Ремонт 

Как се начертава височината в правоъгълен триъгълник. Прав триъгълник


Няма значение коя училищна програма съдържа такъв предмет като геометрия. Всеки от нас, като студент, е изучавал тази дисциплина и е решавал определени проблеми. Но за много хора учебните години останаха назад и част от придобитите знания бяха изтрити от паметта.

Но какво ще стане, ако изведнъж трябва да намерите отговора на въпрос от училищния учебник, например как да намерите височината в правоъгълен триъгълник? В този случай съвременният напреднал потребител на компютър първо ще отвори мрежата и ще намери информацията, която го интересува.

Основна информация за триъгълниците

Тази геометрична фигура се състои от 3 сегмента, свързани помежду си в крайните точки и точките на контакт на тези точки не са на една и съща права линия. Сегментите, които образуват триъгълник, се наричат ​​негови страни. Ставите на страните образуват върховете на фигурата, както и нейните ъгли.

Видове триъгълници в зависимост от ъглите

Тази фигура може да притежава 3 вида ъгли: заточени, тъпи и прави. В зависимост от това в средата на триъгълниците се разграничават следните разновидности:

Видове триъгълници в зависимост от дължината на страните

Както бе споменато по -рано, тази цифра се появява от 3 сегмента. В зависимост от размера им се разграничават следните видове триъгълници:

Как да намерите височината на правоъгълен триъгълник

Две подобни страни на правоъгълен триъгълник, образуващи прав ъгъл в точката на техния собствен контакт, се наричат ​​крака. Сегментът, който ги свързва, се нарича "хипотенуза". За да намерите височината в дадена геометрична форма, трябва да спуснете линията отгоре прав ъгълвърху хипотенузата. С всичко това тази линия трябва да раздели ъгъл от 90? точно наполовина. Такъв сегмент се нарича бисектриса.

Снимката по-горе показва правоъгълен триъгълник, чиято височина ще трябва да изчислим. Това може да стане по няколко начина:

Ако нарисувате окръжност около триъгълника и начертаете радиус, стойността му ще бъде половината от стойността на хипотенузата. Въз основа на това височината на правоъгълен триъгълник може да бъде изчислена по формулата:

Всъщност изобщо не е толкова страшно. Разбира се, „реалните“ определения на синус, косинус, тангенс и котангенс трябва да бъдат намерени в статията. Но ти наистина не искаш, нали? Можем да се радваме: за да решите проблеми за правоъгълен триъгълник, можете просто да попълните следните прости неща:

А какво ще кажете за ъгъла? Има ли крак, който е срещу ъгъла, тоест противоположният крак (за ъгъла)? Разбира се, че имам! Това е крак!

Но какво да кажем за ъгъла? Вгледай се по-внимателно. Кой крак е в непосредствена близост до ъгъла? Разбира се, кракът. Следователно за ъгъла кракът е съседен и

А сега, внимание! Вижте какво имаме:

Виждате колко страхотно:

Сега нека преминем към тангенса и котангенса.

Как мога да го запиша с думи сега? Какво е кракът спрямо ъгъла? Отсреща, разбира се - „лежи“ срещу ъгъла. А кракът? В непосредствена близост до ъгъла. И така, какво направихме?

Вижте, че числителят и знаменателят са обърнати?

И сега отново ъглите и направихме размяната:

Резюме

Нека запишем накратко всичко, което сме научили.

Питагорова теорема:

Основната теорема за правоъгълен триъгълник е питагорейската теорема.

Питагорова теорема

Между другото, добре ли си спомняш какво са краката и хипотенузата? Ако не, тогава погледнете снимката - освежете знанията си

Напълно възможно е вече да сте използвали питагоровата теорема много пъти, но чудили ли сте се защо такава теорема е вярна? Как мога да го докажа? Нека постъпим като древните гърци. Нека нарисуваме квадрат със страна.

