పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం:

ఎ) సాధారణ త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించే సామర్థ్యాన్ని బలోపేతం చేయండి;

బి) ఇచ్చిన విరామం నుండి త్రికోణమితి సమీకరణాల మూలాలను ఎలా ఎంచుకోవాలో నేర్పండి

తరగతుల సమయంలో.

1. జ్ఞానాన్ని నవీకరించడం.

ఎ) హోంవర్క్‌ని తనిఖీ చేయడం: తరగతి అధునాతనంగా ఇవ్వబడింది ఇంటి పని- సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి మరియు ఇచ్చిన విరామం నుండి మూలాలను ఎంచుకోవడానికి ఒక మార్గాన్ని కనుగొనండి.

1) కాస్ x= -0.5, ఇక్కడ xI [- ]. సమాధానం:.

2) పాపం x= , ఎక్కడ xI . సమాధానం: ; .

3) కాస్ 2 x= -, ఇక్కడ xI. సమాధానం:

విద్యార్థులు బోర్డుపై పరిష్కారాన్ని వ్రాస్తారు, కొందరు గ్రాఫ్‌ని ఉపయోగించి, మరికొందరు ఎంపిక పద్ధతిని ఉపయోగిస్తారు.

ఈ సమయంలో తరగతి మౌఖికంగా పనిచేస్తుంది.

వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:

a) tg – sin + cos + sin. సమాధానం: 1.

బి) 2ఆర్కోస్ 0 + 3 ఆర్కోస్ 1. సమాధానం: ?

సి) ఆర్క్సిన్ + ఆర్క్సిన్. సమాధానం:.

d) 5 arctg (-) - ఆర్కోస్ (-). సమాధానం:-.

– మీ హోంవర్క్‌ని తనిఖీ చేద్దాం, హోంవర్క్‌తో మీ నోట్‌బుక్‌లను తెరవండి.

మీలో కొందరు ఎంపిక పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కారాన్ని కనుగొన్నారు మరియు కొందరు గ్రాఫ్‌ని ఉపయోగిస్తున్నారు.

2. ఈ పనులను పరిష్కరించడానికి మార్గాల గురించి ముగింపు మరియు సమస్య యొక్క ప్రకటన, అంటే, పాఠం యొక్క అంశం మరియు ప్రయోజనం యొక్క కమ్యూనికేషన్.

- ఎ) పెద్ద విరామం ఇచ్చినట్లయితే ఎంపికను ఉపయోగించి పరిష్కరించడం కష్టం.

- బి) గ్రాఫికల్ పద్ధతి ఖచ్చితమైన ఫలితాలను ఇవ్వదు, ధృవీకరణ అవసరం మరియు చాలా సమయం పడుతుంది.

– కాబట్టి, కనీసం ఒక పద్ధతి ఉండాలి, అత్యంత సార్వత్రికమైనది - దానిని కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం. కాబట్టి, ఈ రోజు మనం తరగతిలో ఏమి చేయబోతున్నాం? (ఇచ్చిన విరామంలో త్రికోణమితి సమీకరణం యొక్క మూలాలను ఎంచుకోవడం నేర్చుకోండి.)

– ఉదాహరణ 1. (విద్యార్థి బోర్డుకి వెళ్తాడు)

కాస్ x= -0.5, ఇక్కడ xI [- ].

ప్రశ్న: ఈ పనికి సమాధానాన్ని ఏది నిర్ణయిస్తుంది? (నుండి సాధారణ పరిష్కారంసమీకరణాలు. పరిష్కారాన్ని వ్రాద్దాం సాధారణ వీక్షణ) పరిష్కారం బోర్డు మీద వ్రాయబడింది

x = + 2?k, ఇక్కడ k R.

- ఈ పరిష్కారాన్ని సమితి రూపంలో వ్రాస్దాం:

– విరామంలో మూలాలను ఎంచుకోవడానికి ఉత్తమ పరిష్కార సంజ్ఞామానం ఏది అని మీరు అనుకుంటున్నారు? (రెండవ ఎంట్రీ నుండి). కానీ ఇది మళ్లీ ఎంపిక పద్ధతి. సరైన సమాధానం పొందడానికి మనం ఏమి తెలుసుకోవాలి? (మీరు k విలువలను తెలుసుకోవాలి).

(kని కనుగొనడానికి ఒక గణిత నమూనాను సృష్టిద్దాం).

kI Z నుండి, అప్పుడు k = 0, అందుకే X= =	ఈ అసమానత నుండి k యొక్క పూర్ణాంక విలువలు లేవని స్పష్టమవుతుంది.

