Точки A, B и C са взети на права линия a (фиг. 7, o). Точка B лежи между точки A и C. Можете също да кажете, че точки A и C лежат от противоположните страни на точка B. Точки A и B лежат от едната страна на точка C, те не са разделени от точка C. Точки B и C лежат от една и съща страна на точка A.

Отсечката е част от права линия, която се състои от всички точки на тази права линия, лежащи между двете й дадени точки. Тези точки се наричат ​​краища на линията. Сегментът се обозначава с индикацията на неговите краища.

На фигура 7, b отсечката AB е част от правата линия a. Точка M лежи между точки A и B и следователно принадлежи на отсечката AB; точка K не лежи между точки A и B, следователно не принадлежи на отсечката AB.

Аксиомата (основното свойство) за разположението на точките по права линия се формулира, както следва:

От трите точки на права линия, една и само една лежи между другите две.

Следната аксиома изразява основното свойство за измерване на отсечки от линии.

Всеки сегмент има определена дължина, по-голяма от нула. Дължината на отсечката е равна на сбора от дължините на частите, на които е разделен от някоя от неговите точки.

Това означава, че ако върху отсечката MK се вземе някаква точка C, тогава дължината на отсечката MK е равна на сумата от дължините на отсечките MC и SK (фиг. 7, в).

Дължината на отсечката MK се нарича още разстоянието между точките M и K.

Пример 1. На права са дадени три точки O, P и M. Известно е, че. Точка P лежи ли между O и M? Може ли точка B да принадлежи на отсечката PM, ако? Обяснете отговора.

Решение. Точка P се намира между точки O и M, ако проверим изпълнението на това условие:. Заключение: точка P се намира между точки O и M.

Точка B принадлежи на отсечката PM, ако се намира между точки P и M, тоест проверете: и по условие. Заключение: точка B не принадлежи на отсечката PM.

Пример 2. Възможно ли е да се подредят 6, 7 и 8 отсечки на равнина така, че всеки от тях да пресича точно три други?

Решение. 6 сегмента могат да бъдат подредени така (фиг. 8, о). По този начин могат да бъдат подредени и 8 сегмента (фиг. 8, б). 7 сегмента не могат да бъдат подредени по този начин.

Нека докажем последното твърдение. Да предположим, че е възможно такова подреждане на седемте отсечки. Нека номерираме сегментите и съставим такава таблица в клетката в пресечната точка на реда и колоната, поставяме „+“, ако сегментът се пресича с j-тия, и „-“, ако не се пресича. Ако и това е зададено. Нека преброим по два начина колко знака има в таблицата.

От една страна, във всеки ред има по 3 от тях, така че има само знаци. От друга страна, таблицата се попълва симетрично по отношение на диагонала:

ако в клетка C: j) също е в клетката. Това означава, че общият брой знаци трябва да е четен. Имаме противоречие.

Тук сме използвали доказателство от противоречие.

5. Рей.

Полуправ или лъч е част от права линия, която се състои от всички точки на тази права линия, лежащи от едната страна на дадената й точка. Тази точка се нарича начална точка на полуправата или началото на лъча. Различните полуправи от една и съща права линия с обща начална точка се наричат ​​комплементарни.

Полуправите са обозначени с малки букви с латински букви... Можете да обозначите полуправа с две букви: начална и друга буква, съответстваща на точка, принадлежаща на полуправата. В този случай отправната точка е поставена на първо място. Например, на фигура 9, а са показани греди AB и AC, които са допълнителни, на фигура 9, b са показани греди MA, MB и греда c.

Следната аксиома отразява основното свойство на отлагането на линейни сегменти.

На всяка полуправа от началната й точка можете да отложите сегмент с дадена дължина и само един.

Пример. Дадени са ви две точки A и B. Колко линии можете да начертаете през точки A и B? Колко лъча съществуват на права AB с начало в точка A, в точка B? Отбележете две точки на линия A B, различни от A и B. Принадлежат ли на отсечка AB?

Решение. 1) Според аксиомата винаги можете да начертаете права линия през точки A и B и само една.

2) На правата АВ с начало в точка А има два лъча, които се наричат ​​допълнителни. По същия начин за точка Б.

3) Отговорът зависи от местоположението на отбелязаните точки. Нека разгледаме възможните случаи (фиг. 10). Ясно е, че в случай а) точките принадлежат на отсечката AB; в случаи б), в) една точка

принадлежи на сегмент, а другият не; в случаи г) и д) точките M и N не принадлежат на отсечката AB.

6. Обиколка. кръг.

Кръгът е форма, която се състои от всички точки от равнината, които са на определено разстояние от дадена точка. Тази точка се нарича център на окръжността.

Разстоянието от точките на окръжността до центъра му се нарича радиус на окръжността. Всеки сегмент, свързващ точка от окръжност с нейния център, се нарича също радиус.

Отсечка, свързваща две точки от окръжност, се нарича хорда. Хордата, минаваща през центъра, се нарича диаметър.

Фигура 11, а показва окръжност с център в точка O. Сегментът OA е радиусът на тази окръжност, BD е хордата на окръжността, CM е диаметърът на окръжността.

Кръгът е фигура, която се състои от всички точки от равнината, които са на разстояние не повече от дадено от дадена точка. Тази точка се нарича център на окръжността, а това разстояние се нарича радиус на окръжността. Границата на окръжността е кръг със същия център и радиус (фиг. 11, б).

Пример. Какво най-голямо числоразлични части, които нямат общи точки, с изключение на техните граници, могат да разделят равнината: а) права линия и окръжност; б) два кръга; в) три кръга?

Решение. Нека изобразим на фигурата случаите на взаимно подреждане на фигури, съответстващи на условието. Нека запишем отговора: а) четири части (фиг. 12, о); б) четири части (фиг. 12, б); в) осем части (фиг. 12, в).

7. Полуравнина.

Нека формулираме още една аксиома на геометрията.

Правата линия разделя равнината на две полуравнини.

На фигура 13 правата линия a разделя равнината на две полуравнини, така че всяка точка от равнината, която не принадлежи на правата o, лежи в една от тях. Този дял има следното свойство: ако краищата на някой отсечка принадлежат на една полуравнина, тогава отсечката не се пресича с права линия; ако краищата на отсечката принадлежат на различни полуравнини, тогава отсечката се пресича с права линия. На фигура 13 точките лежат в една от полуравнините, на които линия a разделя равнината. Следователно отсечката AB не се пресича с правата а. Точки C и D лежат в различни полуравнини. Следователно отсечката CD пресича правата a.

8. Ъгъл. Градусната мярка на ъгъла.

Ъгълът е фигура, която се състои от точка – върха на ъгъла и две различни полуправи, излизащи от тази точка – страните на ъгъла (фиг. 14). Ако страните на ъгъла са допълнителни полулинии, тогава ъгълът се нарича разгънат.

Ъгълът се обозначава или чрез посочване на неговия връх, или чрез посочване на неговите страни, или чрез посочване на три точки; върхове и две точки от страните на ъгъла. Думата „ъгъл понякога се заменя със символа Z.

Ъгълът на фигура 14 може да бъде обозначен по три начина:

Казват, че лъч c минава между страните на ъгъла, ако излиза от неговия връх и пресича сегмент с краища на страните на ъгъла.

На фигура 15 лъч c минава между страните на ъгъла, тъй като пресича сегмент AB.

В случай на плосък ъгъл всеки лъч, излизащ от неговия връх и различен от неговите страни, минава между страните на ъгъла.

Ъглите се измерват в градуси. Ако вземете разширен ъгъл и го разделите на 180 равни ъгъла, тогава градусната мярка на всеки от тези ъгли се нарича градус.

Основните свойства на измерването на ъгли се изразяват в следната аксиома:

Всеки ъгъл има определена степен, по-голяма от нула. Сплесканият ъгъл е 180 °. Градусната мярка на ъгъла е равна на сумата от градусните мерки на ъглите, на които е разделен от всеки лъч, преминаващ между страните му.

Това означава, че ако лъчът c минава между страните на ъгъла, тогава ъгълът е равен на сумата от ъглите

Градусната мярка на ъгъла се намира с помощта на транспортир.

Ъгъл, равен на 90 °, се нарича прав ъгъл. Ъгъл по-малък от 90 ° се нарича остър ъгъл. Ъгъл, по-голям от 90 ° и по-малък от 180 °, се нарича тъп.

Нека формулираме основното свойство на отлагането на ъгли.

От всяка полуправа до дадена полуравнина можете да отложите ъгъл с дадена градусова мярка по-малка от 180 ° и само един.

Помислете за полуправата a. Нека го разширим отвъд началната точка A. Получената права линия разделя равнината на две полуравнини. Фигура 16 показва как с помощта на транспортир да се отдели ъгъл с дадена градусова мярка от 60 ° от полуправата a до горната полуравнина.

Ако два ъгъла се отделят от дадена полуправа в една полуравнина, тогава страната на по-малкия ъгъл, различна от дадената полуправа, минава между страните на по-големия ъгъл.

Нека ъглите, начертани от дадената полуправа и в една полуравнина, и нека ъгълът е по-малък от ъгъла. Теорема 1.2 гласи, че лъч b минава между страните на ъгъла (ac) (фиг. 17).

Симетралата на ъгъла е лъч, който излиза от неговия връх, минава между страните му и разделя ъгъла наполовина. На фигура 18 лъчът OM е ъглополовящата на ъгъла AOB.

В геометрията има понятието плосък ъгъл. Равнинният ъгъл е частта от равнина, ограничена от два различни лъча, излизащи от една точка. Тези лъчи се наричат ​​страни на ъгъла. Има два равнинни ъгъла с тези страни. Те се наричат ​​допълващи. На фигура 19 един от плоските ъгли със страни a и b е засенчен.

Ако равнинен ъгъл е част от полуравнина, тогава неговата степенна мярка е градусната мярка на обикновен ъгъл със същите страни. Ако равнинният ъгъл съдържа полуравнина, тогава градусната му мярка е 360 ° - a, където a е градусната мярка на допълнителния равнинен ъгъл.

Пример. Греда a минава между страните на ъгъл, равен на 120 °. Намерете ъглите, ако техните градусни мерки са 4: 2.

Решение. Лъч a минава между страните на ъгъла, което означава, според основното свойство за измерване на ъгли (виж т. 8)

Тъй като степенните мерки са свързани като 4: 2, тогава

9. Съседни и вертикални ъгли.

Два ъгъла се наричат ​​съседни, ако имат една обща страна, а другите страни на тези ъгли са допълнителни полуправи. На фигура 20 ъглите са съседни.

Сумата от съседни ъгли е 180°.

Теорема 1.3 предполага следните свойства:

1) ако два ъгъла са равни, тогава ъглите, съседни на тях, са равни;

2) ъгъл, съседен на прав ъгъл, е прав ъгъл;

3) ъгъл, съседен на остър, е тъп, а ъгъл, съседен на тъп, е остър.

Два ъгъла се наричат ​​вертикални, ако страните на единия ъгъл са допълващи се полуправи страни на другия. На фигура 21 и ъглите са вертикални.

Вертикалните ъгли са равни.

Очевидно две пресичащи се прави линии образуват съседни и вертикални ъгли. Съседните ъгли се допълват взаимно до 180 °. Ъгловата мярка на по-малката от тях се нарича ъгъл между правите.

Пример. На фигура 21, b ъгълът е 30. ° Какви са ъглите AOK и

Решение. Ъглите COD и AOK са вертикални, следователно, според теорема 1.4, те са равни, тоест ъгълът TYUK, съседен на ъгъла SOD, означава, според теорема 1.3

10. Централни и вписани ъгли.

