i wysokość.

W trójkącie równoramiennym kąty u podstawy są równe.

Kąt wierzchołkowy.

I - boki,

I - kąty u podstawy.

Wysokość, dwusieczna i mediana.

Uwaga! Wysokość, dwusieczna i mediana narysowane z boku nie pasują do siebie.

Regularny trójkąt

(lub trójkąt równoboczny ) jest trójkątem, którego wszystkie boki i kąty są sobie równe.

Obszar regularnego trójkąta jest równe

gdzie jest długość boku trójkąta.

Środek koła wpisanego w regularny trójkąt, pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego wokół trójkąta foremnego i leży w miejscu przecięcia się środkowych.

Punkt przecięcia median trójkąta foremnego dzieli medianę na dwa odcinki, z których mniejszy jest równy promieniowi okręgu wpisanego, a większy jest równy promieniowi okręgu wpisanego.

Jeśli jeden z kątów trójkąta równoramiennego wynosi 60 °, to ten trójkąt jest regularny.

Środkowa linia trójkąta

To jest odcinek linii, który łączy punkty środkowe dwóch boków.

Na rysunku DE - Środkowa linia trójkąt ABC.

Linia środkowa trójkąta jest równoległa do trzeciego boku i równa jej połowie: DE ||AC, AC = 2DE

Zewnętrzny róg trójkąta

To jest róg sąsiadujący z dowolnym rogiem trójkąta.

Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów, które z nim nie sąsiadują.

Funkcje trygonometryczne kąta zewnętrznego:

Znaki równości trójkątów:

1 ... Jeżeli dwa boki i kąt między nimi jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi innego trójkąta, to takie trójkąty są równe.

2 ... Jeżeli bok i dwa sąsiednie kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe bokowi i dwóm sąsiednim kątom innego trójkąta, to takie trójkąty są równe.

3 Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom innego trójkąta, to takie trójkąty są równe.

Ważny: ponieważ dwa kąty w trójkącie prostokątnym są z pewnością równe, to dla równość dwóch trójkątów prostokątnych wymaga równości tylko dwóch elementów: dwóch boków lub boku i kąta ostrego.

Znaki podobieństwa trójkątów:

1 ... Jeśli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między tymi bokami są równe, to te trójkąty są podobne.

2 ... Jeśli trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków innego trójkąta, to te trójkąty są podobne.

3 ... Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom innego trójkąta, to te trójkąty są podobne.

Ważny: w podobnych trójkątach, podobne boki leżą pod równymi kątami.

Twierdzenie Menelaosa

Niech linia prosta przecina trójkąt i - punkt jej przecięcia z bokiem, - punkt jej przecięcia z bokiem i - punkt przecięcia z przedłużeniem boku. Następnie

Nie ma znaczenia, który program szkolny zawiera taki przedmiot jak geometria. Każdy z nas jako student studiował tę dyscyplinę i rozwiązywał pewne problemy. Ale dla wielu lata szkolne pozostały w tyle i część zdobytej wiedzy została wymazana z pamięci.

Ale co, jeśli nagle musisz znaleźć odpowiedź na pytanie z podręcznika szkolnego, na przykład, jak znaleźć wysokość w trójkącie prostokątnym? W takim przypadku współczesny zaawansowany użytkownik komputera najpierw otworzy sieć i znajdzie interesujące go informacje.

Podstawowe informacje o trójkątach

Ta figura geometryczna składa się z 3 segmentów połączonych ze sobą w punktach końcowych, a punkty styku tych punktów nie leżą na tej samej linii prostej. Segmenty tworzące trójkąt nazywane są jego bokami. Połączenia boków tworzą wierzchołki figury, a także jej rogi.

Rodzaje trójkątów w zależności od kątów

Ta figura może posiadać 3 rodzaje kątów: zaostrzony, tępy i prosty. W zależności od tego, w środku trójkątów rozróżnia się następujące odmiany:

Rodzaje trójkątów w zależności od długości boków

Jak wspomniano wcześniej, liczba ta składa się z 3 segmentów. Na podstawie ich wielkości rozróżnia się następujące typy trójkątów:

Jak znaleźć wysokość trójkąta prostokątnego

Dwa podobne boki trójkąta prostokątnego, tworzące kąt prosty w punkcie ich własnego kontaktu, nazywane są nogami. Łączący je segment nazywa się „hipoprostokątną”. Aby znaleźć wysokość w danej figurze geometrycznej, musisz upuścić linię od góry pod kątem prostym do przeciwprostokątnej. Przy tym wszystkim ta linia powinna dzielić kąt 90? dokładnie w połowie. Taki segment nazywa się dwusieczną.