Виждате ли колко умело разделихме страните му на дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме нещо друго, но вие сами разглеждате чертежа и се замисляте защо е така.

Каква е площта на по -големия квадрат?

Точно,.

По -малка площ?

Разбира се, .

Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че ги взехме по две наведнъж и ги подпряхме един на друг с хипотенузи.

Какво стана? Два правоъгълника. Това означава, че площта на "отпадъците" е равна на.

Нека сега да съберем всичко заедно.

Нека трансформираме:

Така че посетихме Питагор - доказахме неговата теорема по древен начин.

Прав триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник важат следните отношения:

Синусът на остър ъгъл е равен на отношението на противоположния крак към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния крак към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на противоположния крак към съседния крак.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния крак към противоположния крак.

И отново всичко това е под формата на чиния:

Много е удобно!

Тестове за равенство за правоъгълни триъгълници

I. На два крака

II. На крака и хипотенуза

III. Чрез хипотенуза и остър ъгъл

IV. На крак и остър ъгъл

а)

б)

Внимание! Тук е много важно краката да са „подходящи“. Например, ако е така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛЦИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един и същ остър ъгъл.

Трябва да и в двата триъгълника кракът е съседен, или в двата триъгълника, срещуположни.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълните триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълниците?

Погледнете темата „и обърнете внимание на факта, че за равенството на„ обикновените ”триъгълници е необходимо равенството на трите им елемента: две страни и ъгъл между тях, два ъгъла и страна между тях или три страни .

Но за равенството на правоъгълните триъгълници са достатъчни само два съответни елемента. Страхотно, нали?

Положението е приблизително същото с признаците на сходство на правоъгълни триъгълници.

Признаци на сходството на правоъгълни триъгълници

I. На остър ъгъл

II. На два крака

III. На крака и хипотенуза

Медиана в правоъгълен триъгълник

Защо е така?

Помислете за цял правоъгълник вместо за правоъгълен триъгълник.

Нека нарисуваме диагонал и да разгледаме точка - пресечната точка на диагоналите. Какво е известно за диагоналите на правоъгълник?

И какво следва от това?

Така се оказа, че

  1. - Медиана:

Запомнете този факт! Помага много!

Още по -изненадващото е, че обратното също е вярно.

Каква полза можете да получите от факта, че средната стойност на хипотенузата е равна на половината от хипотенузата? Нека да разгледаме снимката

Вгледай се по-внимателно. Имаме :, тоест разстоянията от точката до трите върха на триъгълника се оказаха равни. Но в триъгълник има само една точка, разстоянията от която около трите върха на триъгълника са равни и това е ЦЕНТЪРЪТ НА ОПИСАНИЯ КРЪГ. И какво стана?

Нека започнем с това "освен ..."

Нека да разгледаме и.

Но в такива триъгълници всички ъгли са равни!

Същото може да се каже за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

Каква полза може да се извлече от това "тройно" сходство.

Е, например - две формули за височината на правоъгълен триъгълник.

Нека запишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме първата формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

Е, сега, прилагайки и комбинирайки тези знания с други, ще разрешите всеки проблем с правоъгълен триъгълник!

Така че, нека приложим сходството :.

Какво се случва сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула:

И двете формули трябва да се запомнят много добре и тази, която е по -удобна за прилагане.

Нека ги запишем отново

Питагорова теорема:

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите:.

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

  • на два крака:
  • на крака и хипотенуза: или
  • по протежение на крака и прилежащ остър ъгъл: или
  • по протежение на крака и противоположния остър ъгъл: или
  • по хипотенуза и остър ъгъл: или.

Признаци на сходството на правоъгълни триъгълници:

  • един остър ъгъл: или
  • от пропорционалността на двата крака:
  • от пропорционалността на крака и хипотенузата: или.

Синус, косинус, тангенса, котангенс в правоъгълен триъгълник

  • Синусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на противоположния крак към хипотенузата:
  • Косинусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседния крак към хипотенузата:
  • Тангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на противоположния крак към съседния:
  • Котангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседния крак към противоположния :.

