Isosceles treug. Jednakokraki trokut i njegova svojstva

Tema lekcije

Jednakokračan trokut

Svrha lekcije

Upoznati učenike s jednakokračnim trokutom;
Nastaviti s izgradnjom vještina u izgradnji pravokutnih trokuta;
Proširiti znanje učenika o svojstvima jednakokračnih trokuta;
Za učvršćivanje teorijskog znanja tijekom rješavanja problema.

Ciljevi lekcije

Znati formulirati, dokazati i koristiti teorem o svojstvima jednakokračnog trokuta u procesu rješavanja problema;
Nastavite razvijati svjesnu svijest nastavni materijal, logičko mišljenje, vještine samokontrole i samopoštovanja;
Potaknuti kognitivni interes na satovima matematike;
Poticati aktivnosti, znatiželju i organizaciju.

Plan učenja

1. Opći pojmovi i definicije jednakokračnog trokuta.
2. Svojstva jednakokračnog trokuta.
3. Znakovi jednakokračnog trokuta.
4. Pitanja i zadaci.

Jednakokračan trokut

Jednakokračni trokut je trokut koji ima dvije jednake stranice, koje se nazivaju stranice jednakokračnog trokuta, a njegova treća stranica naziva se baza.

Vrh ove figure je onaj koji se nalazi nasuprot njegove baze.

Kut koji leži nasuprot osnove naziva se kut na vrhu ovog trokuta, a druga dva kuta nazivaju se kutovi u podnožju jednakokračnog trokuta.

Vrste jednakokračnih trokuta

Jednakokraki trokut, poput drugih oblika, može imati različiti tipovi... Među jednakokrakim trokutima postoje oštrougaoni, pravokutni, tupokutni i jednakostranični.

Trokut s oštrim kutom ima sve oštre kutove.
Pravokutni trokut ima ravni kut na vrhu, a oštri kutovi nalaze se u podnožju.
Tupo na vrhu ima tupi kut, a u podnožju su mu kutovi oštri.
U jednakostraničnom položaju svi su mu kutovi i stranice jednaki.

Svojstva jednakokračnog trokuta

Suprotni kutovi u odnosu na jednake stranice jednakokračnog trokuta međusobno su jednaki;

Simetrale, medijane i visine povučene iz kutova nasuprot jednakim stranicama trokuta jednake su jedna drugoj.

Simetrala, medijana i visina, usmjereni i povučeni prema bazi trokuta, međusobno se podudaraju.

Središta upisanih i opisanih kružnica leže na visini, simetrali i medijani (podudaraju se) povučeni prema bazi.

Kutovi nasuprot jednakim stranicama jednakokračnog trokuta uvijek su oštri.

Ova svojstva jednakokračnog trokuta koriste se za rješavanje problema.

Domaća zadaća

1. Dajte definiciju jednakokračnog trokuta.
2. Koja je posebnost ovog trokuta?
3. Koja je razlika između jednakokračnog trokuta i pravokutnog trokuta?
4. Koja su vam svojstva jednakokračnog trokuta poznata?
5. Što mislite, je li moguće u praksi provjeriti jednakost kutova u podnožju i kako to učiniti?

Vježbajte

Sada napravimo brzu brzu anketu i saznajmo kako ste naučili novo gradivo.

Pažljivo saslušajte pitanja i odgovorite je li tvrdnja točna da:

1. Može li se trokut smatrati jednakokračnim ako su mu dvije stranice jednake?
2. Simetrala je segment koji povezuje vrh trokuta sa sredinom suprotna strana?
3. Je li simetrala linijski odsječak koji dijeli kut koji presijeca vrh s točkom na suprotnoj strani?

Savjeti za rješavanje problema jednakokračnog trokuta:

1. Za određivanje opsega jednakokračnog trokuta dovoljno je pomnožiti duljinu bočne stranice s 2 i dodati ovaj umnožak duljini osnove trokuta.
2. Ako su u problemu poznati obod i duljina osnove jednakokračnog trokuta, tada je za pronalaženje duljine bočne stranice dovoljno oduzeti duljinu baze od oboda i podijeljenu navedenu razliku podijeliti s 2 .
3. A da biste pronašli duljinu osnove jednakokračnog trokuta, poznajući i opseg i duljinu stranice, samo trebate stranicu pomnožiti s dva i oduzeti ovaj proizvod od opsega našeg trokuta.

Zadaci:

1. Među trokutima na slici identificirajte jedan dodatni i objasnite svoj izbor:

2. Odredite koji su od trokuta prikazanih na slici jednakokračni, imenujte njihove baze i stranice te izračunajte njihov opseg.