Powyższy obrazek pokazuje trójkąt prostokątny, którego wysokość będziemy musieli obliczyć. Można to zrobić na kilka sposobów:

Jeśli narysujesz okrąg wokół trójkąta i narysujesz promień, jego wartość będzie równa połowie wartości przeciwprostokątnej. Na tej podstawie wysokość trójkąta prostokątnego można obliczyć za pomocą wzoru:

(ABC) i jego właściwości, co pokazano na rysunku. Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną - stronę leżącą naprzeciwko kąta prostego.

Wskazówka 1: Jak znaleźć wysokość w trójkącie prostokątnym?

Boki tworzące kąt prosty nazywane są nogami. Zdjęcie boczne AD, DC i BD, DC- nogi i boki JAK oraz SV- przeciwprostokątna.

Twierdzenie 1. W trójkącie prostokątnym o kącie 30 ° noga przeciwna do tego kąta łamie połowę przeciwprostokątnej.

hC

AB- przeciwprostokątna;

OGŁOSZENIE oraz DB

Trójkąt
Istnieje twierdzenie:
system komentowania GAKLACZmi

Rozwiązanie: 1) Przekątne dowolnego prostokąta są równe Prawidłowo 2) Jeśli w trójkącie jest jeden kąt ostry, to ten trójkąt jest ostry. Nie prawda. Rodzaje trójkątów. Trójkąt nazywa się ostrym, jeśli wszystkie trzy jego rogi są ostre, to znaczy mniej niż 90 ° 3) Jeśli punkt leży.

Lub w innym wpisie

Według twierdzenia Pitagorasa

Jaka jest wysokość we wzorze trójkąta prostokątnego?

Wysokość trójkąta prostokątnego

Wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego do przeciwprostokątnej można znaleźć w taki czy inny sposób, w zależności od danych w opisie problemu.

Lub w innym wpisie

Gdzie BK i KC to rzuty nóg na przeciwprostokątną (segmenty, na które wysokość dzieli przeciwprostokątną).

Wysokość narysowaną do przeciwprostokątnej można znaleźć w obszarze trójkąta prostokątnego. Jeśli zastosujemy wzór, aby znaleźć pole trójkąta

(połowa iloczynu boku przez wysokość narysowaną w tę stronę) do przeciwprostokątnej i wysokość narysowaną do przeciwprostokątnej, otrzymujemy:

Stąd możemy znaleźć wysokość jako stosunek podwojonej powierzchni trójkąta do długości przeciwprostokątnej:

Ponieważ obszar trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu nóg:

Oznacza to, że długość wysokości narysowanej przeciwprostokątnej jest równa stosunkowi iloczynu nóg do przeciwprostokątnej. Jeśli oznaczymy długości nóg przez a i b, długość przeciwprostokątnej przez c, wzór można przepisać jako

Ponieważ promień okręgu opisanego wokół trójkąta prostokątnego jest równy połowie przeciwprostokątnej, długość wysokości można wyrazić za pomocą ramion i promienia okręgu opisanego:

Ponieważ wysokość narysowana do przeciwprostokątnej tworzy jeszcze dwa trójkąty prostokątne, jej długość można znaleźć poprzez stosunki w trójkącie prostokątnym.

Z trójkąta prostokątnego ABK

Z trójkąta prawego ACK

Długość wysokości trójkąta prostokątnego można wyrazić za pomocą długości nóg. Bo

Według twierdzenia Pitagorasa

Jeśli podniesiesz obie strony równości do kwadratu:

Możesz uzyskać inny wzór na połączenie wysokości trójkąta prostokątnego z nogami:

Jaka jest wysokość we wzorze trójkąta prostokątnego?

Trójkąt prostokątny. Średni poziom.

Chcesz sprawdzić swoje siły i dowiedzieć się, jak jesteś gotowy do egzaminu Unified State lub OGE?

Głównym twierdzeniem o trójkącie prostokątnym jest twierdzenie Pitagorasa.

twierdzenie Pitagorasa

Swoją drogą, czy dobrze pamiętasz, czym są nogi i przeciwprostokątna? Jeśli nie, spójrz na zdjęcie - odśwież swoją wiedzę

Możliwe, że wielokrotnie korzystałeś już z twierdzenia Pitagorasa, ale czy zastanawiałeś się kiedyś, dlaczego takie twierdzenie jest prawdziwe? Jak mogę to udowodnić? Zróbmy jak starożytni Grecy. Narysujmy kwadrat z bokiem.

