Мисля, че е по-лесно да се намери височината на трапеца, за това е достатъчно да можете да намерите катета на правоъгълен триъгълник. Е, няма да разкрия тази тайна, но другарят Питагор го описа доста точно по негово време)))

За да намерите височината на трапеца, трябва да използвате математическата формула h = 2S / (a+ b), тук S е площта на трапеца, но a и b са основата на трапеца. Умножаваме площта по две и разделяме на сумата от основите.

Формулата за височината на трапец може да се намери по няколко начина, въз основа на наличните данни по условие.

Един от начините е през площада.



където S, разбира се, е площта на трапеца,

а. b - основи,

h е височината на трапеца,

m - средна линия.

Има много формули за изчисляване на височината на трапец:











Тук е посочено:

h е самата височина;

a, b, c, d - страни на трапеца;

d1, d2 - два диагонала на трапец

m - средна линия.

Също на снимката по -долу вижте къде е ъгълът и:



Равнобедрен трапец е трапец с равни бедра и ъгли за долно такелаж, височината на такъв трапец може да се намери като продукт на страничната страна и синуса на ъгъла при долното такелаж, или като продукт на половинната разлика релсите и допирателната на ъгъла за дънни такелажи.

Височина на трапецмогат да бъдат намерени с помощта на оригиналните данни. Ако площта на трапеца и неговата основа са известни, тогава височината на трапеца е h = 2S / (a+ b), където S е площта, a и b са основите.

Мога намери височината на трапецапо питагорейската теорема, ако всички страни на трапеца са известни, а самият трапец е равнобедрен. В този случай първо откриваме основата на триъгълника, която ще бъде равна на половината от разликата между основите, след което прилагаме питагоровата теорема.

Ако площта на трапеца и средната линия са известни, тогава за определяне на височината на трапецадостатъчно е площта на трапеца да се раздели на дължината на средната линия.

Височината на трапеца може да се намери от правоъгълния триъгълник, който е образуван от страничната страна на трапеца AB - хипотенузата на десния триъгълник, най -високата трапецовидна височина BH е един от краката и част от основата на трапецът, който е половината разлика между двете основи на трапеца AH = (AD -BC) / 2 - това е вторият крак. Е, в правоъгълен триъгълник катетът е равен на квадратния корен от разликата между квадрата на хипотенузата и квадрата на втория крак.



Тази задача може да бъде решена различни начини, което е известно в трапеца: страни или ъгли. Е, всъщност е така училищен курсматематика.)))

Трапецът е четириъгълник с две противоположни страниса успоредни, но другите две не. Тези страни, които са успоредни една на друга, се наричат ​​бази.

Площта на всеки трапец е равна на произведението на половината сума на неговите основи и височината. Ако изразите това под формата на формула, получавате следното:

S = 1 / 2h x (a + b)

h е височината на трапеца,

a и b са нейните основи.

Геометрия- точна и забавна наука.

А за любителите на геометрията няма да е трудно да намерят височината на трапеца.

Какво е трапец?

Трапец- това е правоъгълник, в който две противоположни страни са успоредни една на друга, но другите две страни не са успоредни една на друга.

Ето чертеж на трапец:

Геометрията е една от науките, с приложението на която човек се сблъсква на практика почти всеки ден. Сред разнообразието от геометрични форми, трапецът също заслужава специално внимание. Това е изпъкнала фигура с четири страни, две от които са успоредни една на друга. Последните се наричат ​​бази, а останалите две се наричат ​​страни. Отсечката, перпендикулярна на основите и определяща размера на пролуката между тях, ще бъде височината на трапеца. Как можете да изчислите дължината му?

Намерете височината на произволен трапец

Въз основа на първоначалните данни определянето на височината на фигурата е възможно по няколко начина.

Известен район

Ако дължината на паралелните страни е известна и площта на фигурата също е посочена, тогава за определяне на желания перпендикуляр може да се използва следната връзка:

S = h * (a + b) / 2,
h - необходимата стойност (височина),
S е областта на фигурата,
a и b са страни, успоредни една на друга.
От горната формула следва, че h = 2S / (a+ b).