Централният ъгъл в кръг е плосък ъгъл с връх в центъра му. Частта от окръжност, разположена вътре в плосък ъгъл, се нарича кръгова дъга, съответстваща на този централен ъгъл. Градусната мярка на дъга на окръжност е градусната мярка на съответния централен ъгъл.

На фигура 22 ъгълът AOB е централният ъгъл на окръжността, неговият връх O е центърът на тази окръжност, а страните OA и OB пресичат окръжността. Дъгата AB е част от кръг вътре в централния ъгъл.

Градусната мярка на дъгата AB на фигура 22 е равна на градусната мярка на ъгъла AOB. Градусната мярка на дъгата AB се обозначава AB.

Ъгълът, чийто връх лежи върху окръжността, а страните пресичат този кръг, се нарича вписан в окръжността. Фигура 23 показва вписани ъгли.

Ъгъл, вписан в окръжност, чиито страни минават през две дадени точки от окръжността, е равен на половината от ъгъла между радиусите, изтеглени към тези точки, или допълва тази половина до 180 °.

При доказване на теорема 1.5 е необходимо да се разгледат три различни случая, които са показани на фигура 23: една от страните на вписания ъгъл минава през центъра на окръжността (фигура 23, в); центърът на окръжността лежи във вътрешността на вписания ъгъл (фиг. 23, б); центърът на окръжността лежи извън вписания ъгъл (фиг. 23, в).

От теорема 1. 5 следва следното: всички ъгли, вписани в окръжност, чиито страни минават през две дадени точки на окръжността, а върховете лежат от едната страна на правата линия, свързваща тези точки, са равни; вписаните ъгли, чиито страни минават през краищата на диаметъра на окръжността, са прави.

На фигура 24 страните на вписания ъгъл ABC преминават през краищата на диаметъра AC, следователно

Пример. Точки A, B и C лежат върху окръжност с център O. Намерете ъгъла AOC, ако

Решение. Ъгъл ABC, вписан в окръжност, почива върху дъгата AC, а централният ъгъл на тази окръжност (фиг. 25). , следователно по теорема 1.5 и тъй като ъгълът AOC е централен, неговата степенна мярка е равна на градусната мярка на дъгата AC, т.е.

11. Успоредни прави.

Две прави в равнина се наричат ​​успоредни, ако не се пресичат.

Фигура 26 показва как да използвате квадрат и линийка за чертане тази точкаВ ред 6, успоредно на тази линия a.

За да се обозначи успоредността на правите, се използва символът II. Записът гласи: "Правата a е успоредна на права b".

Аксиомата за паралелизъм изразява основното свойство на успоредните прави.

През точка, която не лежи на дадена права, на равнината може да се проведе най-много една права линия, успоредна на дадената.

Две прави линии, успоредни на третата, са успоредни една на друга.

На фигура 27 правите a и b са успоредни на права c. Теорема 1. 6 гласи, че.

Можете да докажете, че през точка, която не принадлежи на права линия, можете да начертаете права линия, успоредна на дадената. На фигура 28 през точка A, която не принадлежи на b, е проведена права линия a, успоредна на права b.

Сравнявайки това твърдение и аксиомата на паралелите, те стигат до важно заключение: на равнина през точка, която не лежи на дадена права линия, е възможно да се начертае права линия, успоредна на нея, и само една права.

Аксиомата на паралелизма в книгата на Евклид „Началото се наричаше” пети постулат. Древните геометри се опитаха да докажат уникалността на паралела. Тези неуспешни опити продължават над 2000 години, до 19 век.

Големият руски математик Н. И. Лобачевски и независимо от него унгарският математик Й. Бояи показаха, че като се приеме възможността през точка да се проведат няколко прави, успоредни на дадена, е възможно да се конструира друго, също толкова „правилно” не -Евклидова геометрия. Така се ражда геометрията на Лобачевски.

Пример за теорема, която използва концепцията за паралелизъм и нейното доказателство се основава на паралелната аксиома, е теоремата на Талес. Талес от Милет е древногръцки математик, живял през 625-547 г. пр.н.е NS

Ако успоредни прави линии, пресичащи страните на ъгъл, отрязват равни сегменти от едната му страна, тогава те отрязват равни сегменти от другата му страна (теорема на Талес).

Нека точките на пресичане на успоредни прави линии от една от страните на ъгъла и лежат между (фиг. 29). Нека съответните точки на пресичане на тези линии с другата страна на ъгъла. Теорема 1.7 гласи, че ако тогава

Пример 1. Могат ли седем прави да се пресичат в осем точки?

Решение. Те могат. Например, фигура 30 показва седем такива прави линии, три от които са успоредни.

Пример 2. Произволен сегмент от АС е разделен на 6 равни части.

Решение. Нека начертаем сегмент от AC. Нека начертаем от точка A лъч AM, който не лежи на правата AC. На лъча AM от точка А отделяме последователно 6 равни сегмента (фиг. 31). Краищата на сегментите ще бъдат обозначени. Свържете точката със сегмент с точка C и през точките ще начертаем прави линии, успоредни на правата линия. Пресечните точки на тези прави с отсечката AC ще го разделят на 6 равни части (по теорема 1.7).

12. Признаци на успоредност на правите.

Нека AB и CD са две прави. Нека AC е третата линия, пресичаща прави AB и CD (фиг. 32, в). Директният AC по отношение на преките AB и CD се нарича секанс. Правите ъгли, образувани от тези прави ъгли, често се разглеждат по двойки. Двойките ъгли са получили специални имена. Така че, ако точки B и D лежат в една и съща полуравнина спрямо правата AC, тогава ъглите BAC и DCA се наричат ​​вътрешни едностранни (фиг. 32, c). Ако точки B и D лежат в различни полуравнини спрямо правата AC, тогава ъглите BAC и DCA се наричат ​​вътрешни напречно (фиг. 32, б).

Секущата AC образува с прави AB и CD две двойки вътрешни едностранни две двойки вътрешни кръстосано разположени ъгли Фиг. 32, в).

Ако вътрешните напречни ъгли са равни или сумата от вътрешните едностранни ъгли е 180 °, тогава правите линии са успоредни.

На фигура 32, c четири двойки ъгли са номерирани. Теорема 1.8 гласи, че ако или тогава правите c и b са успоредни. Теорема 1.8 също гласи, че ако или, тогава линиите a и b са успоредни.

Теореми 1.6 и 1.8 са критерии за паралелизъм на правите. Обратната теорема на теорема 1.8 също е вярна.

Ако две успоредни прави линии се пресичат от трета права линия, тогава вътрешните кръстосани ъгли са равни, а сумата от вътрешните едностранни ъгли е 180 °.

Пример. Един от вътрешните едностранни ъгли, образуван при пресичането на две успоредни прави линии на третата права линия, е 4 пъти по-голям от другия. На какво са равни тези ъгли?

Решение. Съгласно теорема 1.9, сумата от вътрешните едностранни ъгли за две успоредни прави и секуща е 180 °. Нека обозначим тези ъгли с буквите a и P, тогава a е известно, че a е 4 пъти повече, което означава, че тогава

13. Перпендикулярни прави линии.

Две прави се наричат ​​перпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл (фиг. 33).

Перпендикулярността на правите линии се записва с помощта на символа Записът гласи: "Правата a е перпендикулярна на права b".

Перпендикулярно на дадена права линия е отсечка от права линия, перпендикулярна на дадена, имаща крайна точка на тяхното пресичане. Този край на линията се нарича основа на перпендикуляра.

На фигура 34 перпендикулярът AB е начертан от точка А до права а. Точка B е основата на перпендикуляра.

През всяка точка от правата линия можете да начертаете права линия, перпендикулярна на нея, и само една.

От всяка точка, която не лежи на правата линия, можете да пуснете перпендикуляр на тази права линия и само един.

Дължината на перпендикуляр, спуснат от дадена точка върху права линия, се нарича разстоянието от точка до права линия.

Разстоянието между успоредни прави линии е разстоянието от всяка точка на една права линия до друга права линия.

Нека BA е перпендикуляр, изпуснат от точка на права a, а C - всяка точка от права c, различна от A. Отсечката BC се нарича наклонена, изтеглена от точка B към права a (фиг. 35). Точка C се нарича основа на наклонената. Отсечката AC се нарича наклонена проекция.

Права линия, минаваща през средата на отсечка, перпендикулярна на нея, се нарича перпендикуляр на средната точка.

На фигура 36 правата линия a е перпендикулярна на отсечка AB и минава през точка C - средата на сегмент AB, тоест a е средната перпендикулярна точка.

Пример. Равни отсечки AD и CB, затворени между успоредни прави AC и BD, се пресичат в точка O. Докажете това.

Решение. Да начертаем от точки A до C перпендикуляри на правата BD (фиг. 37). AK = CM като разстоянието между успоредни прави линии, ZAKD и DSLYAV са правоъгълни, те

са равни по хипотенуза и катет (виж T. 1.25), което означава равнобедрен (T. 1.19), което означава, че следва от равенството на триъгълниците AKT) и CTAB, че и след това, т.е. A. AOS е равнобедрен , което означава

14. Допирателна към окръжността. Докосване на окръжности.

Права линия, минаваща през точка от окръжност, перпендикулярна на радиуса, начертан до тази точка, се нарича допирателна. В този случай тази точка на окръжността се нарича точка на допир. На фигура 38 права линия a е начертана през точка A на окръжността, перпендикулярна на радиуса OA. Правата c е допирателна към окръжността. Точка А е точката на допир. Можем също да кажем, че окръжността докосва правата линия a в точка A.

Казват, че две окръжности с обща точка се докосват в тази точка, ако имат обща допирателна линия в тази точка. Допирането на окръжностите се нарича вътрешна, ако центровете на окръжностите лежат от едната страна на общата им допирателна. Допиранието на окръжностите се нарича външна, ако центровете на окръжностите лежат от противоположните страни на тяхната обща

допирателна. На фигура 39, c допирането на окръжностите е вътрешна, а на фигура 39, b - външна.

Пример 1. Построете окръжност с даден радиус, допирателна към дадена права линия в дадена точка.

Решение. Допирателната към окръжността е перпендикулярна на радиуса, изтеглен към допирателната точка. Следователно центърът на желаната окръжност лежи върху перпендикуляра на дадена права линия, минаваща през дадената точка, и се намира от тази точка на разстояние, равно на радиуса. Задачата има две решения - две окръжности, симетрични една спрямо друга спрямо дадена права линия (фиг. 40).

Пример 2. Два кръга с диаметър 4 и 8 см се допират външно. Какво е разстоянието между центровете на тези окръжности?

Решение. Радиусите на окръжностите OA и O, A са перпендикулярни на общата допирателна, минаваща през точка A (фиг. 41). Следователно, вж

15. Триъгълници.

Триъгълник е фигура, която се състои от три точки, които не лежат на една права линия, и три сегмента, които свързват тези точки по двойки. Точките се наричат ​​върхове на триъгълника, а отсечките се наричат ​​страни. Триъгълникът е обозначен от върховете му. Вместо думата „триъгълник“ се използва символът D.

Фигура 42 показва триъгълник ABC; A, B, C - върховете на този триъгълник; A B, BC и AC са неговите страни.

Ъгълът на триъгълника ABC при връх A е ъгълът, образуван от полуправите AB и AC. Определят се и ъглите на триъгълника при върховете B до C.

Ако права линия, която не минава през нито един от върховете на триъгълника, пресича една от неговите страни, тогава тя пресича само една от другите две страни.