Widzisz, jak sprytnie podzieliliśmy jego boki na długości i!

Teraz połączmy zaznaczone punkty

Tutaj jednak zauważyliśmy coś innego, ale sam patrzysz na rysunek i zastanawiasz się, dlaczego tak jest.

Jaka jest powierzchnia większego placu? Prawidłowy, . Mniejszy obszar? Na pewno, . Całkowita powierzchnia czterech rogów pozostaje. Wyobraź sobie, że wzięliśmy je po dwa na raz i oparliśmy o siebie przeciwprostokątnymi. Co się stało? Dwa prostokąty. Oznacza to, że powierzchnia „skrawek” jest równa.

Połączmy to teraz.

Odwiedziliśmy więc Pitagorasa - udowodniliśmy jego twierdzenie w starożytny sposób.

Trójkąt prostokątny i trygonometria

W przypadku trójkąta prostokątnego obowiązują następujące zależności:

Sinus kąta ostrego jest równy stosunkowi przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej

Cosinus kąta ostrego jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta ostrego jest równy stosunkowi odnogi przeciwległej do odnogi sąsiedniej.

Cotangens kąta ostrego jest równy stosunkowi nogi sąsiedniej do nogi przeciwnej.

I jeszcze raz wszystko to w formie talerza:

Czy zauważyłeś jedną bardzo wygodną rzecz? Przyjrzyj się uważnie znakowi.

To jest bardzo wygodne!

Testy równości dla trójkątów prostokątnych

II. Na nodze i przeciwprostokątnej

III. Według przeciwprostokątnej i kąta ostrego

IV. Na nodze i ostrym rogu

Uwaga! Bardzo ważne jest tutaj, aby nogi były „odpowiednie”. Na przykład, jeśli jest tak:

WTEDY TRÓJKĄTY NIE SĄ RÓWNE, pomimo tego, że mają ten sam kąt ostry.

Potrzebować W obu trójkątach noga sąsiadowała lub w obu trójkątach była przeciwna.

Czy zauważyłeś, jak znaki równości trójkątów prostokątnych różnią się od zwykłych znaków równości trójkątów? Spójrz na temat „Trójkąt” i zwróć uwagę, że do równości „zwykłych” trójkątów potrzebujesz równości ich trzech elementów: dwóch boków i kąta między nimi, dwóch kątów i boku między nimi lub trzech boki. Ale dla równości trójkątów prostokątnych wystarczą tylko dwa odpowiadające sobie elementy. Świetnie, prawda?

Sytuacja jest mniej więcej taka sama ze znakami podobieństwa trójkątów prostokątnych.

Znaki podobieństwa trójkątów prostokątnych

III. Na nodze i przeciwprostokątnej

Mediana w trójkącie prostokątnym

Rozważ cały prostokąt zamiast trójkąta prostokątnego.

Narysujmy przekątną i rozważmy punkt przecięcia przekątnych. Co wiadomo o przekątnych prostokąta?

Punkt przecięcia przekątnej jest zmniejszony o połowę. Przekątne są równe

A co z tego wynika?

Więc okazało się, że

Zapamiętaj ten fakt! Bardzo pomaga!

Jeszcze bardziej zaskakujące jest to, że odwrotność również jest prawdziwa.

Co dobrego można uzyskać z faktu, że mediana przyciągana do przeciwprostokątnej jest równa połowie przeciwprostokątnej? Spójrzmy na zdjęcie

Przypatrz się. Mamy: to znaczy odległości od punktu do wszystkich trzech wierzchołków trójkąta okazały się równe. Ale w trójkącie jest tylko jeden punkt, odległości, od których prawie wszystkie trzy wierzchołki trójkąta są równe i jest to ŚRODEK OPISANEGO KOŁA. Więc co się stało?

Zacznijmy od tego „poza. ”.

Ale w takich trójkątach wszystkie kąty są równe!

To samo można powiedzieć o i

Teraz narysujmy to razem:

Miej te same ostre rogi!

Jakie korzyści można uzyskać z tego „potrójnego” podobieństwa.

Cóż, na przykład - Dwa wzory na wysokość trójkąta prostokątnego.

Zapiszmy relacje między poszczególnymi stronami:

Aby znaleźć wysokość, rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy Pierwsza formuła „Wysokość w trójkącie prostokątnym”:

Jak zdobyć drugi?