3. Opseg jednakokračnog trokuta je 21 cm. Pronađite stranice tog trokuta ako je jedna od njih veća za 3 cm. Koliko rješenja može imati ovaj problem?

4. Poznato je da ako su bočna stranica i kut nasuprot osnovi jednog jednakokračnog trokuta jednaki bočnoj strani i kutu drugog, tada će ti trokuti biti jednaki. Dokažite ovu tvrdnju.

5. Razmisli i reci mi, je li neki jednakokračni trokut jednakostraničan? I hoće li bilo koji jednakostranični trokut biti jednakokračan?

6. Ako su stranice jednakokračnog trokuta 4 m i 5 m, koliki će biti njegov opseg? Koliko rješenja može imati ovaj problem?

7. Ako je jedan od kutova jednakokračnog trokuta 91 stupanj, koji su drugi kutovi?

8. Razmisli i odgovori, koje kutove treba imati trokut da bude istodobno pravokutni i jednakokračni?

Koliko zna što je Pascalov trokut? Problem Pascalovog trokuta često se traži za provjeru osnovnih vještina programiranja. Općenito, Pascalov trokut odnosi se na kombinatoriku i teoriju vjerojatnosti. Pa što je ovaj trokut?

Pascalov trokut beskonačan je aritmetički trokut ili tablica u obliku trokuta koja se formira pomoću binomskih koeficijenata. Jednostavnim riječima, vrh i stranice ovog trokuta su jedne, a sam je ispunjen zbrojevima dva broja koja se nalaze iznad. Takav trokut možete dodati u beskonačnost, ali ako ga ocrtate, tada dobivamo jednakokračni trokut sa simetričnim linijama oko njegove okomite osi.

Razmislite, a gdje unutra Svakidašnjica jeste li naišli na jednakokračne trokute? Nije li istina da ih krovovi kuća i drevne arhitektonske građevine jako podsjećaju na njih? I zapamtite, što je osnova egipatskih piramida? Gdje ste još naišli na jednakokračne trokute?

Jednakokraki trokuti od davnina su pomagali Grcima i Egipćanima u određivanju udaljenosti i visine. Na primjer, stari su je Grci koristili za određivanje udaljenosti do broda na moru iz daleka. A stari su Egipćani određivali visinu svojih piramida zbog duljine bačene sjene. bio je to jednakokračni trokut.

Od davnina su ljudi već tada cijenili ljepotu i praktičnost ove figure, budući da nas oblici trokuta okružuju posvuda. Krećući se kroz različita sela, vidimo krovove kuća i druge građevine koje nas podsjećaju na jednakokraki trokut, ulazeći u trgovinu, nailazimo na pakiranja hrane i sokova u obliku trokuta, pa čak i neka ljudska lica imaju oblik trokuta. Ova je brojka toliko popularna da se može pronaći na svakom koraku.

Predmeti> Matematika> Matematika 7. razred

Trokut s dvije stranice jednake jedna drugoj naziva se jednakokračan. Ove se strane zovu bočne, a treća stranica baza. U ovom članku ćemo vam reći o svojstvima jednakokračnog trokuta.

Teorem 1

Kutovi blizu osnove jednakokračnog trokuta međusobno su jednaki

Dokaz teoreme.

Recimo da imamo jednakokračni trokut ABC čija je baza AB. Pogledajmo BAC trokut. Ti su trokuti, po prvom predznaku, međusobno jednaki. Tako je, jer BC = AC, AC = BC, kut ACB = kut ACB. Iz toga slijedi da je kut BAC = kut ABC, jer su to odgovarajući kutovi naših jednakih trokuta. Ovdje je svojstvo kutova jednakokračnog trokuta.

Teorem 2

Medijana u jednakokračnom trokutu, koja je povučena prema njegovoj bazi, također je visina i simetrala

Dokaz teoreme.

Recimo da imamo jednakokračni trokut ABC, čija je baza AB, a CD je medijana koju smo izvukli do njegove baze. U trokutima ACD i BCD, kut CAD = kut CBD, kao i odgovarajući kutovi pri bazi jednakokračnog trokuta (Teorem 1). A stranica AC = stranica BC (po definiciji jednakokračnog trokuta). Strana AD = stranica BD, jer točka D dijeli segment AB na jednake dijelove. Otuda slijedi da je trokut ACD = trokut BCD.