Височината на триъгълник, изпуснат от даден връх, се нарича перпендикуляр, изтеглен от този връх към права линия, съдържаща противоположната страна на триъгълника. На фигура 43, в, отсечката AD е височината на остроъгълната A. ABC, а на фигура 43, b основата на височината на точката с тъп ъгъл D - лежи върху продължението на страната BC.

Симетралата на триъгълника е отсечката от ъглополовящата на ъгъла на триъгълника, която свързва върха с точка от противоположната страна. На фигура 44 сегментът AD е ъглополовящата на триъгълник ABC.

Медианата на триъгълник, изтеглена от даден връх, е отсечката, свързваща този връх със средата

противоположната страна на триъгълника. На фигура 45 сегментът AD е медианата на триъгълника

Средната линия на триъгълника е сегментът, който свързва средните точки на двете му страни.

Средната линия на триъгълника, която свързва средните точки на тези две страни, е успоредна и равна на половината от третата страна.

Нека DE - средна линиятриъгълник ABC (фиг. 46).

Теоремата гласи, че.

Неравенството на триъгълника е свойството на разстоянията между три точки, което се изразява със следната теорема:

Каквито и да са трите точки, разстоянието между които и да е две от тези точки не е повече от сбора на разстоянията от тях до третата точка.

Нека три дадени точки. Относителното положение на тези точки може да бъде различно: а) две точки от три или и трите съвпадат, в този случай твърдението на теоремата е очевидно; б) точките са различни и лежат на една права линия (фиг. 47, а), една от тях, например B, лежи между две други, откъдето следва, че всяко от трите разстояния е не повече от сума от другите две; в) точките не лъжат

на една права линия (фиг. 47, б), тогава теорема 1.14 твърди, че.

В случай в) три точки A, B, C са върховете на триъгълника. Следователно във всеки триъгълник всяка страна е по-малка от сбора на другите две страни.

Пример 1. Има ли триъгълник ABC със страни: а); б)

Решение. За страните на триъгълник ABC трябва да са изпълнени следните неравенства:

В случай а) неравенство (2) не е валидно, което означава, че такова подреждане на точките не може да бъде; в случай б) неравенствата са в сила, тоест триъгълникът съществува.

Пример 2. Намерете разстоянието между точки А и разделени от препятствие.

Решение. За да намерим разстоянието, окачваме основата CD и начертаваме прави BC и AD (фиг. 48). Намерете точка M - средата на CD. Извършваме и MPAD. От това следва, че PN е средната линия, т.е.

Чрез измерване на PN не е трудно да се намери AB.

16. Равенство на триъгълници.

За две отсечки се казва, че са равни, ако имат еднаква дължина. Два ъгъла се казват равни, ако имат еднаква ъглова мярка в градуси.

Триъгълниците ABC и се наричат ​​равни, ако

Това се изразява накратко с думи: триъгълниците са равни, ако имат съответните страни и съответните ъгли са равни.

Нека формулираме основното свойство за съществуването на равни триъгълници (аксиомата за съществуването на триъгълник, равен на даден):

Какъвто и да е триъгълникът, има равен триъгълник на дадено място спрямо дадена полуправа.

Има три критерия за равенство на триъгълниците:

Ако две страни и ъгълът между тях на един триъгълник са равни съответно на двете страни и ъгъла между тях на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни (знак за равенство на триъгълниците на двете страни и ъгъла между тях).

Ако страната и прилежащите към нея ъгли на единия триъгълник са равни съответно на страната и ъглите, прилежащи към нея на другия триъгълник, тогава такива триъгълници са равни (знак за равенство на триъгълниците по протежение на страната и съседните ъгли към него).

Ако три страни на един триъгълник са равни, съответно, на три страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни (знак за равенство на триъгълниците на трите страни).

Пример. Точки B и D лежат в различни полуравнини спрямо правата AC (фиг. 49). Известно е, че докажи това

Решение. по условие и тъй като тези ъгли се получават чрез изваждане от равни ъгли BCD и DAB на равни ъгли BC A и DAC. Освен това страната на високоговорителя е обща в посочените триъгълници. Тези триъгълници са равни по страна и ъгли, прилежащи към нея.

17. Равнобедрен триъгълник.

Триъгълник се нарича равнобедрен, ако двете му страни са равни. Тези равни страни се наричат ​​страни, а третата страна се нарича основа на триъгълника.

В триъгълник означава ABC е равнобедрен с основа AC.

В равнобедрен триъгълник ъглите в основата са равни.

Ако два ъгъла в триъгълника са равни, то той е равнобедрен (противоположно на теорема Т. 1.18).

В равнобедрен триъгълник медианата, изтеглена към основата, е ъглополовящата и височината.

Можете също да докажете, че в равнобедрен триъгълник височината, изтеглена към основата, е ъглополовящата и медианата. По същия начин, ъглополовящата равнобедрен триъгълник, изтеглена от върха срещу основата, е медианата и височината.

Триъгълник, в който всички страни са равни, се нарича равностранен.

Пример. В триъгълник ADB ъгълът D е 90 °. В продължението на страната AD има отсечка (точка D лежи между точки A и C) (фиг. 51). Докажете, че триъгълникът ABC е равнобедрен.

Външният ъгъл на триъгълника е равен на сбора от два вътрешни ъгъла, които не са съседни на него.

От теорема 1.22 следва, че външният ъгъл на триъгълника е по-голям от всеки вътрешен ъгъл, който не е съседен на него.

Пример. В триъгълник

Симетралата AD на този триъгълник отрязва от него Намерете ъглите на този триъгълник.

Решение. тъй като AD е ъглополовящата на ъгъл A (вижте подраздел като външния ъгъл по теоремата за сбора на ъглите

19. Правоъгълен триъгълник. Питагорова теорема.

Триъгълник се нарича правоъгълен, ако има прав ъгъл. Тъй като сумата от ъглите на триъгълника е 180 °, тогава правоъгълният триъгълник има само един прав ъгъл. Другите два ъгъла на правоъгълния триъгълник са остри и се допълват до 90°. Страната на правоъгълен триъгълник, противоположна на правия ъгъл, се нарича хипотенуза, другите две страни се наричат ​​катети. A ABC, показана на фигура 54, правоъгълна, права, хипотенуза, CB и BA - катета.

За правоъгълни триъгълници можете да формулирате свои собствени критерии за равенство.

Ако хипотенузата и острия ъгъл на един правоъгълен триъгълник са съответно равни на хипотенузата и острия ъгъл на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни (знак за равенство за хипотенузата и острия ъгъл).

Ако катетът и противоположният ъгъл на един правоъгълен триъгълник са съответно равни на катета и противоположния ъгъл на другия триъгълник, тогава такива триъгълници са равни (знак за равенство в катета и противоположния ъгъл).

Ако хипотенузата и катета на единия правоъгълен триъгълник са съответно равни на хипотенузата и катета на другия триъгълник, тогава такива триъгълници са равни (знак за равенство за хипотенузата и катета).

В правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 ° кракът, противоположен на ъгъла на атома, е половината от шината на хипотенузата.

В триъгълника ABC, показан на фигурата, е права линия, И така, в този триъгълник.

В правоъгълен триъгълник е валидна питагоровата теорема, кръстена на древногръцкия учен Питагор, живял през 6 век. пр.н.е NS

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета (теорема на Питагор).

Нека ABC е даден правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C, катети a и b и хипотенуза c (фиг. 56). Теоремата гласи, че

От теоремата на Питагор следва, че в правоъгълен триъгълник всеки от катетите е по-малък от хипотенузата.

От теоремата на Питагор следва, че ако се начертаят перпендикуляр и наклонена права от една точка, тогава наклонената е по-голяма от перпендикуляра; равни наклонени имат равни проекции; от двете наклонени, по-голям е този с по-голяма проекция.

На фигура 57, от точка O до права линия a, са начертани перпендикулярна OA и наклонена OB, OS и OD, докато Въз основа на горното: а)

Периметърът на правоъгълника KDMA е 18 cm

Пример 3. В кръг с радиус 25 см от едната страна на центъра й са начертани две успоредни хорди с дължина 40 и 30 см. Намерете разстоянието между тези хорди.

Решение. Да начертаем радиуса OK, перпендикулярно на хордите AB и CD, да свържем центъра на окръжността O с точки C, A, D и B (фиг. 60). Триъгълниците COD и AOB са равнобедрени, тъй като (като радиуси); OM и ON са височините на тези триъгълници. По теорема 1.20 всяка от височините е едновременно медиана на съответния триъгълник, т.е.

Триъгълниците OCM и O AN са правоъгълни в тях. ON и ОМ се намират по питагоровата теорема.

20. Кръгове, вписани в триъгълник и описани около триъгълника.

Окръжност се нарича описана около триъгълник, ако минава през всичките му върхове.

Центърът на окръжност, описана около триъгълник, е пресечната точка на перпендикулярите на страните на триъгълника.

На фигура 61 е описан кръг около триъгълник ABC. Центърът на тази окръжност O е пресечната точка на средните перпендикуляри OM, ON и OJT, изтеглени съответно към страните AB, BC и C A.

Кръг се нарича вписан в триъгълник, ако докосва всичките му страни.

Центърът на окръжност, вписана в триъгълник, е пресечната точка на неговите ъглополовящи.

На фигура 62 окръжността е вписана в триъгълник ABC. Центърът на тази окръжност O е пресечната точка на ъглите AO, BO и CO на съответните ъгли на триъгълника.

Пример. В правоъгълен триъгълник катетите са 12 и 16 см. Изчислете радиусите: 1) вписаната окръжност; 2) описаната окръжност.

Решение. 1) Нека е даден триъгълник ABC, в който е центърът на вписаната окръжност (фиг. 63, а). Периметърът на триъгълник ABC е равен на сумата от удвоената хипотенуза и диаметъра на вписаната окръжност (използвайте определението на допирателната към окръжността и равенството на правоъгълни триъгълници AOM и AOK, MOC и LOC по протежение на хипотенузата и крак).

Така, откъдето по питагоровата теорема, т.е.

2) Центърът на окръжност, описана около правоъгълен триъгълник, съвпада със средата на хипотенузата, откъдето радиусът на описаната окръжност е cm (фиг. 63, б).

Тестови въпроси за §1.

Основни свойства на най-простите геометрични фигури.

Въпрос 1.Дайте примери за геометрични фигури.
Отговор:Примери за геометрични фигури: триъгълник, квадрат, кръг.

Въпрос 2.Кои са основните геометрични фигури на равнината?
Отговор:Основните геометрични фигури в равнината са точка и права линия.

Въпрос 3.Как се обозначават точките и линиите?
Отговор:Точките се обозначават с главни латински букви: A, B, C, D,…. Правите линии се обозначават с малки латински букви: a, b, c, d,….
Правата линия може да бъде обозначена от две точки, лежащи върху нея. Например, линия a на фигура 4 може да бъде обозначена AC, а линия b може да бъде обозначена BC. Фиг. 4

Въпрос 4.Формулирайте основните свойства на принадлежащите точки и прави.
Отговор:Каквато и да е правата, има точки, принадлежащи на тази права, и точки, които не й принадлежат.
Можете да начертаете права линия през всякакви две точки и само една.
Въпрос 5.Обяснете какво представлява отсечката с краища в тези точки.
Отговор:Отсечката е част от права линия, която се състои от всички точки на тази права линия, лежащи между две от дадените й точки. Тези точки се наричат ​​краища на линията. Сегментът се обозначава с индикацията на неговите краища. Когато казват или пишат: "сегмент AB", те имат предвид отсечка с краища в точки A и B.