Стойността на средната линия е известна

Ако сред първоначалните данни, освен площта на трапеца (S), е известна и дължината на средната му линия (l), тогава друга формула ще бъде полезна за изчисления. Първо, струва си да се изясни каква е средната линия за този тип четириъгълник. Терминът определя частта от правата линия, свързваща средните точки на страните на фигурата.

Въз основа на свойството на трапеца l = (a + b) / 2,
l - средна линия,
a, b - странични основи на четириъгълника.
Следователно, h = 2S / (a+ b) = S / l.

Известни са 4 страни на фигурата

В този случай теоремата на Питагор ще помогне. Привеждайки перпендикулярите надолу към по-голямата основна страна, използвайте го за двата получени правоъгълни триъгълника. Крайният израз ще изглежда така:

h = √c 2 -(((a -b) 2 + c 2 -d 2) / 2 (a -b)) 2,

c и d са 2 други страни.

Ъгли в основата

Ако имате данни за базовия ъгъл, използвайте тригонометричните функции.

h = c * sinα = d * sinβ,

α и β са ъглите в основата на четириъгълника,
c и d са неговите страни.

Диагонали на фигурата и ъглите, които те образуват при пресичане

Диагонална дължина - дължината на отсечката, свързваща противоположните върхове на фигурата. Нека обозначим тези величини със символите d1 и d2 и ъглите между тях γ и φ. Тогава:

h = (d1 * d2) / (a+ b) sin γ = (d1 * d2) / (a+ b) sinφ,

h = (d1 * d2) / 2l sin γ = (d1 * d2) / 2l sinφ,

a и b - странични основи на фигурата,
d1 и d2 са диагоналите на трапеца,
γ и φ са ъглите между диагоналите.

Височината на фигурата и радиусът на окръжността, която е вписана в нея

Както следва от дефиницията на този вид кръг, той докосва всяка основа в 1 точка, които са част от една права линия. Следователно разстоянието между тях - диаметърът - е желаната височина на фигурата. И тъй като диаметърът е два пъти радиуса, тогава:

h = 2 * r,
r е радиусът на окръжността, която е вписана в този трапец.

Намерете височината на равнобедрен трапец

• Както следва от формулировката, отличителна черта на равнобедрен трапец е равенството на страничните му страни. Следователно, за да намерите височината на фигурата, използвайте формулата, за да определите тази стойност в случай, когато страните на трапеца са известни.

Така че, ако c = d, тогава h = √c 2 -(((a -b) 2 + c 2 -d 2) / 2 (a -b)) 2 = √c 2 -(a -b) 2/4,
a, b - странични основи на четириъгълника,
c = d - неговите страни.

• При наличието на големината на ъглите, образувани от две страни (основа и странично), височината на трапеца се определя от следното съотношение:

h = c * sinα,
h = c * tgα * cosα = c * tgα * (b - a) / 2c = tgα * (b -a) / 2,

α - ъгъл в основата на фигурата,
a, b (a< b) – основания фигуры,
c = d - неговите страни.

• Ако са дадени стойностите на диагоналите на фигурата, тогава изразът за намиране на височината на фигурата ще се промени, тъй като d1 = d2:

h = d1 2 / (a+ b) * sinγ = d1 2 / (a+ b) * sinφ,

h = d1 2/2 * l * sinγ = d1 2/2 * l * sinφ.

На простия въпрос "Как да намерите височината на трапеца?" има няколко отговора, всички, защото могат да бъдат дадени различни начални стойности. Следователно формулите ще се различават.

Тези формули могат да се запомнят, но те са лесни за извличане. Необходимо е само да се приложат изучените по -рано теореми.

Обозначения, приети във формулите

Във всички следващи математически обозначения тези четения на буквите са правилни.

В оригиналните данни: всички страни

За да намерите височината на трапеца, в общия случай ще трябва да използвате следната формула:

n = √ (c 2 - (((a - b) 2 + c 2 - d 2) / (2 (a - b))) 2).Номер 1.

Не е най -краткият, но също така рядко се среща в задачите. Обикновено можете да използвате други данни.

Формулата, която ще ви каже как да намерите височината на равнобедрен трапец в същата ситуация, е много по -кратка:

n = √ (s 2 - (a - b) 2/4).Номер 2.