Iz jednakosti ovih trokuta imamo jednakost odgovarajućih kutova. To jest, kut ACD = kut BCD i kut ADC = kut BDC. Jednakost 1 implicira da je CD simetrala. A ADC kut i BDC kut su susjedni uglovi, a jednakost 2 implicira da su obje ravne linije. Ispada da je CD visina trokuta. To je svojstvo medijane jednakokračnog trokuta.

A sada malo o znakovima jednakokračnog trokuta.

Teorem 3

Ako su u trokutu dva kuta jednaka jedan drugome, tada je takav trokut jednakokračan

Dokaz teoreme.

Recimo da imamo trokut ABC gdje je kut CAB = kut CBA. Trokut ABC = Trokut BAC za drugi znak jednakosti među trokutima. Doista, AB = BA; kut CBA = kut CAB, kut CAB = kut CBA. Iz ove jednakosti trokuta imamo jednakost odgovarajućih stranica trokuta - AC = BC. Tada se ispostavlja da je trokut ABC jednakokračan.

Teorem 4

Ako je u bilo kojem trokutu njegova medijana i visina, onda je takav trokut jednakokračan

Dokaz teoreme.

U trokutu ABC nacrtamo medijan CD. To će biti i visina. Pravokutni trokut ACD = pravokutni trokut BCD, budući da im je krak CD zajednički, a krak AD = krak BD. Iz toga proizlazi da su njihove hipotenuze jednake jedna drugoj, kao odgovarajući dijelovi jednakih trokuta. To znači da je AB = BC.

Teorem 5

Ako su tri stranice trokuta jednake tri stranice drugog trokuta, tada su ti trokuti jednaki

Dokaz teoreme.

Pretpostavimo da imamo trokut ABC i trokut A1B1C1 tako da su stranice AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Dokaz ovog teorema smatrajmo kontradiktornim.

Recimo da ti trokuti međusobno nisu jednaki. Otuda imamo da kut BAC nije jednak kutu B1A1C1, kut ABC nije jednak kutu A1B1C1, kut ACB nije jednak kutu A1C1B1 u isto vrijeme. Inače bi ti trokuti bili jednaki na temelju gore navedenog.

Pretpostavimo trokut A1B1C2 = trokut ABC. U trokutu, vrh C2 leži s vrhom C1 u odnosu na ravnu liniju A1B1 u jednoj poluravni. Pretpostavili smo da se vrhovi C2 i C1 ne podudaraju. Pretpostavimo da je točka D sredina segmenta C1C2. Dakle, imamo jednakokračne trokute B1C1C2 i A1C1C2, koji imaju zajedničku bazu C1C2. Ispostavilo se da su njihove medijane B1D i A1D također njihove visine. To znači da su ravna B1D i ravna A1D okomite na pravu C1C2.

B1D i A1D imaju različite točke B1 i A1, odnosno, ne mogu biti isti. No nakon svega, kroz točku D ravne C1C2 možemo povući samo jednu ravnu liniju okomitu na nju. Dobili smo kontradikciju.

Sada znate koja su svojstva jednakokračnog trokuta!

Jednakokračan trokut je trokut u kojem su duljine njegovih dviju stranica jednake.

Bilješka... Iz definicije jednakokračnog trokuta proizlazi da je pravilan trokut također jednakokračan. Međutim, treba imati na umu da suprotno nije točno.

Svojstva jednakokračnog trokuta

Sljedeća svojstva koriste se za rješavanje problema. Budući da su nadaleko poznati, namjera im je da objasne sami sebe. Stoga se u tekstovima problema izostavlja pozivanje na njih.

Kutovi su jednaki među sobom.
Simetrale, medijane i visine izvučeni iz kutova nasuprot jednakim stranicama trokuta, su jednaki među sobom.
Simetrala, medijana i visina nošen u bazu, podudarati među sobom.
Upisani i opisani centri leže u visini, simetrala i medijana (podudaraju se) povučene prema bazi.
Kutovi nasuprot jednakim stranicama jednakokračnog trokuta, uvijek oštar.

Stranice u jednakokračnom trokutu mogu se izračunati pomoću formula koje izražavaju njihovu duljinu u smislu drugih stranica i kutova, čija je veličina poznata.

Bočna stranica jednakokračnog trokuta jednaka je količniku dijeljenja baze dvostrukim kosinusom kuta na bazi (Formula 1). Taj se identitet može dobiti jednostavnim transformacijama iz kosinusnog teorema.

Baza jednakokračnog trokuta jednaka je umnošku bočne stranice i kvadratnog korijena dvostruko veće razlike između jedinice i kosinusa kuta na vrhu (Formula 2)

Baza jednakokračnog trokuta jednaka je dvostrukom umnošku bočne stranice i sinusa polovice gornjeg kuta. (Formula 3)

Baza jednakokračnog trokuta jednaka je dvostrukom umnošku bočne stranice i kosinusu kuta na njegovoj bazi (Formula 4).