ముగింపు:త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు ఇచ్చిన విరామం నుండి మూలాలను ఎంచుకోవడానికి, మీరు వీటిని చేయాలి:

1. రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి sin x = a, cos x = aసమీకరణం యొక్క మూలాలను రెండు వరుస మూలాలుగా వ్రాయడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.
2. రూపం యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి టాన్ x = ఎ, ctg x = aమూలాల కోసం సాధారణ సూత్రాన్ని వ్రాయండి.
3. డబుల్ అసమానత రూపంలో ప్రతి పరిష్కారానికి గణిత నమూనాను సృష్టించండి మరియు k లేదా n పరామితి యొక్క పూర్ణాంక విలువను కనుగొనండి.
4. ఈ విలువలను మూల సూత్రంలోకి మార్చండి మరియు వాటిని లెక్కించండి.

3. ఏకీకరణ.

ఫలిత అల్గారిథమ్‌ని ఉపయోగించి హోంవర్క్ నుండి ఉదాహరణ సంఖ్య. 2 మరియు నం. 3ని పరిష్కరించండి. ఇద్దరు విద్యార్థులు ఒకే సమయంలో బోర్డు వద్ద పని చేస్తారు, తర్వాత పనిని తనిఖీ చేస్తారు.

ఎ)సమీకరణం 2(\sin x-\cos x)=tgx-1ని పరిష్కరించండి.

బి) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].

పరిష్కారం చూపండి

పరిష్కారం

ఎ)బ్రాకెట్లను తెరవడం మరియు అన్ని నిబంధనలను తరలించడం ఎడమ వైపు, మనకు 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0 అనే సమీకరణం వస్తుంది. \cos x \neq 0, 2 \sin x అనే పదాన్ని 2 టాన్ x \cos xతో భర్తీ చేయవచ్చు, మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0,సమూహం చేయడం ద్వారా ఫారమ్ (1-tg x)(1-2 \cos x)=0కి తగ్గించవచ్చు.

1) 1-tg x=0, టాన్ x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

బి)సంఖ్య వృత్తాన్ని ఉపయోగించి, విరామానికి చెందిన మూలాలను ఎంచుకోండి \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

సమాధానం

ఎ) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

బి) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.

పరిస్థితి

ఎ)సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

బి)విరామానికి చెందిన ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలను సూచించండి \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;

పరిష్కారం చూపండి

పరిష్కారం

ఎ) ODZ: \begin(కేసులు) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(కేసులు)

ODZలోని అసలు సమీకరణం సమీకరణాల సమితికి సమానం

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(శ్రేణి)\కుడి.

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి మేము భర్తీ చేస్తాము \cos 4x=t, t \in [-1; 1].అప్పుడు \sin^24x=1-t^2. మాకు దొరికింది:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\ntin [-1; 1].

\cos 4x=\frac12,

4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

యూనిట్ సర్కిల్‌ని ఉపయోగించి, మేము ODZని సంతృప్తిపరిచే పరిష్కారాలను కనుగొంటాము.

“+” గుర్తు 1వ మరియు 3వ త్రైమాసికాలను సూచిస్తుంది, దీనిలో tg x>0.

మనకు లభిస్తుంది: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

బి)ఇంటర్వెల్‌కు సంబంధించిన మూలాలను కనుగొనండి \left(0;\,\frac(3\pi )2\right].

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).

సమాధానం

ఎ) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

బి) \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).

మూలం: "గణితం. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ 2017 కోసం ప్రిపరేషన్. ప్రొఫైల్ స్థాయి." Ed. F. F. లైసెంకో, S. కులబుఖోవా.

పరిస్థితి

ఎ)సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

బి)విరామానికి చెందిన అన్ని మూలాలను జాబితా చేయండి \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\కుడి].

పరిష్కారం చూపండి

పరిష్కారం

ఎ)ఎందుకంటే \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6,ఆ \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6,దీనర్థం, ఇచ్చిన సమీకరణం \cos^2x=\cos ^22x సమీకరణానికి సమానం, ఇది \cos^2x-\cos ^2 2x=0 సమీకరణానికి సమానం.