Въпрос 6.Формулирайте основното свойство на разположението на точките по права линия.
Отговор:От трите точки на права линия, една и само една лежи между другите две.

Въпрос 7.Формулирайте основните свойства на измерване на линейни сегменти.
Отговор:Всеки сегмент има определена дължина, по-голяма от нула. Дължината на отсечката е равна на сбора от дължините на частите, на които е разделен от някоя от неговите точки.
Въпрос 8.Как се нарича разстоянието между две дадени точки?
Отговор:Дължината на отсечката AB се нарича разстоянието между точките A и B.
Въпрос 9.Какви са свойствата на разделяне на равнина на две полуравнини?
Отговор:Разделянето на равнина на две полуравнини има следното свойство. Ако краищата на някой сегмент принадлежат на една и съща полуравнина, тогава отсечката не пресича права линия. Ако краищата на отсечката принадлежат на различни полуравнини, тогава сегментът пресича права линия.

Въпрос 10.Формулирайте основното свойство на разположението на точките спрямо права линия върху равнина.
Отговор:Правата линия разделя равнината на две полуравнини.

Въпрос 11.Какво е полуправ или лъч? Кои полуправи се наричат ​​допълнителни?
Отговор:Полуправ или лъч е част от права линия, която се състои от всички точки от тази права линия, лежащи от едната страна на дадената й точка. Тази точка се нарича начална точка на полуправата. Различни полуправи от една и съща права линия с обща начална точка се наричат ​​допълнителни.

Въпрос 12.Как се обозначават полуправите?
Отговор:Полуправите, както и правите, се означават с малки латински букви.
Въпрос 13.Каква форма се нарича ъгъл?
Отговор:Ъгълът е фигура, която се състои от точка - върха на ъгъла - и две различни полуправи, излизащи от тази точка - страните на ъгъла.

Въпрос 14.Как се посочва ъгълът?
Отговор:Ъгълът се обозначава или чрез посочване на неговия връх, или чрез посочване на неговите страни, или чрез посочване на три точки: върха и две точки от страните на ъгъла. Думата "ъгъл" понякога се заменя със знак.
Q.15.Какъв ъгъл се нарича разгънат?
Отговор:Ако страните на ъгъла са допълнителни полулинии на една права линия, тогава ъгълът се нарича разгънат.

Въпрос 16.Обяснете какво означава изразът „Полуправа минава между страните на ъгъла“.
Отговор:Ще кажем, че лъч минава между страните на даден ъгъл, ако излиза от неговия връх и пресича някакъв сегмент с краища на страните на ъгъла.
Въпрос 17.В какви единици се измерват ъглите и с какъв инструмент? Обяснете как се извършва измерването.
Отговор:Ъглите се измерват в градуси с помощта на транспортир.

Въпрос 18.Формулирайте основните свойства на измерването на ъгли.
Отговор:Всеки ъгъл има определена степен, по-голяма от нула. Разширеният ъгъл е 180 °. Градусната мярка на ъгъла е равна на сумата от градусните мерки на ъглите, на които е разделен от всеки лъч, преминаващ между страните му.
Q.19.Формулирайте основните свойства на линиите и ъглите.
Отговор:На всяка полуправа от началната й точка можете да отложите сегмент с дадена дължина и само един. От всяка полуправа до дадена полуравнина можете да отложите ъгъл с дадена градусова мярка по-малка от 180 ° и само един.
Q.20.Какво е триъгълник?
Отговор:Триъгълник е фигура, която се състои от три точки, които не лежат на една права линия, и три сегмента, които свързват тези точки по двойки. Точките се наричат ​​върхове на триъгълника, а отсечките се наричат ​​страни.

Q.21.Какъв е ъгълът на триъгълник при даден връх?
Отговор:Ъгълът на триъгълника ABC при връх A е ъгълът, образуван от полуправите AB и AC. Определят се също ъглите на триъгълника при върхове B и C.

Q 22.Как се наричат ​​отсечките равни?
Отговор:Отсечките се наричат ​​равни, ако дължините им са равни.
Q.23.Кои ъгли се наричат ​​равни?
Отговор:За ъглите се казва, че са равни, ако техните градусни мерки са равни.
Q.24.Кои триъгълници се наричат ​​равни?
Отговор:Триъгълниците се наричат ​​равни, ако съответните им страни са равни и съответните ъгли са равни. В този случай съответните ъгли трябва да лежат срещу съответните страни.
Q 25.Как са отбелязани съответните страни и ъгли при равни триъгълници на фигурата?
Отговор:На чертежа равните сегменти обикновено се отбелязват с една, две или три линии, а равни ъгли - с една, две или три дъги.

Q 26.Обяснете от фигура 23 съществуването на триъгълник, равен на този.
Отговор:Да предположим, че имаме триъгълник ABC и лъч a (фиг. 23, а). Преместете триъгълник ABC така, че неговият връх A да съвпада с началото на лъч a, връх B да пада върху лъч a, а връх C да е в дадената полуравнина спрямо лъч a и неговото продължение. Върховете на нашия триъгълник в тази нова позиция ще бъдат обозначени с A 1, B 1, C 1 (фиг. 23, b).
Триъгълник A 1 B 1 C 1 е равен на триъгълник ABC.
Q 27.Кои прави се наричат ​​успоредни? Какъв знак се използва за обозначаване на успоредност на правите?
Отговор:Две прави се наричат ​​успоредни, ако не се пресичат. За да се обозначи успоредността на правите, се използва знакът ||. а || б.

Q 28.Формулирайте основното свойство на успоредните прави.
Отговор:През точка, която не лежи на дадена права, на равнината може да се проведе най-много една права линия, успоредна на дадената.
Q 29.Дайте пример за теорема.
Отговор:Ако права линия, която не минава през нито един от върховете на триъгълника, пресича една от неговите страни, тогава тя пресича само една от другите две страни.

Сигурни въпроси за §2. Съседни и вертикални ъгли.

Въпрос 1.Какви ъгли се наричат ​​съседни?
Отговор:Два ъгъла се наричат ​​съседни, ако имат една обща страна, а другите страни на тези ъгли са допълнителни полуправи.
На фигура 31 ъглите (a 1 b) и (a 2 b) са съседни. Те имат обща страна b, а страните a 1 и a 2 са допълнителни полуправи.

Въпрос 2.Докажете, че сумата от съседни ъгли е 180 °.
Отговор: Теорема 2.1.Сумата от съседни ъгли е 180°.
Доказателство.Нека ъгълът (a 1 b) и ъгълът (a 2 b) са дадените съседни ъгли (виж фиг. 31). Лъч b минава между страните a 1 и a 2 на развития ъгъл. Следователно, сумата от ъглите (a 1 b) и (a 2 b) е равна на разширения ъгъл, т.е. 180 °. Q.E.D.

Въпрос 3.Докажете, че ако два ъгъла са равни, то съседните до тях ъгли също са равни.
Отговор:

От теоремата 2.1 от това следва, че ако два ъгъла са равни, то прилежащите към тях ъгли са равни.
Да кажем, че ъглите (a 1 b) и (c 1 d) са равни. Трябва да докажем, че ъглите (a 2 b) и (c 2 d) също са равни. Сумата от съседни ъгли е 180°. От това следва, че a 1 b + a 2 b = 180 ° и c 1 d + c 2 d = 180 °. Следователно a 2 b = 180 ° - a 1 b и c 2 d = 180 ° - c 1 d. Тъй като ъглите (a 1 b) и (c 1 d) са равни, получаваме, че a 2 b = 180 ° - a 1 b = c 2 d. От свойството на транзитивност на знака за равенство следва, че a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Въпрос 4.Какъв ъгъл се нарича прав (остър, тъп)?
Отговор:Ъгъл, равен на 90 °, се нарича прав ъгъл. Ъгъл по-малък от 90 ° се нарича остър ъгъл. Ъгъл, по-голям от 90 ° и по-малък от 180 °, се нарича тъп.

Въпрос 5.Докажете, че ъгъл, съседен на прав ъгъл, е прав ъгъл.
Отговор:От теоремата за сбора от съседни ъгли следва, че ъгъл, съседен на прав ъгъл, е прав ъгъл: x + 90 ° = 180 °, x = 180 ° - 90 °, x = 90 °.

Въпрос 6.Какви ъгли се наричат ​​вертикални?
Отговор:Два ъгъла се наричат ​​вертикални, ако страните на единия ъгъл са допълващи се полуправи страни на другия.

Въпрос 7.Докажете, че вертикалните ъгли са равни.
Отговор: Теорема 2.2. Вертикалните ъгли са равни.
Доказателство.Нека (a 1 b 1) и (a 2 b 2) са дадените вертикални ъгли (фиг. 34). Ъгълът (a 1 b 2) е съседен на ъгъла (a 1 b 1) и на ъгъла (a 2 b 2). Следователно, чрез теоремата за сбора от съседни ъгли, заключаваме, че всеки от ъглите (a 1 b 1) и (a 2 b 2) допълва ъгъла (a 1 b 2) до 180 °, т.е. ъглите (a 1 b 1) и (a 2 b 2) са равни. Q.E.D.

Въпрос 8.Докажете, че ако в пресечната точка на две прави линии един от ъглите е права, то другите три ъгъла също са прави.
Отговор:Да предположим, че правите AB и CD се срещат една с друга в точка O. Да предположим, че ъгълът AOD е 90 °. Тъй като сумата на съседните ъгли е 180 °, получаваме, че AOC = 180 ° -AOD = 180 ° - 90 ° = 90 °. Ъгълът COB е вертикален спрямо ъгъла AOD, така че те са равни. Тоест ъгълът на COB = 90 °. COA е вертикален спрямо BOD, така че те са равни. Тоест ъгълът на BOD е 90 °. По този начин всички ъгли са равни на 90 °, тоест всички са прави. Q.E.D.

Въпрос 9.Кои прави линии се наричат ​​перпендикулярни? Какъв знак се използва за обозначаване на перпендикулярността на правите линии?
Отговор:Две прави се наричат ​​перпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл. Перпендикулярността на правите линии се обозначава с ⊥ .. Запис а⊥бгласи: "Правата a е перпендикулярна на права b".

Въпрос 10.Докажете, че през всяка точка от права линия можете да начертаете права линия, перпендикулярна на нея, и само една.
Отговор: Теорема 2.3.През всяка права линия можете да начертаете права линия, перпендикулярна на нея, и само една.
Доказателство.Нека a е дадена права и A е дадена точка от нея. Да означим с a 1 една от полуправите на правата a с начална точка A (фиг. 38). Нека оставим настрана ъгъла (a 1 b 1), равен на 90 ° от полуправата a 1. Тогава правата, съдържаща лъча b 1, ще бъде перпендикулярна на правата линия a.

Да предположим, че има друга права, също минаваща през точка А и перпендикулярна на права а. Нека c 1 означава полуправата на тази права, която лежи в същата полуравнина с лъча b 1. Ъглите (a 1 b 1) и (a 1 c 1), всеки равен на 90 °, се нанасят в една полуравнина от полуправата a 1. Но от полуправата a 1 в тази полуравнина може да се отложи само един ъгъл, равен на 90 °. Следователно не трябва да има друга права линия, минаваща през точка А и перпендикулярна на правата а. Теоремата е доказана.

Въпрос 11.Какво е перпендикуляр на права?
Отговор:Перпендикулярно на дадена права линия е отсечка от права линия, перпендикулярна на дадена, която има един от краищата си пресечна точка. Този край на отсечката се нарича основаперпендикулярно.