Проблемът е даден: страни и ъгли в долната основа

Предполага се, че ъгълът α е в непосредствена близост до страничната страна с обозначението "c", съответно ъгълът β към страната d. Тогава формулата за това как да се намери височината на трапеца като цяло ще бъде следната:

n = c * sin α = d * sin β.Номер 3.

Ако фигурата е равнобедрена, можете да използвате тази опция:

n = c * sin α = ((a - b) / 2) * tan α.Номер 4.

Известен с: диагонали и ъгли между тях

Към тези данни обикновено се добавят известни количества. Например основите или средната линия. Ако са дадени основанията, тогава следната формула е полезна за отговор на въпроса как да се намери височината на трапеца:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a+ b) или n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a+ b).Номер 5.

Е за общ изгледфигури. Ако е даден равнобедрен, тогава записът ще се трансформира така:

n = (d 1 2 * sin γ) / (a+ b) или n = (d 1 2 * sin δ) / (a+ b).Номер 6.

Когато сте в задача въпросниятоколо средната линия на трапеца, тогава формулите за намиране на височината му стават, както следва:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m или n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m.Номер 5а.

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m или n = (d 1 2 * sin δ) / 2m.Номер 6а.

Известни количества: площ с основи или средна линия

Това са може би най -кратките и прости формули за това как да се намери височината на трапец. За произволна форма ще бъде така:

n = 2S / (a+ b).Номер 7.

Същото е, но с добре позната средна линия:

n = S / m.Номер 7а.

Колкото и да е странно, но за равнобедрен трапец формулите ще изглеждат еднакви.

Задачи

# 1. За определяне на ъглите в долната основа на трапеца.

Състояние.Като се има предвид равнобедрен трапец, страничната страна на който е 5 см. Основите му са 6 и 12 см. Необходимо е да се намери синусът на остър ъгъл.

Решение.За удобство трябва да въведете обозначението. Нека долният ляв връх е A, всички останали по посока на часовниковата стрелка: B, C, D. Така долната основа ще бъде обозначена като АД, горната - BC.

Необходимо е да се начертаят височините от върховете B и C. Точките, които показват краищата на височините, ще бъдат обозначени съответно H 1 и H 2. Тъй като на фигурата ВСН 1 Н 2 всички ъгли са прави, това е правоъгълник. Това означава, че сегментът H 1 H 2 е 6 cm.

Сега трябва да разгледаме два триъгълника. Те са равни, тъй като са правоъгълни със същите хипотенузи и вертикални крака. От това следва, че по -малките им крака са равни. Следователно те могат да бъдат определени като част от разликата. Последното ще бъде получено чрез изваждане на горната основа от долната. Тя ще бъде разделена на 2. Тоест, 12 - 6 трябва да бъдат разделени на 2. AH 1 = H 2 D = 3 (cm).

Сега, от питагорейската теорема, трябва да намерите височината на трапеца. Необходимо е да се намери синусът на ъгъл. VN 1 = √ (5 2 - 3 2) = 4 (cm).

Използвайки знанията за това как синусът на остър ъгъл се намира в триъгълник с прав ъгъл, можете да напишете следния израз: sin α = BH 1 / AB = 0,8.

Отговор.Желаният синус е 0,8.

No2. Намиране на височината на трапеца с помощта на известна тангента.

Състояние.За равнобедрен трапец трябва да изчислите височината. Известно е, че основите му са 15 и 28 см. Тангенсата на остър ъгъл е 11/13.

Решение.Обозначението на върховете е същото като в предишната задача. Отново трябва да нарисувате две височини от горните ъгли. По аналогия с решаването на първия проблем, трябва да намерите AH 1 = H 2 D, което ще се определи като разликата между 28 и 15, разделена на две. След изчисления се оказва: 6,5 см.

Тъй като допирателната е отношението на два катета, можем да напишем следното равенство: tg α = AN 1 / BN 1. Освен това това съотношение е 11/13 (по условие). Тъй като AH 1 е известен, можете да изчислите височината: BH 1 = (11 * 6,5) / 13. Простите изчисления дават резултат от 5,5 cm.