Височина на правоъгълен триъгълник: или.

В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена от върха на прав ъгъл, е половината от хипотенузата :.

Площ на правоъгълен триъгълник:

  • през краката:

Имот: 1.Във всеки правоъгълен триъгълник височината, паднала от правия ъгъл (от хипотенузата), разделя правоъгълния триъгълник на три подобни триъгълника.

Имот: 2.Височината на правоъгълен триъгълник, спуснат върху хипотенузата, е равна на средната геометрия на проекциите на краката към хипотенузата (или средната геометрия на онези сегменти, на които височината разбива хипотенузата).

Имот: 3.Катетът е равен на средната геометрия на хипотенузата и проекцията на този крак към хипотенузата.

Имот: 4.Катетът срещу ъгъл от 30 градуса е равен на половината от хипотенузата.

Формула 1.

Формула 2.къде е хипотенузата; , крака.

Имот: 5.В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена към хипотенузата, е равна на половината й и е равна на радиуса на описаната окръжност.

Свойство: 6. Зависимост между страните и ъглите на правоъгълен триъгълник:

44. Теорема за косинусите. Последици: връзка между диагонали и страни на успоредник; определяне на типа триъгълник; формула за изчисляване на дължината на медианата на триъгълник; изчисляване на косинуса на ъгъла на триъгълника.

Край на работата -

Тази тема принадлежи към раздела:

Клас. Основи на програмата за колониум на планиметрията

Имот съседни ъгли.. дефиниция на два съседни ъгъла, ако едната страна е обща за другите две, за да образува права линия ..

Ако се нуждаеш допълнителен материалпо тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база данни с произведения:

Какво ще правим с получения материал:

Ако този материал се оказа полезен за вас, можете да го запишете на страницата си в социални мрежи:

(ABC)и неговите свойства, което е показано на фигурата. Правоъгълен триъгълник има хипотенуза - страната, която лежи срещу правия ъгъл.

Съвет 1: Как да намерите височината в правоъгълен триъгълник

Страните, които образуват прав ъгъл, се наричат ​​крака. Фигурата е отстрани AD, DC и BD, DC- крака и страни КАТОи СВ- хипотенуза.

Теорема 1. В правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 °, катетът, противоположен на този ъгъл, разбива половината от хипотенузата.

hC

AB- хипотенуза;

Н.е.и DB

Триъгълник
Има една теорема:
система за коментиране CACKLE

Решение: 1) Диагоналите на всеки правоъгълник са равни. Правилно 2) Ако в един триъгълник има един остър ъгъл, тогава този триъгълник е остър. Не е вярно. Видове триъгълници. Триъгълник се нарича остроъгълен, ако и трите му ъгъла са остри, тоест по-малко от 90 ° 3) Ако точката лежи върху.

Или в друг запис,

По питагорейската теорема

Каква е височината във формула за правоъгълен триъгълник

Височина на правоъгълен триъгълник

Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена към хипотенузата, може да се намери по един или друг начин, в зависимост от данните в постановката на проблема.

Или в друг запис,

Където BK и KC са проекциите на краката към хипотенузата (сегментите, на които височината разделя хипотенузата).

Височината, изтеглена към хипотенузата, може да се намери през областта на правоъгълен триъгълник. Ако приложим формулата, за да намерим площта на триъгълник

(половината от произведението на страната от височината, изтеглена към тази страна) към хипотенузата и височината, изтеглена към хипотенузата, получаваме:

Оттук можем да намерим височината като отношение на удвоената площ на триъгълника към дължината на хипотенузата:

Тъй като площта на правоъгълен триъгълник е половината от произведението на краката:

Тоест дължината на височината, изтеглена към хипотенузата, е равна на отношението на произведението на краката към хипотенузата. Ако обозначим дължините на катетите през a и b, дължината на хипотенузата през c, формулата може да бъде преписана като

Тъй като радиусът на окръжност, описана около правоъгълен триъгълник, е равен на половината от хипотенузата, дължината на височината може да се изрази чрез катетите и радиуса на описаната окръжност:

Тъй като височината, изтеглена към хипотенузата, образува още два правоъгълни триъгълника, дължината й може да се намери чрез съотношенията в правоъгълния триъгълник.