Polumjer upisane kružnice u jednakokračnom trokutu

Oznake u formulama mogu se vidjeti na gornjoj slici.

Polumjer upisane kružnice za jednakokračni trokut može se pronaći na temelju dimenzija baze i svake stranice. (Formula 1)

Polumjer upisane kružnice za jednakokračni trokut može se odrediti na temelju vrijednosti baze i visine povučene na tu bazu (Formula 2)

Polumjer kružnice upisane u jednakokračni trokut također se može izračunati kroz duljinu bočne stranice i visinu povučenu na bazu trokuta (Formula 3)

Poznavanje vrijednosti kuta između stranica i duljine baze također vam omogućuje da odredite polumjer upisane kružnice (Formula 4)

Slična formula (5) omogućuje vam da odredite polumjer upisane kružnice kroz stranice i kut između njih

Znakovi jednakokračnog trokuta

Trokut koji ima sljedeće značajke je jednakokračan.

Dva su kuta trokuta jednaka
Visina se podudara s medijanom
Visina se podudara s simetralom
Simetrala se poklapa s medijanom
Dvije visine su jednake
Dvije su medijane jednake
Dvije simetrale su jednake

Područje jednakokračnog trokuta

Područje jednakokračnog trokuta nalazi se po sljedećim formulama:

,
gdje
a- duljina jedne od dvije jednake stranice trokuta
b- duljina baze
α - vrijednost jednog od dva jednaka kuta u podnožju

β - vrijednost kuta između jednakih stranica trokuta i suprotnog od njegove osnove.

Svojstva jednakokračnog trokuta izražavaju sljedeće teoreme.

Teorem 1. U jednakokračnom trokutu kutovi pri bazi su jednaki.

Teorem 2. U jednakokračnom trokutu simetrala na bazu je medijana i visina.

Teorem 3. U jednakokračnom trokutu medijana povučena na bazu je simetrala i visina.

Teorem 4. U jednakokračnom trokutu visina povučena na bazu je simetrala i medijana.

Dokažimo jedan od njih, na primjer, teorem 2.5.

Dokaz. Razmotrimo jednakokračni trokut ABC s bazom BC i dokažimo da je ∠ B = ∠ C. Neka je AD simetrala trokuta ABC (slika 1). Trokut ABD i ACD jednaki su po prvom znaku jednakosti trokuta (AB = AC po uvjetu, AD je zajednička stranica, ∠ 1 = ∠ 2, budući da je AD simetrala). Iz jednakosti ovih trokuta proizlazi da je ∠ B = ∠ C. Teorem je dokazan.

Pomoću teorema 1 utvrđuje se sljedeći teorem.

Teorem 5. Treći kriterij jednakosti trokuta. Ako su tri stranice jednog trokuta jednake tri stranice drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki (slika 2).

Komentar. Rečenice utvrđene u primjerima 1 i 2 izražavaju svojstva sredine okomite na segment linije. Iz ovih rečenica proizlazi da srednje okomice na stranice trokuta sijeku se u jednoj točki.

Primjer 1. Dokazati da točka ravnine jednako udaljena od krajeva segmenta leži na okomici na ovaj segment.

Riješenje. Neka je točka M jednako udaljena od krajeva odsječka AB (slika 3), to jest AM = BM.

Tada je Δ AMB jednakokračan. Nacrtajmo ravnu liniju p kroz točku M i sredinu O odsječka AB. Odsečak MO po konstrukciji medijana je jednakokračnog trokuta AMB, pa je prema tome (Teorem 3), a visina, odnosno ravna linija MO, medijana okomita na segment AB.

Primjer 2. Dokazati da je svaka točka okomice na segment jednako udaljena od njegovih krajeva.

Riješenje. Neka je p središte okomito na segment AB i točka O - središte odsječka AB (vidi sliku 3).

Razmotrimo proizvoljnu točku M koja leži na pravoj p. Nacrtajmo segmente AM i VM. Trokuti AOM i PTO jednaki su, budući da na vrhu O imaju ravne kutove, kateta OM je uobičajena, a kateta OA prema uvjetu jednaka katetu OB. Iz jednakosti trokuta AOM i PTO slijedi da je AM = BM.

Primjer 3. U trokutu ABC (vidi sliku 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; u trokutu DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.

Usporedite trokute ABC i DEF. U skladu s tim pronađite jednaki kutovi.