Въпрос 12.Обяснете какво е доказателството за противното.
Отговор:Методът на доказване, който използвахме в теорема 2.3, се нарича доказателство от противоречие. Този начин на доказване е, че първо правим предположение, противоположно на това, което твърди теоремата. Тогава чрез разсъждения, опирайки се на аксиомите и доказаните теореми, стигаме до извод, който противоречи или на условието на теоремата, или на една от аксиомите, или на доказаната по-рано теорема. На тази основа заключаваме, че нашето предположение е неправилно, което означава, че твърдението на теоремата е вярно.

Въпрос 13.Какво се нарича бисектриса на ъгъл?
Отговор:Симетралата на ъгъла е лъч, който излиза от върха на ъгъла, минава между страните му и разделя ъгъла наполовина.

Тестови въпроси за § 3.Признаци за равенство на триъгълници.

Въпрос 1.Докажете първия критерий за равенство на триъгълниците. Какви аксиоми се използват при доказателството на теорема 3.1?
Отговор: Първият критерий за равенство на триъгълниците е теорема 3.1. (знак за равенство на триъгълниците на двете страни и ъгъла между тях). Ако две страни и ъгълът между тях на един триъгълник са равни съответно на двете страни и ъгъла между тях на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са равни.
Доказателство.Нека триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 имат ъгъл A = ъгъл A 1, AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 (фиг. 44). Ориз. 44.
Нека докажем, че триъгълниците са равни. Нека A 1 B 2 C 2 е триъгълник, равен на триъгълник ABC с връх B 2 на лъч A 1 B 1 и връх C 2 в същата полуравнина спрямо правата линия A 1 B 1, където върхът C 1 лежи (фиг. 45, а). Тъй като A 1 B 1 = A 1 B 2, върхът B 2 съвпада с върха B 1 (фиг. 45, b). Тъй като ъгълът B 1 A 1 C 1 = ъгъл B 2 A 1 C 2, то лъчът A 1 C 2 съвпада с лъча A 1 C 1 (фиг. 45, c). Тъй като A 1 C 1 = A 1 C 2, върхът C 2 съвпада с върха C 1 (фиг. 45, d).
И така, триъгълникът A 1 B 1 C 1 съвпада с триъгълника A 1 B 2 C 2, което означава, че е равен на триъгълника ABC. Теоремата е доказана.
В началото на доказателството начертайте триъгълник A 1 B 2 C 2 равен на триъгълник ABC с връх B 2 върху лъч A 1 B 1 и връх C 2 в същата полуравнина спрямо правата линия A 1 B 1, където връх C 1 лежи (фиг. 45, а ). Такъв триъгълник съществува според аксиомата за съществуването на триъгълник, равен на дадения (какъвто и да е триъгълникът, има равен триъгълник на дадено място спрямо дадената полуправа).
Тогава съвпадението на върховете B 1 и B 2 се твърди на базата, че A 1 B 1 = A 1 B 2. Тук използваме аксиомата за отлагане на сегменти (на всяка полуправа от началната й точка можете да отложите сегмент с дадена дължина и само един).
Освен това, съвпадението на лъчите A 1 C 2 и A 1 C 1 се твърди на основание, че ∠B 2 A 1 C 1 = ∠B 2 A 1 C 2. Тук използваме аксиомата за отлагане на ъгли (от всяка полуправа към дадена полуравнина можете да отложите ъгъл с дадена градусова мярка по-малка от 180 ° и само една). Накрая се потвърждава съвпадението на върховете C 1 и C 2, тъй като A 1 C 1 = A 2 C 2. Тук отново използваме аксиомата за отлагане на сегменти (на всяка полуправа от началната й точка може да се отложи сегмент с дадена дължина и само един).
И така, при доказателството на теорема 3.1 използваме аксиомите за отлагане на отсечки и ъгли и аксиомата за съществуването на триъгълник, равен на даден.

Въпрос 2.Формулирайте и докажете втория критерий за равенство на триъгълниците.
Отговор: Вторият критерий за равенство на триъгълниците е теорема 3.2 (критерият за равенство на триъгълници по една страна и съседни ъгли). Ако страната и прилежащите към нея ъгли на единия триъгълник са равни съответно на страната и прилежащите към нея ъгли на другия триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.
Доказателство.Нека ABC и A 1 B 1 C 1 са два триъгълника с AB = A 1 B 1, ъгъл A = ъгъл A 1 и ъгъл B = ъгъл B 1 (фиг. 47). Нека докажем, че триъгълниците са равни.
Нека A 1 B 2 C 2 е триъгълник, равен на триъгълник ABC, с връх B 2 върху лъча A 1 B 1 и връх C 2 в същата полуравнина спрямо правата линия A 1 B 1, където върхът C 1 лежи .
Тъй като A 1 B 2 = A 1 B 1, върхът B 2 съвпада с върха B 1. Тъй като ъгъл B 1 A 1 C 2 = ъгъл B 1 A 1 C 1 и ъгъл A 1 B 1 C 2 = ъгъл A 1 B 1 C 1, то лъч A 1 C 2 съвпада с лъч A 1 C 1 и лъч B 1 C 2 съвпада с лъч B 1 C 1. От това следва, че върхът C 2 съвпада с връх C 1.
И така, триъгълникът A 1 B 1 C 1 съвпада с триъгълника A 1 B 2 C 2, което означава, че е равен на триъгълника ABC. Теоремата е доказана.

Въпрос 3.Кой триъгълник се нарича равнобедрен? Кои страни на равнобедрен триъгълник се наричат ​​странични страни? Коя страна се нарича основа?
Отговор:Триъгълник се нарича равнобедрен, ако двете му страни са равни. Тези равни страни се наричат ​​страни, а третата страна се нарича основа на триъгълника.

Въпрос 4.Докажете, че ъглите в основата са равни в равнобедрен триъгълник.
Отговор: Теорема 3.3 (свойство на ъглите на равнобедрен триъгълник).В равнобедрен триъгълник ъглите в основата са равни.
Доказателство.Нека ABC е равнобедрен триъгълник с основа AB (фиг. 48). Нека докажем, че неговият ъгъл A = ъгъл B.

Триъгълник CAB е равен на триъгълник CBA чрез първата функция за равенство на триъгълниците. Наистина, CA = CB, CB = CA, ъгъл C = ъгъл C. От равенството на триъгълниците следва, че ъгъл A = ъгъл B. Теоремата е доказана.

Въпрос 5.Кой триъгълник се нарича равностранен?
Отговор:Триъгълник, в който всички страни са равни, се нарича равностранен.

Въпрос 6.Докажете, че ако триъгълникът има два равни ъгъла, тогава той е равнобедрен.
Отговор: Теорема 3.4 (знак на равнобедрен триъгълник).Ако два ъгъла в триъгълника са равни, тогава той е равнобедрен.
Доказателство.Нека ABC е триъгълник, в който ъгъл A = ъгъл B (фиг. 50). Нека докажем, че е равнобедрен с основа AB.

Триъгълник ABC е равен на триъгълник BAC във втория критерий за равенство на триъгълника. Наистина, AB = BA, ъгъл B = ъгъл A, ъгъл A = ъгъл B. От равенството на триъгълниците следва, че AC = BC. Следователно триъгълникът ABC е равнобедрен по дефиниция. Теоремата е доказана.

Въпрос 7.Обяснете каква е обратната теорема. Дай пример. Вярно ли е обратното за всяка теорема?
Отговор:Теорема 3.4 се нарича обратното на теорема 3.3. Заключението на теорема 3.3 е условие на теорема 3.4. А условието на теорема 3.3 е заключението на теорема 3.4. Не всяка теорема има обратното, тоест ако дадена теорема е вярна, тогава обратната теорема може да не е вярна. Нека обясним това с примера на теоремата за вертикалните ъгли. Тази теорема може да бъде формулирана по следния начин: ако два ъгъла са вертикални, тогава те са равни. Обратната на нея теорема би била следната: ако два ъгъла са равни, тогава те са вертикални. И това, разбира се, не е вярно. Два равни ъгъла изобщо не трябва да са вертикални.

Въпрос 8.Каква е височината на триъгълник?
Отговор:Височинана триъгълник, изпуснат от даден връх, се нарича перпендикуляр, проведен от този връх към права линия, която съдържа противоположната страна на триъгълника (фиг. 51, а-б).

Въпрос 9.Каква е ъглополовящата на триъгълник?
Отговор:Бисектрисана триъгълник, изтеглен от даден връх, се нарича отсечка от ъглополовящата на ъгъла на триъгълника, свързваща този връх с точка от противоположната страна (фиг. 52, а).

Въпрос 10.Каква е медианата на триъгълник?
Отговор:Медианана триъгълник, изтеглен от даден връх, се нарича отсечка, свързваща този връх със средата на противоположната страна на триъгълника (фиг. 52, б).

Въпрос 11.Докажете, че в равнобедрен триъгълник медианата на основата е ъглополовящата и височината.
Отговор: Теорема 3.5 (свойство на медиана на равнобедрен триъгълник).В равнобедрен триъгълник медианата, изтеглена към основата, е ъглополовящата и височината.
Доказателство.Нека ABC е даден равнобедрен триъгълник с основа AB и CD медианата, изтеглена към основата (фиг. 53). Триъгълниците CAD и CBD са равни по първия знак за равенство на триъгълниците. (Страните AC и BC са равни, защото триъгълникът ABC е равнобедрен. CAD и CBD са равни като ъгли в основата на равнобедрен триъгълник. Страната AD и BD са равни, защото D е средата на отсечката AB.)
Равенството на триъгълниците предполага равенство на ъглите: ъгъл ACD = ъгъл BCD, ъгъл ADC = ъгъл BDC. Тъй като ъглите ACD и BCD са равни, CD е бисектриса. Тъй като ъглите ADC и BDC са съседни и равни, те са прави, така че CD е височината на триъгълника.

Въпрос 12.Докажете третия критерий за равенство на триъгълниците.
Отговор: Третият критерий за равенство на триъгълниците е Теорема 3.6 (критерият за равенство на триъгълниците на трите страни). Ако три страни на един триъгълник са равни, съответно, на три страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

Доказателство.Нека ABC и A 1 B 1 C 1 са два триъгълника с AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 (фиг. 55). Необходимо е да се докаже, че триъгълниците са равни.
Да кажем, че триъгълниците не са равни. Тогава те имат ъгъл A не = ъгъл A 1, ъгъл B не = ъгъл B 1, ъгъл C не = ъгъл C 1. В противен случай те биха били равни на първо място.
Нека A 1 B 1 C 2 е триъгълник, равен на триъгълник ABC, чийто връх C 2 лежи в същата полуравнина с връх C 1 спрямо правата A 1 B 1 (виж фиг. 55).
Нека D е средата на отсечката C 1 C 2. Триъгълниците A 1 C 1 C 2 и B 1 C 1 C 2 са равнобедрени с обща основа C 1 C 2. Следователно техните медиани A 1 D и B 1 D са височини. Следователно, линиите A 1 D и B 1 D са перпендикулярни на правата C 1 C 2. Прави A 1 D и B 1 D не съвпадат, тъй като точки A 1, B 1, D не лежат на една права линия. Но през точка D на права линия C 1 C 2 може да се проведе само една права линия, перпендикулярна на нея. Стигнахме до противоречие. Теоремата е доказана.

Сигурни въпроси за §4.Сборът от ъглите на триъгълник.