కానీ \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)మరియు

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, కాబట్టి సమీకరణం అవుతుంది

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

అప్పుడు 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, లేదా 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

మొదటి సమీకరణాన్ని \cos x కోసం వర్గ సమీకరణంగా పరిష్కరిస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4.కాబట్టి \cos x=1 లేదా \cos x=-\frac12.\cos x=1 అయితే, x=2k\pi , k \in \mathbb Z. అయితే \cos x=-\frac12,ఆ x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

అదేవిధంగా, రెండవ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తే, మనకు \cos x=-1 లేదా \cos x=\frac12.\cos x=-1 అయితే, మూలాలు x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z.ఉంటే \cos x=\frac12,ఆ x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

పొందిన పరిష్కారాలను మిళితం చేద్దాం:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

బి)సంఖ్య వృత్తాన్ని ఉపయోగించి ఇచ్చిన విరామంలో వచ్చే మూలాలను ఎంచుకుందాం.

మాకు దొరికింది: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.

సమాధానం

ఎ) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

బి) \frac(11\pi )3, 4\pi, \frac(13\pi )3.

మూలం: "గణితం. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ 2017 కోసం ప్రిపరేషన్. ప్రొఫైల్ స్థాయి." Ed. F. F. లైసెంకో, S. కులబుఖోవా.

పరిస్థితి

ఎ)సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

బి)విరామానికి చెందిన ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలను సూచించండి \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\కుడి).

పరిష్కారం చూపండి

పరిష్కారం

ఎ) 1. తగ్గింపు సూత్రం ప్రకారం, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx.సమీకరణం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ x యొక్క అటువంటి విలువలు అంటే \cos x \neq 0 మరియు tan x \neq -1. డబుల్ యాంగిల్ కొసైన్ ఫార్ములా ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని మారుద్దాం 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x.మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

గమనించండి, అది \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx),కాబట్టి సమీకరణం అవుతుంది: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx).ఇక్కడనుంచి \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cos x+\sin x =\frac65.

2. తగ్గింపు ఫార్ములా మరియు కొసైన్స్ ఫార్ములా మొత్తాన్ని ఉపయోగించి \sin x+\cos xని మార్చండి: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\కుడి), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

ఇక్కడనుంచి \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5.అంటే, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

లేదా x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

అందుకే x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

లేదా x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

x యొక్క కనుగొనబడిన విలువలు నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌కు చెందినవి.

బి)ముందుగా k=0 మరియు t=0 వద్ద సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఎక్కడ పడతాయో తెలుసుకుందాం. తదనుగుణంగా ఇవి సంఖ్యలుగా ఉంటాయి a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5మరియు b=\frac\pi 4-ఆర్కోస్ \frac(3\sqrt 2)5.

1. సహాయక అసమానతను నిరూపిద్దాం:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

నిజంగా, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

అది కూడా గమనించండి \ఎడమ(\frac(3\sqrt 2)5\కుడి) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, అర్థం \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. అసమానతల నుండి (1) ఆర్కోసిన్ ఆస్తి ద్వారా మనకు లభిస్తుంది:

ఆర్కోస్ 1

0

ఇక్కడనుంచి \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

అదేవిధంగా, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

k=-1 మరియు t=-1 కోసం మేము a-2\pi మరియు b-2\pi సమీకరణం యొక్క మూలాలను పొందుతాము.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).ఇందులో -2\pi

2\pi అంటే ఈ మూలాలు ఇచ్చిన విరామానికి చెందినవి \left(-2\pi , -\frac(3\pi )2\కుడి).

k మరియు t యొక్క ఇతర విలువలకు, సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఇచ్చిన విరామానికి చెందినవి కావు.

నిజానికి, k\geqslant 1 మరియు t\geqslant 1 అయితే, మూలాలు 2\pi కంటే ఎక్కువగా ఉంటాయి. k\leqslant -2 మరియు t\leqslant -2 అయితే, మూలాలు చిన్నవిగా ఉంటాయి -\frac(7\pi )2.

సమాధానం

ఎ) \frac\pi4\pm ఆర్కోస్\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

బి) -\frac(7\pi)4\pm ఆర్కోస్\frac(3\sqrt2)5.

మూలం: "గణితం. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ 2017 కోసం ప్రిపరేషన్. ప్రొఫైల్ స్థాయి." Ed. F. F. లైసెంకో, S. కులబుఖోవా.

పరిస్థితి

ఎ)సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

బి)విరామానికి చెందిన ఈ సమీకరణం యొక్క అన్ని మూలాలను కనుగొనండి;

పరిష్కారం చూపండి

పరిష్కారం

ఎ)సమీకరణాన్ని మారుద్దాం:

\cos x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0,

\sin x=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

బి)యూనిట్ సర్కిల్‌ని ఉపయోగించి విభాగానికి చెందిన మూలాలను మేము కనుగొంటాము.