Zastosujmy teraz podobieństwo trójkątów i.

Zastosujmy więc podobieństwo:.

Co się teraz stanie?

Ponownie rozwiązujemy proporcje i otrzymujemy drugą formułę „Wysokość w prawym trójkącie”:

Obie te formuły muszą być bardzo dobrze zapamiętane i w zależności od tego, która jest wygodniejsza do zastosowania. Zapiszmy je jeszcze raz

Cóż, teraz, stosując i łącząc tę ​​wiedzę z innymi, rozwiążesz każdy problem z trójkątem prostokątnym!

Komentarze (1)

Rozpowszechnianie materiałów bez zgody jest dopuszczalne, jeśli istnieje link dofollow do strony źródłowej.

Polityka prywatności

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, za pomocą których można zidentyfikować konkretną osobę lub skontaktować się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy zostawiasz prośbę na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach. Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i wiadomości. Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.

Własność wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonego przez przeciwprostokątną

Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym wydarzeniu promocyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania tymi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Jeżeli jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie próśb publicznych lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnić swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych ważnych społecznie powodów. W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniej osobie trzeciej – następcy prawnemu.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i nadużyciem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szacunek dla Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby upewnić się, że Twoje dane osobowe są bezpieczne, wprowadzamy zasady poufności i bezpieczeństwa naszym pracownikom oraz ściśle monitorujemy wdrażanie środków poufności.

Dziękuje Ci za wiadomość!

Twój komentarz został zaakceptowany, po moderacji zostanie opublikowany na tej stronie.

Chcesz dowiedzieć się, co kryje się pod krojem i otrzymać ekskluzywne materiały dotyczące przygotowania do egzaminu i egzaminu? Zostaw swój e-mail

Właściwości trójkąta prostokątnego

Rozważ trójkąt prostokątny (ABC) i jego właściwości, co pokazano na rysunku. Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną - stronę leżącą naprzeciwko kąta prostego. Boki tworzące kąt prosty nazywane są nogami. Zdjęcie boczne AD, DC i BD, DC- nogi i boki JAK oraz SV- przeciwprostokątna.

Znaki równości trójkąta prostokątnego:

Twierdzenie 1. Jeżeli przeciwprostokątna i odnoga trójkąta prostokątnego są podobne do przeciwprostokątnej i odnogi innego trójkąta, to takie trójkąty są sobie równe.

Twierdzenie 2. Jeśli dwa boki trójkąta prostokątnego są równe dwóm bokom innego trójkąta, to takie trójkąty są równe.

Twierdzenie 3. Jeśli przeciwprostokątna i kąt ostry trójkąta prostokątnego są podobne do przeciwprostokątnej i kąta ostrego innego trójkąta, to takie trójkąty są równe.

Twierdzenie 4. Jeżeli ramię i przyległy (przeciwny) kąt ostry trójkąta prostokątnego są równe ramieniu i przyległemu (przeciwległemu) kątowi ostremu innego trójkąta, to takie trójkąty są sobie równe.

Właściwości nogi przeciwne do kąta 30°:

Twierdzenie 1.

Wysokość w trójkącie prostokątnym

W trójkącie prostokątnym o kącie 30 ° noga przeciwna do tego kąta łamie się do połowy przeciwprostokątnej.

Twierdzenie 2. Jeśli w trójkącie prostokątnym noga jest równa połowie przeciwprostokątnej, to kąt przeciwny wynosi 30 °.

Jeśli wysokość jest narysowana od wierzchołka pod kątem prostym do przeciwprostokątnej, to taki trójkąt dzieli się na dwa mniejsze, podobne do wychodzącego i podobne do siebie. Prowadzi to do następujących wniosków:

1. Wzrost to średnia geometryczna (średnia proporcjonalna) dwóch segmentów przeciwprostokątnej.
2. Każda noga trójkąta jest średnią proporcjonalną do przeciwprostokątnej i sąsiednich segmentów.

W trójkącie prostokątnym nogi pełnią funkcję wysokości. Ortocentrum to punkt, w którym przecinają się wysokości trójkąta. Zbiega się z wierzchołkiem prawego rogu kształtu.

hC- wysokość wychodząca z kąta prostego trójkąta;

AB- przeciwprostokątna;

OGŁOSZENIE oraz DB- segmenty, które powstały podczas dzielenia przeciwprostokątnej według wysokości.