От правоъгълен триъгълник ABK

От правоъгълния триъгълник ACK

Дължината на височината на правоъгълен триъгълник може да се изрази като дължина на краката. Защото

По питагорейската теорема

Ако квадрат на двете страни на равенството:

Можете да получите друга формула за свързване на височината на правоъгълен триъгълник с краката:

Каква е височината във формула за правоъгълен триъгълник

Прав триъгълник. Средно ниво.

Искате ли да изпробвате силите си и да разберете резултата от това колко сте готови за Единния държавен изпит или OGE?

Основната теорема за правоъгълен триъгълник е питагорейската теорема.

Питагорова теорема

Между другото, добре ли си спомняш какво са краката и хипотенузата? Ако не, тогава погледнете снимката - освежете знанията си

Напълно възможно е вече да сте използвали питагоровата теорема много пъти, но чудили ли сте се защо такава теорема е вярна? Как мога да го докажа? Нека постъпим като древните гърци. Нека нарисуваме квадрат със страна.

Виждате ли колко умело разделихме страните му на дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме нещо друго, но вие сами разглеждате чертежа и се замисляте защо е така.

Каква е площта на по -големия квадрат? Точно,. По -малка площ? Разбира се, . Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че ги взехме по две наведнъж и ги подпряхме един на друг с хипотенузи. Какво стана? Два правоъгълника. Това означава, че площта на "отпадъците" е равна на.

Нека сега да съберем всичко заедно.

Така че посетихме Питагор - доказахме неговата теорема по древен начин.

Прав триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник важат следните отношения:

Синусът на остър ъгъл е равен на отношението на противоположния крак към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния крак към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на противоположния крак към съседния крак.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния крак към противоположния крак.

И отново всичко това е под формата на чиния:

Забелязали ли сте едно много удобно нещо? Погледнете внимателно знака.

Много е удобно!

Тестове за равенство за правоъгълни триъгълници

II. На крака и хипотенуза

III. Чрез хипотенуза и остър ъгъл

IV. На крак и остър ъгъл

Внимание! Тук е много важно краката да са „подходящи“. Например, ако е така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛЦИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един и същ остър ъгъл.

Трябва да И в двата триъгълника кракът е бил в съседство, или в двата триъгълника, срещуположни.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълните триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълниците? Разгледайте темата "Триъгълник" и обърнете внимание на факта, че за равенството на "обикновените" триъгълници се нуждаете от равенството на трите им елемента: две страни и ъгъл между тях, два ъгъла и страна между тях, или три страни. Но за равенството на правоъгълните триъгълници са достатъчни само два съответни елемента. Страхотно, нали?

Положението е приблизително същото с признаците на сходство на правоъгълни триъгълници.

Признаци на сходството на правоъгълни триъгълници

III. На крака и хипотенуза

Медиана в правоъгълен триъгълник

Помислете за цял правоъгълник вместо за правоъгълен триъгълник.

Нека нарисуваме диагонал и да разгледаме точката на пресичане на диагоналите. Какво е известно за диагоналите на правоъгълник?

    Точката на пресичане на диагонала е наполовина.Диагоналите са равни на

И какво следва от това?

Така се оказа, че

Запомнете този факт! Помага много!

Още по -изненадващото е, че обратното също е вярно.