సూచించిన విరామం ఒకే సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది \frac\pi 2.

సమాధానం

ఎ) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

బి) \frac\pi 2.

మూలం: "గణితం. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ 2017 కోసం ప్రిపరేషన్. ప్రొఫైల్ స్థాయి." Ed. F. F. లైసెంకో, S. కులబుఖోవా.

పరిస్థితి

ODZలో చేర్చబడలేదు.

అంటే, \sin x \neq 1.

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా కారకం ద్వారా విభజించండి (\sin x-1),సున్నా నుండి భిన్నమైనది. మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)),లేదా సమీకరణం 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x).ఎడమ వైపున తగ్గింపు సూత్రాన్ని మరియు కుడి వైపున తగ్గింపు సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తే, మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము 2 \cos ^2 x=1-\cos x.ఈ సమీకరణం ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా ఉంటుంది \cos x=t,ఎక్కడ -1 \leqslant t \leqslant 1చతురస్రానికి తగ్గించండి: 2t^2+t-1=0,దీని మూలాలు t_1=-1మరియు t_2=\frac12.వేరియబుల్ xకి తిరిగి వస్తే, మనకు లభిస్తుంది \cos x = \frac12లేదా \cos x=-1,ఎక్కడ x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

బి)అసమానతలను పరిష్కరిద్దాం

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56, -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\ఎడమ [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\కుడి].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

పరిధిలో పూర్ణాంకాలు లేవు \ఎడమ[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\కుడి].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

ఈ అసమానత k=-1, తర్వాత x=-\pi ద్వారా సంతృప్తి చెందుతుంది.

సమాధానం

ఎ) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;

బి) -\pi .

తప్పనిసరి కనీస పరిజ్ఞానం

పాపం x = a, -1 a 1 (a 1)
x = ఆర్క్సిన్ a + 2 n, n Z
x = - ఆర్క్సిన్ a + 2 n, n Z
లేదా
x = (- 1)k arcsin a + k, k Z
ఆర్క్సిన్ (- ఎ) = - ఆర్క్సిన్ ఎ
పాపం x = 1
x = /2 + 2 k, k Z
పాపం x = 0
x = k, k Z
పాపం x = - 1
x = - /2 + 2 k, k Z
వై
వై
x
వై
x
x

తప్పనిసరి కనీస పరిజ్ఞానం

cos x = a, -1 a 1 (a 1)
x = ఆర్కోస్ a + 2 n, n Z
ఆర్కోస్ (- ఎ) = - ఆర్కోస్ ఎ
cos x = 1
x = 2 k, k Z
cos x = 0
x = /2 + k, k Z
వై
వై
x
cos x = - 1
x = + 2 k, k Z
వై
x
x

తప్పనిసరి కనీస పరిజ్ఞానం

tg x = a, a R
x = ఆర్క్టాన్ a + n, n Z
cot x = a, a R
x = arcctg a + n, n Z
arctg (- a) = - arctg a
arctg (- a) = - arctg a సమీకరణాన్ని ఒక ఫంక్షన్‌కి తగ్గించండి
ఒక వాదనకు తగ్గించండి
కొన్ని పరిష్కార పద్ధతులు
త్రికోణమితి సమీకరణాలు
త్రికోణమితి సూత్రాల అప్లికేషన్
సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించడం
కారకం
sin x, cos x, tan x కోసం వర్గ సమీకరణానికి తగ్గింపు
సహాయక వాదనను ప్రవేశపెట్టడం ద్వారా
మొదటి డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించడం ద్వారా
(asin x +bcosx = 0) cos x ద్వారా
రెండవ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించడం ద్వారా
(a sin2 x +bsin x cos x+ c cos2x =0) cos2 x ద్వారా

ఓరల్ వ్యాయామాలు లెక్కించు

ఆర్క్సిన్ ½
ఆర్క్సిన్ (- √2/2)
ఆర్కోస్ √3/2
ఆర్కోస్ (-1/2)
ఆర్క్టాన్ √3
ఆర్క్టాన్ (-√3/3)
= /6
= - /4
= /6
= - ఆర్కోస్ ½ = - /3 = 2/3
= /3
= - /6