Riješenje. Ti su trokuti jednaki u trećem atributu. Prema tome, jednaki kutovi: A i E (leže nasuprot jednakih stranica BC i FD), B i F (leže nasuprot jednakih stranica AC i DE), C i D (leže nasuprot jednakih stranica AB i EF).

Primjer 4. Na slici 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100 °.

Pronađi kut D.

Riješenje. Razmotrimo trokute ABC i ADC. Oni su jednaki u trećem kriteriju (AB = DC, BC = AD prema uvjetu i AC stranica je zajednička). Iz jednakosti ovih trokuta proizlazi da je ∠ V = ∠ D, ali kut V jednak je 100 °, što znači da je kut D jednak 100 °.

Primjer 5. U jednakokračnom trokutu ABC s bazom AC vanjski kut na vrhu C je 123 °. Pronađi kut ABC. Odgovor dajte u stupnjevima.

Video rješenje.

Svojstva jednakokračnog trokuta.
Znakovi jednakokračnog trokuta.
Formule jednakokračnog trokuta:
- formule duljine strana;
- formule za jednake duljine stranica;
- formule za visinu, medijanu, simetralu jednakokračnog trokuta.

Jednakokračni trokut je trokut čije su dvije stranice jednake. Ove stranke se zovu bočno a treća strana je temelj.

AB = BC - bočne stranice

AC - baza

Svojstva jednakokračnog trokuta

Svojstva jednakokračnog trokuta izražene su u smislu 5 teorema:

Teorem 1. U jednakokračnom trokutu kutovi pri bazi su jednaki.

Dokaz teoreme:

Razmotrimo jednakokračni Δ ABC s temeljem KAO .

Stranice su jednake AB = Sunce ,

Stoga su kutovi pri bazi ∠ BAC = ∠ BCA .

Teorema o simetrali, medijana, visina, povučena na bazu jednakokračnog trokuta

Teorem 2. U jednakokračnom trokutu, simetrala povučena na bazu je medijana i visina.
Teorem 3. U jednakokračnom trokutu medijana povučena na bazu je simetrala i visina.
Teorem 4. U jednakokračnom trokutu visina povučena prema bazi je simetrala i medijana.

Dokaz teoreme:

Dan Δ ABC .
Od točke V. zadržimo visinu BD.
Trokut je podijeljen na Δ ABD i Δ CBD. Ti su trokuti jednaki jer njihova hipotenuza i zajednički krak jednaki su ().
Direktno KAO i BD nazivaju se okomiti.
B Δ ABD i Δ BCD ∠ LOŠE = ∠ BSD (iz teorema 1).
AB = BC - stranice su jednake.
Stranke OGLAS = CD, od točka D dijeli segment na pola.
Dakle Δ ABD = Δ BCD.
Simetrala, visina i medijana su jedan segment - BD

Izlaz:

Visina jednakokračnog trokuta, povučena prema bazi, medijana je i simetrala.
Medijana jednakokračnog trokuta, povučena prema bazi, je visina i simetrala.
Simetrala jednakokračnog trokuta, povučena prema bazi, je medijan i visina.

Zapamtiti! Pri rješavanju takvih problema spustite visinu na bazu jednakokračnog trokuta. Podijeliti ga na dva jednaka pravokutni trokut.

Teorem 5. Ako su tri stranice jednog trokuta jednake tri stranice drugog trokuta, onda su takvi trokuti jednaki.

Dokaz teoreme:

S obzirom na dva Δ ABC i Δ A 1 B 1 C 1. Strane AB = A 1 B 1; BC = B 1 C 1; AC = A 1 C 1.

Dokaz kontradikcijom.

Neka trokuti ne budu jednaki (inače su trokuti bili jednaki u prvom atributu).
Neka je Δ A 1 B 1 C 2 = Δ ABC, čiji vrh C 2 leži u istoj poluravnini s vrhom C 1 u odnosu na ravnu liniju A 1 B 1. Pretpostavkom da se vrhovi C 1 i C 2 ne podudaraju. Neka je D sredina odsječka C 1 C 2. Δ A 1 C 1 C 2 i Δ B 1 C 1 C 2 su jednakokračni sa zajedničkom bazom C 1 C 2. Stoga su njihove medijane A 1 D i B 1 D visine. Dakle, prave A 1 D i B 1 D su okomite na pravu C 1 C 2. A 1 D i B 1 D imaju različite točke A 1 i B 1, stoga se ne podudaraju. No kroz točku D ravne C 1 C 2 može se povući samo jedna ravna linija okomita na nju.
Odavde smo došli do kontradikcije i dokazali teorem.