Каква полза можете да получите от факта, че средната стойност на хипотенузата е равна на половината от хипотенузата? Нека да разгледаме снимката

Вгледай се по-внимателно. Имаме :, тоест разстоянията от точката до трите върха на триъгълника се оказаха равни. Но в триъгълник има само една точка, разстоянията от която около трите върха на триъгълника са равни и това е ЦЕНТЪРЪТ НА ОПИСАНИЯ КРЪГ. И какво стана?

Нека започнем с това „освен това. ".

Но в такива триъгълници всички ъгли са равни!

Същото може да се каже за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

Имайте същите остри ъгли!

Каква полза може да се извлече от това "тройно" сходство.

Е, например - Две формули за височината на правоъгълен триъгълник.

Нека запишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме Първата формула „Височина в правоъгълен триъгълник“:

Как получавате втори?

Сега нека приложим сходството на триъгълниците и.

Така че, нека приложим сходството :.

Какво се случва сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

И двете формули трябва да се запомнят много добре и тази, която е по -удобна за прилагане. Нека ги запишем отново

Е, сега, прилагайки и комбинирайки тези знания с други, ще разрешите всеки проблем с правоъгълен триъгълник!

Коментари (1)

Разпространението на материали без одобрение е допустимо, ако има dofollow връзка към изходната страница.

Политика за поверителност

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Декларация за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или контакт с него.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По -долу са дадени някои примери за типовете лична информация, които можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

    Когато оставите заявка на сайта, ние можем да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

    Събрани от нас лична информацияни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития. От време на време можем да използваме вашата лична информация за изпращане на важни известия и съобщения. Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.

    Свойството на височината на правоъгълен триъгълник, изпуснат от хипотенузата

    Ако участвате в теглене на награди, състезание или подобно промоционално събитие, ние можем да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

    Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебно разпореждане, в съдебни производства и / или въз основа на публични запитвания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Можем също така да разкрием информация за вас, ако установим, че такова разкриване е необходимо или подходящо от сигурност, правоприлагане или други социално важни причини. В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна - правоприемника.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки - включително административни, технически и физически - за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Уважение към вашата поверителност на ниво компания

За да сме сигурни, че вашата лична информация е в безопасност, ние въвеждаме правилата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно следим изпълнението на мерките за поверителност.

Благодаря за съобщението!

Вашият коментар е приет, след модериране той ще бъде публикуван на тази страница.

Искате ли да разберете какво се крие под изреза и да получите изключителни материали за подготовка за изпита и изпита? Оставете имейла си

Свойства на правоъгълен триъгълник

Помислете за правоъгълен триъгълник (ABC)и неговите свойства, което е показано на фигурата. Правоъгълен триъгълник има хипотенуза - страната, която лежи срещу правия ъгъл. Страните, които образуват прав ъгъл, се наричат ​​крака. Фигурата е отстрани AD, DC и BD, DC- крака и страни КАТОи СВ- хипотенуза.

Признаци за равенство на правоъгълен триъгълник:

Теорема 1. Ако хипотенузата и катетът на правоъгълен триъгълник са подобни на хипотенузата и катета на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

Теорема 2. Ако два катета на правоъгълен триъгълник са равни на два катета на друг триъгълник, то такива триъгълници са равни.

Теорема 3. Ако хипотенузата и остър ъгъл на правоъгълен триъгълник са подобни на хипотенузата и остър ъгъл на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

Теорема 4. Ако катетът и съседният (противоположен) остър ъгъл на правоъгълен триъгълник са равни на катета и съседен (противоположен) остър ъгъл на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

Свойства на крака, противоположен на ъгъла 30 °:

Теорема 1.

Височина в правоъгълен триъгълник

В правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 °, катетът, противоположен на този ъгъл, разбива половината от хипотенузата.

Теорема 2. Ако катетът в правоъгълен триъгълник е половината от хипотенузата, тогава противоположният ъгъл е 30 °.