(త్రికోణమితి వృత్తాన్ని ఉపయోగించి)
cos 2x = ½, x [- /2; 3/2]
2x = ± ఆర్కోస్ ½ + 2 n, n Z
2x = ± /3 + 2 n, n Z
x = ± /6 + n, n Z
త్రికోణమితి వృత్తాన్ని ఉపయోగించి మూలాలను ఎంచుకుందాం
సమాధానం: - /6; /6; 5/6; 7/6

రూట్ ఎంపిక వివిధ పద్ధతులు

ఇచ్చిన విరామానికి చెందిన సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి
పాపం 3x = √3/2, x [- /2; /2]
3x = (– 1)k /3 + k, k Z
x = (– 1)k /9 + k/3, k Z
k విలువలను లెక్కించడం ద్వారా మూలాలను ఎంచుకుందాం:
k = 0, x = /9 – విరామానికి చెందినది
k = 1, x = – /9 + /3 = 2 /9 – విరామానికి చెందినది
k = 2, x = /9 + 2 /3 = 7 /9 – విరామానికి చెందినది కాదు
k = – 1, x = – /9 – /3 = – 4 /9 – విరామానికి చెందినది
k = – 2, x = /9 – 2 /3 = – 5 /9 – విరామానికి చెందినది కాదు
సమాధానం: -4/9; /9; 2/9

రూట్ ఎంపిక వివిధ పద్ధతులు

ఇచ్చిన విరామానికి చెందిన సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి
(అసమానతను ఉపయోగించి)
tg 3x = – 1, x (- /2;)
3x = – /4 + n, n Z
x = – /12 + n/3, n Z
అసమానతను ఉపయోగించి మూలాలను ఎంచుకుందాం:
– /2 < – /12 + n/3 < ,
– 1/2 < – 1/12 + n/3 < 1,
– 1/2 + 1/12 < n/3 < 1+ 1/12,
– 5/12 < n/3 < 13/12,
– 5/4 < n < 13/4, n Z,
n = – 1; 0; 1; 2; 3
n = – 1, x = – /12 – /3 = – 5/12
n = 0, x = – /12
n = 1, x = – /12 + /3 = /4
n = 2, x = – /12 + 2/3 = 7/12
n = 3, x = – /12 + = 11/12
సమాధానం: – 5/12; - /12; /4; 7/12; 11/12

10. రూట్ ఎంపిక యొక్క వివిధ పద్ధతులు

ఇచ్చిన విరామానికి చెందిన సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి
(గ్రాఫ్ ఉపయోగించి)
cos x = – √2/2, x [–4; 5/4]
x = ఆర్కోస్ (– √2/2) + 2 n, n Z
x = 3/4 + 2 n, n Z
గ్రాఫ్‌ని ఉపయోగించి మూలాలను ఎంచుకుందాం:
x = – /2 – /4 = – 3/4; x = – – /4 = – 5/4
సమాధానం: 5/4; 3/4

11. 1. 72cosx = 49sin2x సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి మరియు సెగ్మెంట్ [పై దాని మూలాలను సూచించండి; 5/2]

1. 72cosx = 49sin2x సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
మరియు సెగ్మెంట్లో దాని మూలాలను సూచించండి [; 5/2]
సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:
72cosx = 49sin2x,
72cosx = 72sin2x,
2cos x = 2sin 2x,
cos x – 2 sinx cosx = 0,
cos x (1 – 2sinx) = 0,
cos x = 0 ,
x = /2 + k, k Z
లేదా
1 – 2sinx = 0,
పాపం x = ½,
x = (-1)n /6 + n, n Z
ఉపయోగించి మూలాలను ఎంచుకుందాం
త్రికోణమితి వృత్తం:
x = 2 + /6 = 13/6
సమాధానం:
a) /2 + k, k Z, (-1)n /6 + n, n Z
బి) 3/2; 5/2; 13/6

12. 2. 4cos2 x + 8 cos (x – 3/2) +1 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి సెగ్మెంట్‌లో దాని మూలాలను కనుగొనండి

2. 4cos2 x + 8 cos (x – 3/2) +1 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
సెగ్మెంట్లో దాని మూలాలను కనుగొనండి
4cos2 x + 8 cos (x – 3/2) +1 = 0
4cos2x + 8 cos (3/2 – x) +1 = 0,
4cos2x – 8 sin x +1 = 0,
4 – 4sin2 x – 8 sin x +1 = 0,
4sin 2x + 8sin x – 5 = 0,
D/4 = 16 + 20 = 36,
పాపం x = – 2.5
లేదా
పాపం x = ½
x = (-1)k /6 + k, k Z