Wróć do przeglądania referencji dla dyscypliny „Geometria”

Trójkąt Jest figurą geometryczną składającą się z trzech punktów (wierzchołków), które nie leżą na tej samej linii prostej i trzech odcinków łączących te punkty. Trójkąt prostokątny to trójkąt, który ma jeden z kątów 90 ° (kąt prosty).
Istnieje twierdzenie: suma kątów ostrych trójkąta prostokątnego wynosi 90 °.
system komentowania GAKLACZmi

Słowa kluczowe: trójkąt, prostokąt, noga, przeciwprostokątna, twierdzenie Pitagorasa, koło

Trójkąt nazywa się prostokątny jeśli ma kąt prosty.
Trójkąt prostokątny ma dwa wzajemnie prostopadłe boki, zwane nogi; jego trzecia strona nazywa się przeciwprostokątna.

• Zgodnie z właściwościami prostopadłej i skośnej przeciwprostokątna jest dłuższa niż każda z nóg (ale mniejsza niż ich suma).
• Suma dwóch kątów ostrych trójkąta prostokątnego jest równa kątowi prostemu.
• Dwie wysokości trójkąta prostokątnego pokrywają się z jego nogami. Dlatego jeden z czterech niezwykłych punktów wpada w wierzchołki pod kątem prostym trójkąta.
• Środek opisanego koła trójkąta prostokątnego leży pośrodku przeciwprostokątnej.
• Mediana trójkąta prostokątnego, poprowadzona od wierzchołka kąta prostokątnego do przeciwprostokątnej, jest promieniem okręgu opisanego wokół tego trójkąta.

Rozważ dowolny trójkąt prostokątny ABC i narysuj wysokość СD = hc od wierzchołka С jego kąta prostego.

Podzieli ten trójkąt na dwa trójkąty prostokątne ACD i BCD; każdy z tych trójkątów ma wspólny kąt ostry z trójkątem ABC i dlatego jest podobny do trójkąta ABC.

Wszystkie trzy trójkąty ABC, ACD i BCD są do siebie podobne.

Z podobieństwa trójkątów określa się następujące relacje:

• $$ h = \ sqrt (a_ (c) \ cdot b_ (c)) = \ frac (a \ cdot b) (c) $$;
• c = ac + bc;
• $$ a = \ sqrt (a_ (c) \ cdot c), b = \ sqrt (b_ (c) \ cdot c) $$;
• $$ (\ frac (a) (b)) ^ (2) = \ frac (a_ (c)) (b_ (c)) $$.

twierdzenie Pitagorasa jedno z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej, ustalające związek między bokami trójkąta prostokątnego.

Formuła geometryczna. W trójkącie prostokątnym powierzchnia kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równa sumie pól kwadratów zbudowanych na nogach.

Sformułowanie algebraiczne. W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.
Oznacza to, że długość przeciwprostokątnej trójkąta przez c i długości nóg przez a i b:
a2 + b2 = c2

Twierdzenie odwrotne Pitagorasa.

Wysokość trójkąta prostokątnego

Za każde trzy liczby dodatnie a, b i c, takie, że
a2 + b2 = c2,
jest trójkąt prostokątny z odnogami a i b oraz przeciwprostokątną c.

Znaki równości trójkątów prostokątnych:

• wzdłuż nogi i przeciwprostokątnej;
• na dwóch nogach;
• wzdłuż nogi i ostrego rogu;
• przez przeciwprostokątną i kąt ostry.

Zobacz też:
Obszar trójkąta, Trójkąt równoramienny, Trójkąt równoboczny

Geometria. 8 Klasa. Test 4. Opcja 1 .

OGŁOSZENIE : CD = CD : BD. Stąd CD2 = AD ∙ BD. Mówią:

OGŁOSZENIE : AC = AC : AB. Stąd AC2 = AB ∙ OGŁOSZENIE. Mówią:

BD : BC = BC : AB. Stąd BC2 = AB ∙ BD.

Rozwiąż zadania:

1.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; MI) 53 cm.

2. Wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego do przeciwprostokątnej dzieli przeciwprostokątną na segmenty 9 i 36.

Określ długość tej wysokości.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; MI) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; MI) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; MI) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; MI) 4.

7.

8. Noga trójkąta prostokątnego to 30.

Jak znaleźć wysokość w trójkącie prostokątnym?

Znajdź odległość od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej, jeśli promień okręgu opisanego wokół tego trójkąta wynosi 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; MI) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; MI) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; MI) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; MI) 7.