Ако височината е изтеглена от върха на прав ъгъл към хипотенузата, тогава такъв триъгълник се разделя на два по -малки, подобни на изходящия и подобни един на друг. Това води до следните изводи:

  1. Височината е средната геометрия (пропорционална средна стойност) на двата хипотенузни сегмента.
  2. Всеки крак на триъгълника е средно пропорционален на хипотенузата и съседните сегменти.

В правоъгълен триъгълник краката действат като височини. Ортоцентърът е точката, в която се случва пресичането на височините на триъгълника. Той съвпада с върха на десния ъгъл на фигурата.

hC- височината, излизаща от правия ъгъл на триъгълника;

AB- хипотенуза;

Н.е.и DB- сегментите, възникнали при разделяне на хипотенузата по височина.

Връщане към разглеждане на справки за дисциплината "Геометрия"

ТриъгълникЕ геометрична фигура, състояща се от три точки (върхове), които не са на една и съща права линия и три сегмента, свързващи тези точки. Правоъгълен триъгълник е триъгълник, който има един от ъглите 90 ° (прав ъгъл).
Има една теорема:сумата от острите ъгли на правоъгълен триъгълник е 90 °.
система за коментиране CACKLE

Ключови думи:триъгълник, правоъгълен, крак, хипотенуза, Питагорова теорема, кръг

Триъгълникът се нарича правоъгълнаако има прав ъгъл.
Правоъгълен триъгълник има две взаимно перпендикулярни страни, т.нар крака; нейната трета страна се нарича хипотенуза.

  • Според свойствата на перпендикуляра и наклона хипотенузата е по -дълга от всеки от краката (но по -малка от тяхната сума).
  • Сумата от два остри ъгъла на правоъгълен триъгълник е равна на правия ъгъл.
  • Две височини на правоъгълен триъгълник съвпадат с краката му. Следователно една от четирите забележителни точки попада във върховете на правия ъгъл на триъгълника.
  • Центърът на описаната окръжност на правоъгълен триъгълник лежи в средата на хипотенузата.
  • Медианата на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на ъгъла под прав ъгъл към хипотенузата, е радиусът на окръжността, описана около този триъгълник.

Помислете за произволен правоъгълен триъгълник ABC и начертайте височината CD = hc от върха C на нейния прав ъгъл.

Той ще раздели този триъгълник на два правоъгълни триъгълника ACD и BCD; всеки от тези триъгълници има общ остър ъгъл с триъгълник ABC и следователно е подобен на триъгълника ABC.

И трите триъгълника ABC, ACD и BCD са подобни помежду си.

От сходството на триъгълниците се определят следните отношения:

  • $$ h = \ sqrt (a_ (c) \ cdot b_ (c)) = \ frac (a \ cdot b) (c) $$;
  • c = ac + bc;
  • $$ a = \ sqrt (a_ (c) \ cdot c), b = \ sqrt (b_ (c) \ cdot в) $$;
  • $$ (\ frac (a) (b)) ^ (2) = \ frac (a_ (c)) (b_ (c)) $$.

Питагорова теоремаедна от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник.

Геометрична формулировка.В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху катетите.

Алгебрична формулировка.В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.
Тоест, обозначавайки дължината на хипотенузата на триъгълника през с и дължините на катетите през а и b:
a2 + b2 = c2

Обратната теорема на Питагор.

Височина на правоъгълен триъгълник

За всеки три положителни числа a, b и c, така че
a2 + b2 = c2,
има правоъгълен триъгълник с катети a и b и хипотенуза c.

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

  • по протежение на крака и хипотенуза;
  • на два крака;
  • по протежение на крака и остър ъгъл;
  • по хипотенуза и остър ъгъл.


Вижте също:
Площ на триъгълник, Равнобедрен триъгълник, Равностранен триъгълник

Геометрия. 8 Клас. Тест 4. Вариант 1 .

Н.е. : CD = CD : BD. Следователно CD2 = AD ∙ BD. Те казват:

Н.е. : AC = AC : AB. Следователно AC2 = AB ∙ Н.е. Те казват:

BD : BC = BC : AB. Следователно BC2 = AB ∙ BD.