13. ఒక విభాగంలో మూలాలను ఎంచుకుందాం (గ్రాఫ్‌లను ఉపయోగించి)

ఒక విభాగంలో మూలాలను ఎంచుకుందాం
(గ్రాఫ్‌లను ఉపయోగించి)
పాపం x = ½
y = sin x మరియు y = ½ ఫంక్షన్లను ప్లాట్ చేద్దాం
x = 4 + /6 = 25/6
సమాధానం: a) (-1)k /6 + k, k Z; బి) 25/6

14. 3. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి సెగ్మెంట్లో దాని మూలాలను కనుగొనండి

4 – cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
4 (sin2 2x + cos2 2x) – cos2 2x = 3 sin2 2x + 4 sin 2x cos 2x,
sin2 2x + 3 cos2 2x – 4 sin 2x cos 2x = 0
cos2 2x = 0 అయితే, sin2 2x = 0, ఇది అసాధ్యం, కాబట్టి
cos2 2x 0 మరియు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా cos2 2xతో విభజించవచ్చు.
tg22x + 3 – 4 tg 2x = 0,
tg22x – 4 tg 2x + 3= 0,
టాన్ 2x = 1,
2x = /4 + n, n Z
x = /8 + n/2, n Z
లేదా
టాన్ 2x = 3,
2x = ఆర్క్టాన్ 3 + k, k Z
x = ½ ఆర్క్టాన్ 3 + k/2, k Z

15.

4 – cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
x = /8 + n/2, n Z లేదా x = ½ ఆర్క్టాన్ 3 + k/2, k Z
0 నుండి< arctg 3< /2,
0 < ½ arctg 3< /4, то ½ arctg 3
అనేది పరిష్కారం
0 నుండి< /8 < /4 < 1,значит /8
అనేది కూడా పరిష్కారం
ఇతర పరిష్కారాలు చేర్చబడవు
వారి నుండి అంతరం
½ ఆర్క్టాన్ 3 మరియు /8 సంఖ్యల నుండి పొందబడ్డాయి
/2 యొక్క గుణిజాలను జోడించడం.
సమాధానం: a) /8 + n/2, n Z ; ½ ఆర్క్టాన్ 3 + k/2, k Z
బి) /8; ½ ఆర్క్టాన్ 3

16. 4. లాగ్5(cos x – sin 2x + 25) = 2 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి, సెగ్మెంట్‌లో దాని మూలాలను కనుగొనండి

4. లాగ్5(cos x – sin 2x + 25) = 2 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
సెగ్మెంట్లో దాని మూలాలను కనుగొనండి
సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:
log5(cos x – sin 2x + 25) = 2
ODZ: cos x – sin 2x + 25 > 0,
cos x – sin 2x + 25 = 25, 25 > 0,
cos x – 2sin x cos x = 0,
cos x (1 – 2sin x) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + n, n Z
లేదా
1 – 2sinx = 0,
పాపం x = 1/2
x = (-1)k /6 + k, k Z

17.

ఒక విభాగంలో మూలాలను ఎంచుకుందాం
విభాగంలో మూలాలను ఎంచుకుందాం:
1) x = /2 + n, n Z
2 /2 + n 7 /2, n Z
2 1/2 + n 7/2, n Z
2 – ½ n 7/2 – ½, n Z
1.5 n 3, n Z
n = 2; 3
x = /2 + 2 = 5/2
x = /2 + 3 = 7/2
2) పాపం x = 1/2
x = 2 + /6 = 13/6
x = 3 – /6 = 17/6
సమాధానం: a) /2 + n, n Z ; (-1)k /6 + k, k Z
బి) 13/6; 5/2; 7/2; 17/6

18. 5. 1/sin2x + 1/sin x = 2 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి [-5/2 సెగ్మెంట్‌లో దాని మూలాలను కనుగొనండి; -3/2]

5. 1/sin2x + 1/sin x = 2 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
సెగ్మెంట్లో దాని మూలాలను కనుగొనండి [-5/2; -3 /2]
సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:
1/sin2x + 1/sin x = 2
x కె
ప్రత్యామ్నాయం 1/sin x = t,
t2 + t = 2,
t2 + t – 2 = 0,
t1= – 2, t2 = 1
1/పాపం x = – 2,
పాపం x = – ½,
x = – /6 + 2 n, n Z
లేదా
x = – 5 /6 + 2 n, n Z
1/పాపం x = 1,
పాపం x = 1,
x = /2 + 2 n, n Z
ఈ మూలాల శ్రేణి మినహాయించబడింది, ఎందుకంటే -150º+ 360ºn పరిమితికి వెలుపల ఉంది
పేర్కొన్న విరామం [-450º; -270º]

19.