Porównaj odpowiedzi!

D8.04.1. Proporcjonalne odcinki linii w trójkącie prostokątnym

Geometria. 8 Klasa. Test 4. Opcja 1 .

В Δ АВС ∠АСВ = 90 °. Odnogi AC i BC, przeciwprostokątna AB.

CD to wysokość trójkąta narysowanego do przeciwprostokątnej.

projekcja AD odnogi AC na przeciwprostokątną,

Projekcja BD odnogi BC na przeciwprostokątną.

Wysokość CD dzieli trójkąt ABC na dwa podobne trójkąty (i do siebie): Δ ADC i Δ CDB.

Z proporcjonalności boków ADC i Δ CDB wynika:

OGŁOSZENIE : CD = CD : BD.

Własność wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonego przez przeciwprostokątną.

Stąd CD2 = AD ∙ BD. Mówią: wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego do przeciwprostokątnej,istnieje średnia proporcjonalna wartość między rzutami nóg na przeciwprostokątnej.

Z podobieństwa ADC i Δ ACB wynika:

OGŁOSZENIE : AC = AC : AB. Stąd AC2 = AB ∙ OGŁOSZENIE. Mówią: każda noga jest średnią proporcjonalną wartością między całą przeciwprostokątną a rzutem tej nogi na przeciwprostokątną.

Podobnie z podobieństwa Δ СDВ i Δ АCB wynika:

BD : BC = BC : AB. Stąd BC2 = AB ∙ BD.

Rozwiąż zadania:

1. Znajdź wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego do przeciwprostokątnej, jeśli dzieli przeciwprostokątną na odcinki 25 cm i 81 cm.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; MI) 53 cm.

2. Wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego do przeciwprostokątnej dzieli przeciwprostokątną na segmenty 9 i 36. Określ długość tej wysokości.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; MI) 18.

4. Wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego do przeciwprostokątnej wynosi 22, rzut jednej nogi to 16. Znajdź rzut drugiej nogi.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; MI) 32,25.

5. Noga trójkąta prostokątnego ma 18, a jego rzut na przeciwprostokątną to 12. Znajdź przeciwprostokątną.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; MI) 21.

6. Przeciwprostokątna to 32. Znajdź nogę, której rzut na przeciwprostokątną wynosi 2.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; MI) 4.

7. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wynosi 45. Znajdź nogę, której rzut na przeciwprostokątną wynosi 9.

8. Noga trójkąta prostokątnego wynosi 30. Znajdź odległość od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej, jeśli promień okręgu opisanego wokół tego trójkąta wynosi 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; MI) 12.

10. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wynosi 41, a rzut jednej z nóg wynosi 16. Znajdź długość wysokości narysowanej od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; MI) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; MI) 75.

12. Różnica między rzutami nóg na przeciwprostokątną wynosi 15, a odległość od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej wynosi 4. Znajdź promień opisanego okręgu.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; MI) 7.

Kurs wideo „Zdobądź 5” zawiera wszystkie tematy, których potrzebujesz udana dostawa Ujednolicony egzamin państwowy z matematyki za 60-65 punktów. Ukończ wszystkie zadania 1-13 z jednolitego egzaminu państwowego profilu z matematyki. Nadaje się również do zdania egzaminu podstawowego z matematyki. Jeśli chcesz zdać egzamin na 90-100 punktów, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!

Kurs przygotowujący do egzaminu dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz do rozwiązania części 1 egzaminu z matematyki (pierwsze 12 zadań) i zadania 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na egzaminie i ani stupunktowy student, ani student humanistyki nie może się bez nich obejść.

Cała teoria, której potrzebujesz. Szybkie rozwiązania, pułapki i tajemnice egzaminu. Zdemontował wszystkie istotne zadania części 1 z Banku zadań FIPI. Kurs w pełni spełnia wymagania egzaminu-2018.

Kurs zawiera 5 dużych tematów po 2,5 godziny każdy. Każdy temat podany jest od podstaw, prosty i bezpośredni.

Setki zadań egzaminacyjnych. Zadania tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiały referencyjne, analiza wszystkich typów zadań USE. Stereometria. Podchwytliwe rozwiązania, pomocne ściągawki, rozwijające wyobraźnię przestrzenną. Trygonometria od zera do problemu 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Wizualne wyjaśnienie złożonych pojęć. Algebra. Pierwiastki, stopnie i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa rozwiązywania złożonych problemów II części egzaminu.