Решете задачите:

1.

А) 70 см; Б) 55 см; ° С) 65 см; Д) 45 см; Д) 53 см.

2. Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена към хипотенузата, разделя хипотенузата на сегменти 9 и 36.

Определете дължината на тази височина.

А) 22,5; Б) 19; ° С) 9; Д) 12; Д) 18.

4.

А) 30,25; Б) 24,5; ° С) 18,45; Д) 32; Д) 32,25.

5.

А) 25; Б) 24; ° С) 27; Д) 26; Д) 21.

6.

А) 8; Б) 7; ° С) 6; Д) 5; Д) 4.

7.

8. Катетът на правоъгълен триъгълник е 30.

Как да намеря височината в правоъгълен триъгълник?

Намерете разстоянието от върха на правия ъгъл до хипотенузата, ако радиусът на окръжността, описана около този триъгълник, е 17.

А) 17; Б) 16; ° С) 15; Д) 14; Д) 12.

10.

А) 15; Б) 18; ° С) 20; Д) 16; Д) 12.

А) 80; Б) 72; ° С) 64; Д) 81; Д) 75.

12.

А) 7,5; Б) 8; ° С) 6,25; Д) 8,5; Д) 7.

Провери си отговорите!

D8.04.1. Пропорционални отсечки на права в триъгълник

Геометрия. 8 Клас. Тест 4. Вариант 1 .

В Δ АВС ∠АСВ = 90 °. AC и BC крака, AV хипотенуза.

CD е височината на триъгълника, изтеглен към хипотенузата.

AD проекция на AC крака върху хипотенузата,

BD проекция на BC крака върху хипотенузата.

Височината CD разделя триъгълника ABC на два подобни (и един на друг) триъгълника: Δ ADC и Δ CDB.

От пропорционалността на страните като Δ ADC и Δ CDB следва:

Н.е. : CD = CD : BD.

Свойството на височината на правоъгълен триъгълник, изпуснат от хипотенузата.

Следователно CD2 = AD ∙ BD. Те казват: височината на правоъгълен триъгълник, привлечен към хипотенузата,има средна пропорционална стойност между проекциите на краката върху хипотенузата.

От сходството между Δ ADC и Δ ACB следва:

Н.е. : AC = AC : AB. Следователно AC2 = AB ∙ Н.е. Те казват: всеки крак е средната пропорционална стойност между цялата хипотенуза и проекцията на този крак върху хипотенузата.

По подобен начин от сходството между Δ СDВ и Δ АСВ следва:

BD : BC = BC : AB. Следователно BC2 = AB ∙ BD.

Решете задачите:

1. Намерете височината на правоъгълен триъгълник, изтеглен към хипотенузата, ако разделя хипотенузата на сегменти 25 cm и 81 cm.

А) 70 см; Б) 55 см; ° С) 65 см; Д) 45 см; Д) 53 см.

2. Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена към хипотенузата, разделя хипотенузата на сегменти 9 и 36. Определете дължината на тази височина.

А) 22,5; Б) 19; ° С) 9; Д) 12; Д) 18.

4. Височината на правоъгълния триъгълник, изтеглена към хипотенузата, е 22, проекцията на един от краката е 16. Намерете проекцията на другия крак.

А) 30,25; Б) 24,5; ° С) 18,45; Д) 32; Д) 32,25.

5. Катетът на правоъгълен триъгълник е 18, а проекцията му върху хипотенузата е 12. Намерете хипотенузата.

А) 25; Б) 24; ° С) 27; Д) 26; Д) 21.

6. Хипотенузата е 32. Намерете крака, чиято проекция върху хипотенузата е 2.

А) 8; Б) 7; ° С) 6; Д) 5; Д) 4.

7. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 45. Намерете катета, чиято проекция към хипотенузата е 9.