సెగ్మెంట్‌లో రూట్‌లను ఎంచుకోవడం కొనసాగిద్దాం
మూలాల యొక్క మిగిలిన శ్రేణిని పరిశీలిద్దాం మరియు మూలాల ఎంపికను చేద్దాం
విభాగంలో [-5/2; -3 /2] ([-450º; -270º]):
1) x = - /6 + 2 n, n Z
2) x = /2 + 2 n, n Z
-5 /2 - /6 + 2 n -3 /2, n Z
-5 /2 /2 + 2 n -3 /2, n Z
-5/2 -1/6 + 2n -3/2, n Z
-5/2 1/2 + 2n -3/2, n Z
-5/2 +1/6 2n -3/2 + 1/6, n Z
-5/2 - 1/2 2n -3/2 - 1/2, n Z
– 7/3 2n -4/3, n Z
– 3 2n -2, n Z
-7/6 n -2/3, n Z
-1.5 n -1 n Z
n = -1
n = -1
x = - /6 - 2 = -13 /6 (-390º)
x = /2 - 2 = -3 /2 (-270º)
సమాధానం: a) /2 + 2 n, n Z ; (-1)k+1 /6 + k, k Z
బి) -13/6; -3/2

20. 6. |sin x|/sin x + 2 = 2cos x సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి [-1; 8]

సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం
|పాపం x|/sin x + 2 = 2cos x
1) sin x >0 అయితే, |sin x| = పాపం x
సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది:
2 కాస్ x=3,
cos x =1.5 – మూలాలు లేవు
2) పాపం x అయితే<0, то |sin x| =-sin x
మరియు సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది
2cos x=1, cos x = 1/2,
x = ±π/3 +2πk, k Z
ఆ పాపను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే x< 0, то
ఒక వరుస సమాధానాలు మిగిలి ఉన్నాయి
x = - π/3 +2πk, k Z
కోసం మూలాలను ఎంచుకుందాం
సెగ్మెంట్ [-1; 8]
k=0, x= - π/3 , - π< -3, - π/3 < -1,
-π/3 దీనికి సంబంధించినది కాదు
సెగ్మెంట్
k=1, x = - π/3 +2π = 5π/3<8,
5 π/3 [-1; 8]
k=2, x= - π/3 + 4π = 11π/3 > 8,
11π/3 దీనికి సంబంధించినది కాదు
సెగ్మెంట్.
సమాధానం: a) - π/3 +2πk, k Z
బి) 5
π/3

21. 7. 4sin3x=3cos(x- π/2) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి విరామంలో దాని మూలాలను కనుగొనండి

8. √1-sin2x= sin x సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
విరామంలో దాని మూలాలను కనుగొనండి
√1-sin2x= sin x సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం.
పాపం x ≥ 0,
1- sin2x = sin2x;
పాపం x ≥ 0,
2sin2x = 1;
పాపం x≥0,
పాపం x =√2/2; పాపం x = - √2/2;
పాపం x =√2/2
x=(-1)k /4 + k, k Z
పాపం x =√2/2

25. ఒక విభాగంలో మూలాలను ఎంచుకుందాం

ఒక విభాగంలో మూలాలను ఎంచుకుందాం
x=(-1)k /4 + k, k Z
పాపం x =√2/2
y = sin x మరియు y=√2/2
5 /2 + /4 = 11 /4
సమాధానం: a) (-1)k /4 + k, k Z; 11/4

26. 9. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0 దాని మూలాలను విరామంలో కనుగొనండి [-5; -7/2]

9. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0
దాని మూలాలను విరామం [-5; -7 /2]
సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం
(sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0.
1) ODZ: cos x<0 ,
/2 +2 n 2) sin2x + 2 sin2x =0,
2 sinx∙cos x + 2 sin2x =0,
sin x (cos x+ sin x) =0,
పాపం x=0, x= n, n Z
లేదా
cos x+ sin x=0 | : cos x,
టాన్ x= -1, x= - /4 + n, n Z
డిఎల్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకుంటారు
x= n, n Z, x= +2 n, n Z;
x= - /4 + n, n Z,
x= 3/4 + 2 n, n Z

27. ఇచ్చిన విభాగంలో మూలాలను ఎంచుకుందాం

ఇచ్చిన వాటిపై మూలాలను ఎంచుకుందాం
సెగ్మెంట్ [-5; -7 /2]
x= +2 n, n Z ;
-5 ≤ +2 n ≤ -7 /2,
-5-1 ≤ 2n ≤ -7/2-1,
-3≤ n ≤ -9/4, n Z
n = -3, x= -6 = -5
x= 3/4 + 2 n, n Z
-5 ≤ 3 /4 + 2 n ≤ -7 /2
-23/8 ≤ n ≤ -17/8, అలాంటిదేమీ లేదు
మొత్తం n.
సమాధానం: a) +2 n, n Z ;
3 /4 + 2 n, n Z ;
బి) -5.