Въпрос 1.Докажете, че две прави, успоредни на третата, са успоредни.
Отговор: Теорема 4.1. Две прави линии, успоредни на третата, са успоредни.
Доказателство.Нека правите a и b са успоредни на права c. Да предположим, че a и b не са успоредни (Фигура 69). Тогава те не се пресичат в някаква точка C. Следователно през точка C има две прави, успоредни на правата c. Но това е невъзможно, тъй като през точка, която не лежи на дадена права, не може да се проведе повече от една права линия, успоредна на дадена. Теоремата е доказана.

Въпрос 2.Обяснете кои ъгли се наричат ​​вътрешни едностранни. Какви ъгли се наричат ​​кръстосани?
Отговор:Двойките ъгли, които се образуват в пресечната точка на правите AB и CD на секущата AC, имат специални имена.
Ако точки B и D лежат в една и съща полуравнина спрямо правата AC, тогава ъглите BAC и DCA се наричат ​​вътрешни едностранни (фиг. 71, а).
Ако точки B и D лежат в различни полуравнини спрямо правата AC, тогава ъглите BAC и DCA се наричат ​​кръстосани (фиг. 71, б).

Въпрос 3.Докажете, че ако вътрешните кръстосани ъгли на една двойка са равни, тогава кръстосано разположените вътрешни ъгли на другата двойка също са равни, а сумата от вътрешните едностранни ъгли на всяка двойка е 180 °.
Отговор:Секущата AC образува с прави линии AB и CD две двойки вътрешни едностранни и две двойки вътрешни кръстосани ъгли. Вътрешните кръстосани ъгли на една двойка, например ъгъл 1 и ъгъл 2, са в съседство с вътрешните кръстосани ъгли на друга двойка: ъгъл 3 и ъгъл 4 (фиг. 72). Ориз. 72

Следователно, ако вътрешните напречно разположени ъгли на едната двойка са равни, тогава кръстосано разположените вътрешни ъгли на другата двойка също са равни.
Двойка кръстосани вътрешни ъгли, например ъгъл 1 и ъгъл 2, и двойка вътрешни едностранни ъгли, например ъгъл 2 и ъгъл 3, имат един общ ъгъл - ъгъл 2, а другите два ъгъла са съседни: ъгъл 1 и ъгъл 3.
Следователно, ако вътрешните ъгли, лежащи напречно, са равни, тогава сумата от вътрешните ъгли е 180 °. И обратно: ако сумата от вътрешните напречно лежащи ъгли е 180 °, тогава вътрешните напречно разположени ъгли са равни. Q.E.D.

Въпрос 4.Докажете критерий за успоредност на правите.
Отговор: Теорема 4.2 (критерий за успоредност на правите).Ако вътрешните напречни ъгли са равни или сумата от вътрешните едностранни ъгли е 180 °, тогава правите линии са успоредни.
Доказателство.Нека правите a и b образуват със секасата AB, равни вътрешни кръстосани ъгли (фиг. 73, а). Да предположим, че правите a и b не са успоредни, което означава, че се пресичат в някаква точка C (фиг. 73, b). Ориз. 73

Секущата AB разделя равнината на две полуравнини. Един от тях съдържа точка C. Построете триъгълник BAC 1, равен на триъгълник ABC, с връх C 1 в другата полуравнина. По хипотеза кръстосано разположените вътрешни ъгли за успоредни a, b и секуща AB са равни. Тъй като съответните ъгли на триъгълници ABC и BAC 1 с върхове A и B са равни, те съвпадат с вътрешните ъгли, лежащи кръстосани. Следователно правата AC 1 съвпада с права a, а правата BC 1 съвпада с права b. Оказва се, че две различни прави a и b минават през точки C и C 1. Това е невъзможно. Следователно, правите a и b са успоредни.
Ако правите a и b и секущата AB имат сумата от вътрешните едностранни ъгли, равна на 180 °, тогава, както знаем, вътрешните ъгли, лежащи напречно, са равни. Следователно, според доказаното по-горе, правите a и b са успоредни. Теоремата е доказана.

Въпрос 5.Обяснете кои ъгли се наричат ​​съответни ъгли. Докажете, че ако вътрешните ъгли, лежащи напречно, са равни, тогава съответните ъгли също са равни и обратно.

Отговор:Ако един ъгъл на двойка кръстосано разположени вътрешни ъгли се замени с вертикален, тогава ще се получи двойка ъгли, които се наричат ​​съответните ъгли на тези прави линии със секуща. Което трябваше да бъде обяснено.
От равенството на вътрешните ъгли, лежащи напречно, следва равенството на съответните ъгли и обратно. Да предположим, че имаме две успоредни прави линии (тъй като според условието вътрешните напречно лежащи ъгли са равни) и секуща, които образуват ъгли 1, 2, 3. Ъглите 1 и 2 са равни като кръстосано разположени вътрешни ъгли. И ъгли 2 и 3 са равни като вертикални. Получаваме: ∠1 = ∠2 и ∠2 = ∠3. От свойството на транзитивност на знака за равенство следва, че ∠1 = ∠3.

3. Обратното твърдение се доказва по подобен начин.
Това дава индикация за успоредността на правите линии при съответните ъгли. А именно: правите са успоредни, ако съответните ъгли са равни. Q.E.D.

Въпрос 6.Докажете, че може да се проведе успоредна права през точка, която не лежи на дадената права. Колко линии, успоредни на дадена права, могат да бъдат проведени през точка, която не лежи на тази права?

Отговор:Проблем (8). Дадени са права AB и точка C, която не лежи на тази права. Докажете, че през точка C можете да начертаете права, успоредна на права AB.
Решение. Линия AC разделя равнината на две полуравнини (фиг. 75). Точка Б се намира в един от тях. Нека отделим ъгъла ACD от полуправата CA към другата полуравнина, който е равен на ъгъла CAB. Тогава правите AB и CD ще бъдат успоредни. Наистина, за тези прави линии и секаса AC, ъглите BAC и DCA са кръстосани вътрешни ъгли. И тъй като са равни, правите AB и CD са успоредни. Q.E.D. Сравнявайки постановката на задача 8 и аксиома IX (основното свойство на успоредните прави), стигаме до важно заключение: през точка, която не лежи на тази права, можете да начертаете права, успоредна на нея, и само една.

Въпрос 7.Докажете, че ако две прави пресичат третата права, тогава вътрешните ъгли, лежащи напречно, са равни, а сумата от вътрешните едностранни ъгли е 180 °.

Отговор: Теорема 4.3(обратно на теорема 4.2). Ако две успоредни прави линии пресичат третата права линия, тогава вътрешните ъгли, лежащи напречно, са равни, а сумата от вътрешните едностранни ъгли е 180 °.
Доказателство.Нека a и b са успоредни прави и c е права, пресичаща ги в точки A и B. Начертайте линия a 1 през точка A, така че вътрешните кръстосани ъгли, образувани от секущата c с прави a 1 и b, са равни ( Фиг. 76). Въз основа на успоредността на правите правите a 1 и b са успоредни. И тъй като само една права линия минава през точка А, успоредна на правата b, то правата a съвпада с правата a 1. Това означава, че вътрешните кръстосани ъгли, образувани от секущата с успоредни прави линии a и b, са равни. Теоремата е доказана.

Въпрос 8.Докажете, че две прави, перпендикулярни на третата, са успоредни. Ако една права е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна на другата.
Отговор:От теорема 4.2 следва, че две прави, перпендикулярни на третата, са успоредни.
Да предположим, че всякакви две прави са перпендикулярни на третата линия. Това означава, че тези линии се пресичат с третата линия под ъгъл, равен на 90 °. От свойството на ъглите, образувани при пресичането на успоредни прави със секуща, следва, че ако една права е перпендикулярна на една от успоредните прави, тогава тя е перпендикулярна на другата.

Въпрос 9.Докажете, че сумата от ъглите на триъгълник е 180 °.

Отговор: Теорема 4.4.Сумата на ъглите на триъгълника е 180°.
Доказателство.Нека ABC е даден триъгълник. Начертайте права линия през върха B, успоредна на правата AC. Отбелязваме точка D върху нея, така че точките A и D да лежат от противоположните страни на правата BC (фиг. 78). Ъглите DBC и ACB са равни като вътрешни кръстосани ъгли, образувани от секущата BC с успоредни прави AC и BD. Следователно сумата от ъглите на триъгълника при върховете B и C е равна на ъгъла ABD.
И сумата от трите ъгъла на триъгълника е равна на сумата от ъглите ABD и BAC. Тъй като тези ъгли са вътрешни едностранни за успоредни AC и BD и секуща AB, тяхната сума е 180 °. Теоремата е доказана.

Въпрос 10.Докажете, че всеки триъгълник има поне два остри ъгъла.
Отговор:Наистина, нека приемем, че триъгълникът има само един остър ъгъл или изобщо няма остри ъгли. Тогава този триъгълник има два ъгъла, всеки от които е най-малко 90 °. Сумата от тези два ъгъла е не по-малка от 180 °. И това е невъзможно, тъй като сумата от всички ъгли на триъгълника е 180 °. Q.E.D.

Въпрос 11.Какъв е външният ъгъл на триъгълник?
Отговор:Външният ъгъл на триъгълника при даден връх е ъгълът, съседен на ъгъла на триъгълника при този връх (фиг. 79).

Въпрос 12.Докажете, че външният ъгъл на триъгълник е равен на сумата от два вътрешни ъгъла, които не са съседни на него.

Отговор: Теорема 4.5.Външният ъгъл на триъгълника е равен на сбора от два вътрешни ъгъла, които не са съседни на него.
Доказателство.Нека ABC е даден триъгълник (фиг. 80). Според теоремата за сбора от ъглите на триъгълник, ∠A + ∠B + ∠C = 180 °. Оттук следва, че ∠A + ∠B = 180 ° - ∠C. Дясната страна на това равенство съдържа градусната мярка на външния ъгъл на триъгълника при връх C. Теоремата е доказана.

Въпрос 13.Докажете, че външният ъгъл на триъгълника е по-голям от всеки вътрешен ъгъл, който не е в съседство с него.
Отговор:От теорема 4.5 следва, че външният ъгъл на триъгълника е по-голям от всеки вътрешен ъгъл, който не е съседен на него.

Въпрос 14.Кой триъгълник се нарича правоъгълен?
Отговор:Триъгълник се нарича правоъгълен, ако има прав ъгъл.

Q.15.Каква е сумата от острите ъгли на правоъгълен триъгълник?
Отговор:Тъй като сумата от ъглите на триъгълника е 180 °, тогава правоъгълният триъгълник има само един прав ъгъл. Другите два ъгъла на правоъгълния триъгълник са остри. Сумата от острите ъгли на правоъгълен триъгълник е 180° - 90° = 90°.

Въпрос 16.Коя страна на правоъгълен триъгълник се нарича хипотенуза? Кои страни се наричат ​​крака?

Отговор:Страната на правоъгълен триъгълник, противоположна на правия ъгъл, се нарича хипотенуза, другите две страни се наричат ​​катети (фиг. 82).

Въпрос 17.Формулирайте знака за равенство на правоъгълни триъгълници по хипотенузата и катета.

Отговор:Ако хипотенузата и катета на един правоъгълен триъгълник са съответно равни на хипотенузата и катета на другия триъгълник, тогава тези триъгълници са равни.

Въпрос 18.Докажете, че от всяка точка, която не лежи на дадена права, можете да пуснете перпендикуляр на тази права, и то само един.