Отговор.Желаната височина е 5,5 см.

No3. За изчисляване на височината от известните диагонали.

Състояние.За трапеца е известно, че диагоналите му са 13 и 3 см. Необходимо е да се установи височината му, ако сумата от основите е 14 см.

Решение.Нека обозначението на фигурата да е същото като преди. Да предположим, че AC е по -малкият диагонал. От върха на C трябва да нарисувате желаната височина и да я обозначите с CH.

Сега трябва да направите допълнителна конструкция. От ъгъл С трябва да начертаете права линия, успоредна на по -големия диагонал и да намерите точката на нейното пресичане с продължението на страната на кръвното налягане. Това ще бъде D 1. Оказа се нов трапец, вътре в който е нарисуван триъгълник ASD 1. Той е необходим за по -нататъшното решаване на проблема.

Желаната височина също ще бъде в същия триъгълник. Следователно можете да използвате формулите, изследвани в друга тема. Височината на триъгълник се дефинира като произведение на числото 2 и площта, разделена на страната, към която е изтеглен. И страната се оказва равна на сумата от основите на оригиналния трапец. Това се основава на правилото, по което е извършена допълнителната конструкция.

В разглеждания триъгълник всички страни са известни. За удобство въвеждаме означението x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.

Сега можете да изчислите площта, като използвате теоремата на Херон. Полупериметърът ще бъде равен на p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm). Тогава формулата за площта след подмяна на стойностите ще изглежда така: S = √ (15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm 2).

Отговор.Височината е 6√10 / 7 cm.

№4. За да намерите височината отстрани.

Състояние.Като се има предвид трапец, три страни от които са 10 см, а четвъртата е 24 см. Трябва да знаете височината му.

Решение.Тъй като цифрата е равнобедрена, имате нужда от формула номер 2. Просто трябва да замените всички стойности в нея и да преброите. Ще изглежда така:

n = √ (10 2 - (10 - 24) 2/4) = √51 (cm).

Отговор. n = √51 cm.

Трапецът е релефен четириъгълник, в който две противоположни страни са успоредни, а другите две не са успоредни. Ако всички противоположни страни на четириъгълника са по двойки успоредни, това е успоредник.

Ще имаш нужда

• - всички страни на трапеца (AB, BC, CD, DA).

Инструкции

1. Непаралелни партии трапецсе наричат ​​странични страни, а паралелни се наричат ​​основи. Линията между основите, перпендикулярна на тях - височина трапец... Ако отстрани партии трапецса равни, тогава се нарича равнобедрен. Първо, помислете за решението за трапецкоето не е равнобедрено.

2. Начертайте сегмент BE от точка B до долната основа AD успоредно на страната трапец CD. От факта, че BE и CD са успоредни и се държат между паралелни бази трапец BC и DA, тогава BCDE е паралелограм и неговата противоположност партии BE и CD са равни. BE = CD.

3. Помислете за триъгълника ABE. Изчислете AE страната. AE = AD-ED. Основи трапец BC и AD са известни, а в паралелограма BCDE обратното партии ED и BC са равни. ED = BC, така че AE = AD-BC.

4. Сега разберете площта на триъгълника ABE по формулата на Херон, като изчислите полупериметъра. S = корен (p * (p-AB) * (p-BE) * (p-AE)). В тази формула p е полупериметърът на триъгълника ABE. p = 1/2 * (AB + BE + AE). За да изчислите площта, знаете всички необходими данни: AB, BE = CD, AE = AD-BC.

6. Изразете от тази формула височината на триъгълника, която е и височината трапец... BH = 2 * S / AE. Изчислете го.

7. Ако трапецът е равнобедрен, решението може да се изпълни по различен начин. Помислете за триъгълник ABH. Той е правоъгълен, защото един от ъглите, BHA, е прав.

8. Начертайте височината CF от върха C.

9. Разгледайте фигурата на HBCF. HBCF правоъгълник, от факта, че два от него партии- височини, а другите две са бази трапец, тоест ъглите са прави, а обратното партииса успоредни. Това означава, че BC = HF.