28. 10. 2sin2x =4cos x –sinx+1 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి [/2; 3/2]

10. 2sin2x =4cos x –sinx+1 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
విరామం [ /2లో దాని మూలాలను కనుగొనండి; 3/2]
సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం
2sin2x = 4cos x – sinx+1
2sin2x = 4cos x – sinx+1,
4 sinx∙cos x – 4cos x + sin x -1 = 0,
4cos x(sin x – 1) + (sin x – 1) = 0,
(sin x – 1)(4cos x +1)=0,
sin x – 1= 0, sin x = 1, x = /2+2 n, n Z
లేదా
4cos x +1= 0, cos x = -0.25
x = ± (-ఆర్కోస్ (0.25)) + 2 n, n Z
ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలను వేరే విధంగా వ్రాస్దాం
x = - ఆర్కోస్(0.25) + 2 n,
x = -(- ఆర్కోస్(0.25)) + 2 n, n Z

29. వృత్తాన్ని ఉపయోగించి మూలాలను ఎంచుకుందాం

x = /2+2 n, n Z, x = /2;
x = -ఆర్కోస్(0.25)+2 n,
x=-(-ఆర్కోస్(0.25)) +2 n, n Z,
x = - ఆర్కోస్(0.25),
x = + ఆర్కోస్(0.25)
సమాధానం: a) /2+2 n,
-ఆర్కోస్(0.25)+2 n,
-(-ఆర్కోస్(0.25)) +2 n, n Z;
బి) /2;
-ఆర్కోస్ (0.25); +ఆర్కోస్ (0.25)

ఎ) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: .

బి) విభాగానికి చెందిన ఈ సమీకరణం యొక్క అన్ని మూలాలను కనుగొనండి .

సమస్య పరిష్కారం

ఈ పాఠం త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే ఉదాహరణను చర్చిస్తుంది, ఇది గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు సిద్ధమవుతున్నప్పుడు రకం C1 యొక్క సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఉదాహరణగా ఉపయోగించవచ్చు.

అన్నింటిలో మొదటిది, ఫంక్షన్ యొక్క పరిధి నిర్ణయించబడుతుంది - వాదన యొక్క అన్ని చెల్లుబాటు అయ్యే విలువలు. అప్పుడు, పరిష్కారం సమయంలో, త్రికోణమితి సైన్ ఫంక్షన్ తగ్గింపు సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కొసైన్‌గా మార్చబడుతుంది. తరువాత, సమీకరణం యొక్క అన్ని నిబంధనలు దాని ఎడమ వైపుకు బదిలీ చేయబడతాయి, ఇక్కడ సాధారణ కారకం బ్రాకెట్ల నుండి తీసివేయబడుతుంది. ప్రతి కారకం సున్నాకి సమానం, ఇది సమీకరణం యొక్క మూలాలను గుర్తించడానికి అనుమతిస్తుంది. అప్పుడు, మలుపుల పద్ధతిని ఉపయోగించి, ఇచ్చిన విభాగానికి చెందిన మూలాలు నిర్ణయించబడతాయి. దీన్ని చేయడానికి, నిర్మించిన యూనిట్ సర్కిల్‌లో, ఇచ్చిన సెగ్మెంట్ యొక్క ఎడమ సరిహద్దు నుండి కుడి వైపుకు ఒక మలుపు గుర్తించబడుతుంది. తరువాత, యూనిట్ సర్కిల్‌లో కనుగొనబడిన మూలాలు దాని కేంద్రానికి విభాగాల ద్వారా అనుసంధానించబడి ఉంటాయి మరియు ఈ విభాగాలు మలుపును కలుస్తున్న పాయింట్లు నిర్ణయించబడతాయి. ఈ ఖండన పాయింట్లు సమస్య యొక్క రెండవ భాగానికి కావలసిన సమాధానం.