Отговор: Теорема 4.6.От всяка точка, която не лежи на тази права, можете да пуснете перпендикуляр на тази права и само един.
Доказателство.Нека a е дадена права, а A точка, която не лежи върху нея (фиг. 85). Нека начертаем перпендикулярна линия през някаква точка от права линия. Сега нека начертаем права b, успоредна на нея през точка A. Тя ще бъде перпендикулярна на права а, тъй като правата а, перпендикулярна на една от успоредните прави, е перпендикулярна на другата. Отсечката AB на права b е перпендикулярът, начертан от точка A към права a.
Нека докажем единствеността на перпендикуляра AB. Да кажем, че има друг перпендикулярен AC. Тогава триъгълникът ABC ще има два прави ъгъла. А това, както знаем, е невъзможно. Теоремата е доказана.

Q.19.Как се нарича разстоянието от точка до права?
Отговор:Дължината на перпендикуляр, спуснат от дадена точка върху права линия, се нарича разстоянието от точка до права линия.

Q.20.Обяснете какво е разстоянието между успоредните прави.
Отговор:Разстоянието между успоредни прави линии е разстоянието от всяка точка на една права линия до друга права линия.

Сигурни въпроси за §5. Геометрични конструкции.

Въпрос 1.Какво е окръжност, център на окръжност, радиус?
Отговор:Кръгът е форма, която се състои от всички точки от равнината, които са на еднакво разстояние от дадена точка. Тази точка се нарича център на окръжността. Разстоянието от точките на окръжността до центъра му се нарича радиус. Всеки сегмент, свързващ точка от окръжност с нейния център, се нарича също радиус.

Въпрос 2.Какво е хорда на кръг? Каква хорда се нарича диаметър?
Отговор:Отсечка, свързваща две точки от окръжност, се нарича хорда. Хордата, минаваща през центъра, се нарича диаметър.

Въпрос 3.За коя окръжност се казва, че е описана около триъгълник?
Отговор:Окръжност се нарича описана около триъгълник, ако минава през всичките му върхове.

Въпрос 4.Докажете, че центърът на окръжността, описана около триъгълника, лежи в пресечната точка на перпендикулярите на страните на триъгълника.
Отговор: Теорема 5.1.Центърът на окръжност, описана около триъгълник, е пресечната точка на перпендикулярите на страните на триъгълника, начертана през средните точки на тези страни.
Доказателство.Нека ABC е даден триъгълник и O центърът на окръжност, описана около него (фиг. 93). Триъгълникът AOC е равнобедрен: страните му OA и OC са равни като радиуси. Средната OD на този триъгълник е и неговата височина. Следователно центърът на окръжността лежи върху права линия, перпендикулярна на страната AC и минаваща през нейната среда. По същия начин се доказва, че центърът на окръжността лежи върху перпендикулярите на другите две страни на триъгълника. Теоремата е доказана.

Въпрос 5.Коя права се нарича допирателна към окръжността?
Отговор:Права линия, минаваща през точка от окръжност, перпендикулярна на радиуса, начертан до тази точка, се нарича допирателна. В този случай тази точка на окръжността се нарича точка на допир.

Въпрос 6.Какво означава: кръговете се допират в дадена точка?
Отговор:Казват, че две окръжности с обща точка се допират в тази точка, ако имат обща допирателна линия в тази точка (фиг. 97).

Въпрос 7.Коя допирателна точка на окръжностите се нарича външна, която се нарича вътрешна?
Отговор:Допирателната на окръжностите се нарича вътрешна, ако центровете на окръжностите лежат от едната страна на общата им допирателна (фиг. 97, а). Допирателната на окръжностите се нарича външна, ако центровете на окръжностите лежат от противоположните страни на общата им допирателна (фиг. 97, б).

Въпрос 8.Коя окръжност се нарича вписана в триъгълник?
Отговор:Кръг се нарича вписан в триъгълник, ако докосва всичките му страни.

Въпрос 9.Докажете, че центърът на окръжност, вписана в триъгълник, лежи в пресечната точка на неговите ъглополовящи.
Отговор: Теорема 5.2.Центърът на окръжност, вписана в триъгълник, е пресечната точка на неговите ъглополовящи.
Доказателство.Нека ABC е даден триъгълник, O центърът на вписаната окръжност, D, E и F точките на допиране на окръжността със страните (фиг. 98). Правоъгълни триъгълници AOD и AOE са равни по хипотенуза и катет. Те имат обща хипотенуза AO, а катетите OD и OE са равни като радиуси. Равенството на триъгълниците предполага равенство на ъглите OAD и OAE. А това означава, че точката O лежи върху ъглополовящата на триъгълника, изтеглена от връх A. По същия начин се доказва, че точката O лежи върху другите две симетрали на триъгълника. Теоремата е доказана.

Въпрос 10.Обяснете как да нарисувате триъгълник от три страни.
Отговор: Задача 5.1.Построете триъгълник с дадените страни a, b, c (фиг. 99, а).
Решение.С помощта на линийка начертайте произволна линия и маркирайте върху нея произволна точка B (фиг. 99, б). С решение на компаса, равно на a, описваме окръжност с център B и радиус a. Нека C е точката на нейното пресичане с правата. Сега, с отвор на компаса, равен на c, ние описваме окръжност от центъра B, а с отвор на компаса, равен на b, описваме окръжност от центъра C. Нека A е пресечната точка на тези окръжности. Нека начертаем отсечки AB и AC. Триъгълник ABC има страни, равни на a, b, c. Което трябваше да бъде обяснено.

Въпрос 11.Обяснете как да отложите ъгъл, равен на този ъгъл от дадена полуправа към дадена полуравнина.
Отговор: Задача 5.2.Отделете от дадената полуправа към дадената полуравнина ъгъла, равен на дадения ъгъл.
Решение.Нека начертаем произволна окръжност с център във върха A на даден ъгъл (фиг. 100, а). Нека B и C са точките на пресичане на окръжността със страните на ъгъла. С радиус AB начертайте окръжност с център в точка O - началната точка на тази полуправа (фиг. 100, б). Точката на пресичане на тази окръжност с тази полуправа ще бъде обозначена с B 1. Нека опишем окръжност с център B 1 и радиус BC. Точката на пресичане C 1 на построените окръжности в посочената полуравнина лежи от страната на търсения ъгъл. За доказателството е достатъчно да се отбележи, че триъгълниците ABC и OB 1 C 1 са равни като триъгълници със съответно равни страни... Ъглите A и O са съответните ъгли на тези триъгълници. Което трябваше да бъде обяснено.

Въпрос 12.Обяснете как да намалите наполовина този ъгъл.
Отговор: Задача 5.3.Построете ъглополовящата на дадения ъгъл.
Решение.От върха A на този ъгъл, както от центъра, ние описваме окръжност с произволен радиус (фиг. 101). Нека B и C са точките на нейното пресичане със страните на ъгъла. От точки B и C описваме окръжности със същия радиус. Нека D е тяхната пресечна точка, различна от A. Начертайте полуправата AD. Греда AD е ъглополовяща, тъй като разполовява ъгъла BAC. Това следва от равенството на триъгълниците ABD и ACD, за които ъглите DAB и DAC съответстват. Което трябваше да бъде обяснено.

Въпрос 13.Обяснете как да разделите сегмент от линия наполовина.
Отговор: Задача 5.4.Разделете сегмента наполовина.
Решение.Нека AB е даден сегмент (фиг. 102). От точки A и B с радиус AB описваме окръжности. Нека C и C 1 са пресечните точки на тези окръжности. Те лежат в различни полуравнини спрямо правата AB. Отсечка CC 1 пресича правата AB в някаква точка O. Тази точка е средата на отсечката AB. Всъщност триъгълниците CAC 1 и CBC 1 са равни по критерий за равенство на третия триъгълник. Това предполага равенството на ъглите ACO и BCO. Триъгълниците ACO и BCO са равни по първия знак за равенство на триъгълниците. Страните AO и BO на тези триъгълници са съответстващи и следователно са равни. Така O е средата на отсечката AB. Което трябваше да бъде обяснено.

Въпрос 14.Обяснете как да начертаете линия през тази точка, перпендикулярна на тази права.
Отговор: Задача 5.5.Начертайте права линия през тази точка O, перпендикулярна на дадената права линия a.
Решение.Възможни са два случая:
1) точка O лежи на права а;
2) точката O не лежи на правата a.
Нека разгледаме първия случай (фиг. 103).
Начертайте окръжност с произволен радиус от точка O. Тя пресича права а в две точки: A и B. От точки A и B начертайте окръжности с радиус AB. Нека C е точката на тяхното пресичане. Желаната линия минава през точки O и C.
Перпендикулярността на правите OC и AB следва от равенството на ъглите при върха O на триъгълниците ACO и BCO. Тези триъгълници са навити на третия знак за равенство на триъгълниците.
Разгледайте втория случай (фиг. 104).
От точка O начертайте окръжност, пресичаща линия a. Начертайте кръгове от точки A и B със същия радиус. Нека O1 е тяхната пресечна точка, лежаща в полуравнина, различна от тази, в която се намира точката O. Търсената права минава през точките O и O1. Нека го докажем.
Нека C означава пресечната точка на правите AB и OO1. Триъгълниците AOB и AO1B са равни в третия атрибут. Следователно ъгълът OAC е равен на ъгъла O1AC. И тогава триъгълниците OAC и O1AC са равни по първия знак. Това означава, че техните ъгли ACO и ACO1 са равни. И тъй като са съседни, те са прави. Така OC е перпендикулярът, изпуснат от точка O към правата a. Което трябваше да бъде обяснено.

Q.15.Какво е местоположението на точки, еднакво отдалечени от две дадени точки?
Отговор: Теорема 5.3.Местоположението на точки, еднакво отдалечени от две дадени точки, е права линия, перпендикулярна на отсечката, свързваща тези точки и минаваща през нейната средна точка.
Доказателство.Нека A и B - дадени точки, a - права линия, минаваща през средата O на отсечка AB, перпендикулярна на нея (фиг. 105). Трябва да докажем, че:
1) Всяка точка от права a е еднакво отдалечена от точки A и B;
2) Всяка точка D от равнината, равноотдалечена от точки A и B, лежи върху правата линия a.
Фактът, че всяка точка C от права a е на едно и също разстояние от точки A и B, следва от равенството на триъгълниците AOC и BOC. Тези триъгълници имат прави ъгли при върха O, страната OC е обща и AO = OB, тъй като O е средата на отсечката AB.
Нека сега покажем, че всяка точка D от равнината, еднакво отдалечена от точки A и B, лежи върху правата линия a. Помислете за триъгълника ADB. Той е равнобедрен, тъй като AD = BD. В него DO е медианата. По свойството на равнобедрен триъгълник медианата, изтеглена към основата, е височината. Следователно точка D лежи на правата a. Теоремата е доказана.

Статията говори за концепцията за права линия на равнина. Нека разгледаме основните термини и техните обозначения. Нека работим с относителното положение на права и точка и две прави в равнината. Да поговорим за аксиомите. В резултат на това ще обсъдим методите и начините за дефиниране на права линия върху равнина.

Права линия в равнина - концепция

Първо трябва да имате ясна представа какво е самолет. Всяка повърхност на нещо може да бъде приписана на равнина, само че тя се различава от обектите в своята безкрайност. Ако си представим, че равнината е маса, то в нашия случай тя няма да има граници, а ще бъде безкрайно огромна.

Ако докоснете масата с молив, ще има знак, който може да се нарече "точка". Така получаваме представа за точка от равнината.

Помислете за концепцията за права линия върху равнина. Ако начертаете права линия върху листа, тя ще бъде показана върху него с ограничена дължина. Не получихме цялата права линия, а само част от нея, тъй като всъщност тя няма край, като самолет. Следователно представянето на прави и равнини в тетрадката е формално.