8. Катетът на правоъгълен триъгълник е 30. Намерете разстоянието от върха на правия ъгъл до хипотенузата, ако радиусът на окръжността, описана около този триъгълник, е 17.

А) 17; Б) 16; ° С) 15; Д) 14; Д) 12.

10. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 41, а проекцията на един от катетите е 16. Намерете дължината на височината, изтеглена от върха на правия ъгъл към хипотенузата.

А) 15; Б) 18; ° С) 20; Д) 16; Д) 12.

А) 80; Б) 72; ° С) 64; Д) 81; Д) 75.

12. Разликата между проекциите на катетите върху хипотенузата е 15, а разстоянието от върха на правия ъгъл до хипотенузата е 4. Намерете радиуса на описаната окръжност.

А) 7,5; Б) 8; ° С) 6,25; Д) 8,5; Д) 7.

Прав триъгълнике триъгълник, един от ъглите е прав, тоест е равен на 90 градуса.

  • Страната, противоположна на правия ъгъл, се нарича хипотенуза (на фигурата е посочена като ° Сили AB)
  • Страната, съседна на прав ъгъл, се нарича крак. Всеки правоъгълен триъгълник има два крака (посочени на фигурата като аи b или AC и BC)

Формули и свойства на правоъгълен триъгълник

Обозначения на формулите:

(вижте снимката по -горе)

а, б- катети на правоъгълен триъгълник

° С- хипотенуза

α, β - остри ъгли на триъгълника

С- квадрат

з- височината, спусната от върха на десния ъгъл към хипотенузата

m a аот противоположния ъгъл ( α )

м бе медианата, изтеглена отстрани бот противоположния ъгъл ( β )

m cе медианата, изтеглена отстрани ° Сот противоположния ъгъл ( γ )

V правоъгълен триъгълник всеки от краката е по -малък от хипотенузата(Формули 1 и 2). Това свойство е следствие от питагорейската теорема.

Косинусът на всеки от острите ъглипо -малко от едно (Формули 3 и 4). Това свойство следва от предишното. Тъй като всеки от катетите е по -малък от хипотенузата, то съотношението на катета към хипотенузата винаги е по -малко от едно.

Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на краката (Питагорова теорема). (Формула 5). Това свойство се използва постоянно при решаване на проблеми.

Площ на правоъгълен триъгълникравно на половината от произведението на краката (Формула 6)

Сума от квадрати на медианитена катетите, е равно на пет квадрата от медианата на хипотенузата и пет квадрата на хипотенузата, разделени на четири (Формула 7). В допълнение към горното, има Още 5 формули, затова се препоръчва да се запознаете и с урока "Медиана на прав триъгълник", който описва по -подробно свойствата на медианата.

Височинаправоъгълен триъгълник е равен на произведението на катетите, разделено на хипотенузата (формула 8)

Квадратите на краката са обратно пропорционални на квадрата на височината, понижена до хипотенузата (Формула 9). Тази идентичност също е едно от последиците от питагорейската теорема.

Дължина на хипотенузатае равен на диаметъра (два радиуса) на описаната окръжност (Формула 10). Хипотенуза на правоъгълен триъгълник е диаметърът на описаната окръжност... Това свойство често се използва при решаване на проблеми.

Вписан радиус v правоъгълен триъгълник кръговеможе да се намери като половина от израз, който включва сумата от катетите на този триъгълник минус дължината на хипотенузата. Или като произведение на катетите, разделено на сумата от всички страни (периметър) на даден триъгълник. (Формула 11)
Синусоидален ъгъл отношение на обратнототози ъгъл крак до хипотенуза(по дефиниция на синус). (Формула 12). Това свойство се използва при решаване на проблеми. Знаейки размера на страните, можете да намерите ъгъла, който те образуват.

Косинусът на ъгъла A (α, алфа) в правоъгълен триъгълник ще бъде равен на поведение съседнитози ъгъл крак до хипотенуза(по дефиниция на синус). (Формула 13)