Имаме аксиома:

Определение 1

Точките могат да бъдат отбелязани на всяка права и във всяка равнина.

Точките се обозначават както с големи, така и с малки латински букви. Например, A и D или a и d.

За точка и права линия са известни само два варианта на местоположение: точка на права линия, с други думи, че права линия минава през нея, или точка не е на права линия, т.е. линията не минава през него.

За да посочите дали точка от равнина или точка от права линия принадлежи, използвайте знака "∈". Ако в условието е дадено, че точката A лежи на правата a, тогава тя има следната форма на запис A ∈ a. В случай, че точка A не принадлежи, тогава друг запис е A ∉ a.

Присъдата е справедлива:

Определение 2

През всякакви две точки, разположени в произволни равнини, има една права линия, която минава през тях.

Това твърдение се счита за акисома и следователно не изисква доказателство. Ако сами прецените това, можете да видите, че при съществуващите две точки има само една възможност за тяхното свързване. Ако имаме две дадени точки A и B, тогава правата, минаваща през тях, може да се нарече тези букви, например линия A B. Помислете за фигурата по-долу.

Правата линия, разположена върху равнина, има голям брой точки. От тук идва аксиомата:

Определение 3

Ако две точки от права линия лежат в равнина, тогава всички останали точки от тази права линия също принадлежат на равнина.

Множеството от точки, разположени между две дадени, се нарича отсечка от права линия.Има начало и край. Въведено обозначение с две букви.

Ако се даде, че точки A и P са краищата на сегмент, тогава неговото обозначение ще приеме формата PA или A R. Тъй като обозначенията на сегмента и правата линия съвпадат, се препоръчва да се добавят или завършват думите „ сегмент”, „прав”.

Съкращаването на членството включва използването на знаците ∈ и ∉. За да фиксирате местоположението на сегмента спрямо дадена линия, използвайте ⊂. Ако в условието е дадено, че отсечката А Р принадлежи на правата b, тогава записът ще изглежда по следния начин: А Р ⊂ b.

Има случай на едновременна принадлежност на три точки от една права линия. Това е вярно, когато една точка лежи между две други. Това твърдение се счита за аксиома. Ако са дадени точки A, B, C, които принадлежат на една права линия, а точка B лежи между A и C, следва, че всички дадени точки лежат на една права линия, тъй като те лежат от двете страни спрямо точка B.

Една точка разделя права линия на две части, наречени лъчи. Имаме аксиома:

Определение 4

Всяка точка O, разположена на права линия, я разделя на два лъча и всякакви две точки от един лъч лежат от едната страна на лъча спрямо точка O, а останалите - от другата страна на лъча.

Подреждането на прави линии върху равнина може да бъде под формата на две състояния.

Определение 5

съвпада.

Тази възможност се появява, когато линиите имат общи точки. Въз основа на аксиомата, написана по-горе, имаме, че права линия минава през две точки и само една. Това означава, че когато 2 прави преминават през дадените 2 точки, те съвпадат.

Определение 6

Две прави линии върху самолетна кутия кръст.

Този случай показва, че има една обща точка, която се нарича пресичане на прави. Въвежда се обозначителното пресичане със знака ∩. Ако има обозначение a ∩ b = M, тогава следва, че дадените прави a и b се пресичат в точката M.

Когато пресичаме прави линии, имаме работа с получения ъгъл. Отделно се разглежда участъкът на пресичане на прави линии в равнина с образуване на ъгъл от 90 градуса, т.е. прав ъгъл... Тогава правите се наричат ​​перпендикулярни Формата на запис на две перпендикулярни прави е a ⊥ b, което означава, че правата a е перпендикулярна на права b.

Определение 7

Две прави линии на равнина могат да бъдат успоредно.

Само ако двете дадени прави нямат общи пресечни точки и следователно нямат точки, те са успоредни. Използва се нотацията, която може да се запише за даден паралелизъм на прави a и b: a ∥ b.

Права линия върху равнина се разглежда заедно с вектори. Особено значение се придава на нулевите вектори, които лежат на дадена права линия или на която и да е от успоредните прави линии; те се наричат ​​вектори на посоката на права линия. Помислете за фигурата по-долу.

Ненулеви вектори, разположени на линии, перпендикулярни на дадената, се наричат ​​по друг начин нормални вектори на права. В статията има подробно описание на нормален вектор на права линия върху равнина. Помислете за фигурата по-долу.

Ако в една равнина са дадени 3 линии, тяхното местоположение може да бъде много различно. Има няколко опции за тяхното местоположение: пресичане на всички, паралелизъм или присъствие различни точкипресичане. Фигурата показва перпендикулярното пресичане на две прави спрямо една.

За целта представяме необходимите фактори, доказващи тяхното взаимно подреждане:

• ако две прави са успоредни на третата, тогава всички те са успоредни;
• ако две прави са перпендикулярни на третата, тогава тези две прави са успоредни;
• ако на равнина права линия пресича една успоредна права, тогава тя пресича друга.

Нека разгледаме това във фигурите.

Правата линия върху равнина може да бъде определена по няколко начина. Всичко зависи от състоянието на проблема и от какво ще се базира неговото решение. Тези знания могат да помогнат за практическото подреждане на правите линии.

Определение 8

Правата линия се определя с помощта на посочените две точки, разположени в равнината.

От разглежданата аксиома следва, че през две точки е възможно да се проведе права линия и освен това само една единствена линия. Когато правоъгълна координатна система определя координатите на две несъответстващи точки, тогава можете да фиксирате уравнението на права линия, минаваща през двете посочени точки. Помислете за чертеж, където имаме права линия, минаваща през две точки.

Определение 9

Права линия може да бъде определена през точка и права линия, на която е успоредна.

Този метод съществува, тъй като през точка можете да начертаете права линия, успоредна на дадена, освен това само една. Доказателството също е известно от училищен курсвърху геометрията.

Ако е дадена права линия спрямо декартова координатна система, тогава е възможно да се формулира уравнение за права линия, минаваща през дадена точка, успоредна на дадена права линия. Помислете за принципа на дефиниране на права линия върху равнина.

Определение 10

Правата линия се задава чрез посочения вектор на точка и посока.

Когато е посочена права линия в правоъгълна координатна система, е възможно да се съставят канонични и параметрични уравнения на равнина. Разгледайте на фигурата местоположението на права линия в присъствието на вектор на посоката.

Четвъртият елемент от присвояването на права линия има смисъл, когато е посочена точка, през която трябва да бъде начертана, и права линия, перпендикулярна на нея. От аксиомата имаме:

Определение 11

Само една права линия, перпендикулярна на дадената, ще минава през дадена точка, разположена на равнината.

И последната точка, свързана с определяне на права линия върху равнина, е в определената точка, през която минава правата линия, и в присъствието на нормален вектор на правата линия. С известните координати на точка, разположена на дадена права линия, и координатите на нормален вектор е възможно да се запише общото уравнение на права линия.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Права линия на равнина - необходимата информация.

В тази статия ще се спрем на едно от основните понятия на геометрията - концепцията за права линия върху равнина. Първо, нека дефинираме основните термини и обозначения. След това ще обсъдим относителното положение на права и точка, както и две прави линии в равнината и ще дадем необходимите аксиоми. В заключение ще разгледаме начините за дефиниране на права линия върху равнина и ще предоставим графични илюстрации.

Навигация в страницата.

• Правата линия в равнина е понятие.
• Взаимно подреждане на права линия и точка.
• Взаимно подреждане на прави линии върху равнина.
• Методи за определяне на права линия върху равнина.

Правата линия в равнина е понятие.

Преди да се даде концепцията за права линия върху равнина, трябва ясно да се разбере какво представлява равнината. Концепция за самолетви позволява да получите например плоска повърхност на маса или стена на къща. Трябва обаче да се има предвид, че размерите на таблицата са ограничени и равнината се простира извън тези граници до безкрайност (все едно имаме произволно голяма маса).

Ако вземете добре заточен молив и го докоснете с пръчка до повърхността на "масата", тогава получаваме изображение на точка. Ето как получаваме идея за точка в равнина.

Сега можете да отидете на концепцията за права линия върху равнина.

Поставяме лист чиста хартия върху повърхността на масата (на равнина). За да изобразим права линия, трябва да вземем линийка и да начертаем линия с молив, доколкото позволяват размерите на използваната линийка и лист хартия. Трябва да се отбележи, че по този начин получаваме само част от правата линия. Цяла права линия, простираща се до безкрайност, можем само да си представим.

Обратно към началото на страницата

Взаимно подреждане на права линия и точка.

Трябва да започнем с аксиомата: има точки на всяка права линия и във всяка равнина.

Обичайно е точките да се обозначават с главни латински букви, например точки Аи Ф... От своя страна правите линии се обозначават с малки латински букви, например прави аи д.

Възможен два варианта за относителното положение на права линия и точка в равнината: или точка лежи върху права линия (в този случай те също казват, че права линия минава през точка), или точка не лежи на права линия (те също така казват, че точка не принадлежи на права линия или права линия не минава през точка).

За да се посочи, че дадена точка принадлежи на определена права линия, се използва символът "". Например, ако точка Алежи на права линия а, тогава можете да пишете. Ако точка Ане принадлежи към директен аслед това запишете.

Следното твърдение е вярно: една права линия минава през произволни две точки.

Това твърдение е аксиома и трябва да се приеме като факт. Освен това, това е съвсем очевидно: маркираме две точки на хартия, прилагаме линийка върху тях и начертаваме права линия. Права линия, минаваща през две определени точки (например през точки Аи V), може да се обозначи с тези две букви (в нашия случай правата линия ABили VA).

Трябва да се разбере, че безкрайно много различни точки лежат на права линия, определена върху равнина, и всички тези точки лежат в една и съща равнина. Това твърдение се установява от аксиомата: ако две точки от права линия лежат в определена равнина, тогава всички точки от тази права линия лежат в тази равнина.

Множеството от всички точки, разположени между две точки, дадени на права линия, заедно с тези точки се наричат линеен сегментили просто сегмент... Точките, които ограничават линията, се наричат ​​краища на линия. Сегментът се обозначава с две букви, съответстващи на точките на краищата на сегмента. Например, нека точките Аи Vса краищата на отсечката, то този сегмент може да бъде обозначен ABили VA... Моля, имайте предвид, че това обозначение на сегмент от линия съвпада с обозначението на права линия. За да избегнете объркване, препоръчваме да добавите думата "сегмент" или "направо" към обозначението.

За кратко записване на принадлежността и непринадлежността на точка към определен сегмент се използват едни и същи символи и. За да покажете, че определен сегмент лежи или не лежи на права линия, използвайте символи и, съответно. Например, ако сегментът ABпринадлежи към директен а, може да се напише накратко.

Трябва също така да се спрем на случая, когато три различни точки принадлежат на една и съща права линия. В този случай една и само една точка лежи между другите две. Това твърдение е друга аксиома. Нека точките А, Vи Слежат на една права линия и точката Vлежи между точките Аи С... Тогава можем да кажем, че точките Аи Сса от противоположните страни на точката V... Можете също да кажете, че точките Vи Слегнете на една страна, след което сочи Аи точките Аи Vлежи от едната страна на точката С.

За пълнота, имайте предвид, че всяка точка на права линия разделя тази права линия на две части - две лъч... За този случай е дадена аксиома: произволна точка Опринадлежаща на права линия разделя тази права линия на два лъча и всякакви две точки от един лъч лежат от една и съща страна на точката О, и всякакви две точки от различни лъчи са от противоположните страни на точката О.

Обратно към началото на страницата