10. Вижте правоъгълни триъгълници ABH и FCD. Ъглите на височините BHA и CFD са прави, а ъглите отстрани партии x BAH и CDF са равни, тъй като трапецът ABCD е равнобедрен, което означава, че триъгълниците са сходни. Тъй като височините BH и CF са равни странично партииравнобедрен трапец AB и CD са равни, тогава подобни триъгълници са равни. Следователно, техните партии AH и FD също са равни.

11. Открийте AH. AH + FD = AD-HF. Тъй като от паралелограма HF = BC и от триъгълниците AH = FD, тогава AH = (AD-BC) * 1/2.

Трапецът е геометрична фигура, която е четириъгълник, в който две страни, които се наричат ​​основи, са успоредни, а другите две не са успоредни. Те се наричат ​​страни трапец... Отсечката, изтеглена през средните точки на страните, се нарича средна линия. трапец... Трапецът може да има различни дължини на страните или еднакви, в този случай той се нарича равнобедрен. Ако една от страните е перпендикулярна на основата, тогава трапецът ще бъде правоъгълен. Но е много по -практично да се знае как да се открие квадрат трапец .

Ще имаш нужда

• Линийка с милиметрови деления

Инструкции

1. Измерете всички страни трапец: AB, BC, CD и DA. Запишете резултатите от измерванията си.

2. По линия АВ преместете средната точка - точка К. В сегмент DA изтрийте точка L, която също е в средата на сегмент AD. Комбинирайте точки K и L, полученият сегмент KL ще бъде средната линия трапец ABCD. Измерете сегмента на линията KL.

3. От върха трапец- копнеж С, спуснете перпендикуляра към основата си AD върху сегмента CE. Той ще бъде височината трапец ABCD. Измерете сегмента CE.

4. Наричаме сегмента KL буквата m, а сегментът CE буквата h, тогава квадратС трапецИзчислете ABCD по формулата: S = m * h, където m е средната линия трапец ABCD, h - височина трапец ABCD.

5. Има друга формула, която ви позволява да изчислявате квадрат трапец ABCD. Долна основа трапец- AD ще се нарича буквата b, а горната основа на BC ще се нарича a. Площта се определя по формулата S = 1/2 * (a + b) * h, където a и b са основите трапец, h - височина трапец .

Подобни видеа

Съвет 3: Как да намерите височината на трапец, ако областта е известна

Трапецът е четириъгълник, в който две от четирите му страни са успоредни една на друга. Паралелните страни са основата на това трапец, другите две са страничните страни на това трапец... Открийте височината трапец, ако познаваме района му, ще бъде много лесно.

Инструкции

1. Необходимо е да се разбере как е позволено да се изчисли площта на инициала трапец... Има няколко формули за това, в зависимост от първоначалните данни: S = ((a + b) * h) / 2, където a и b са дължините на основите трапец, а h е неговата височина (Height трапец- перпендикулярно отпаднало от една основа трапецкъм друг); S = m * h, където m е средната линия трапец(Средната линия е сегмент, успореден на основите трапеци свързващ средата на страничните му страни).

2. Сега, знаейки формулите за изчисляване на площта трапец, разрешено е да се извеждат нови от тях, да се намери височината трапец: h = (2 * S) / (a+ b); h = S / m.

3. За да стане по -ясно как да решавате подобни проблеми, е позволено да видите примери: Пример 1: Като се има предвид трапец, чиято площ е 68 см?, Средната линия на която е 8 см, трябва да намерите височинатададено трапец... За да разрешите този проблем, трябва да използвате получената по -рано формула: h = 68/8 = 8,5 cm Отговор: височината на този трапеце 8,5 см. Пример 2: Нека трапецплощта е 120 см?, дължината на основите на това трапецса равни на 8 см и 12 см съответно, е необходимо да се открие височинататова трапец... За да направите това, трябва да приложите една от получените формули: h = (2 * 120) / (8 + 12) = 240/20 = 12 cm Отговор: височината на даденото трапецравен на 12 см

Подобни видеа

Забележка!
Всеки трапец има редица свойства: - средната линия на трапеца е равна на половината сума на неговите основи; - сегментът, който свързва диагоналите на трапеца, е равен на половината от разликата на основите му; - ако е права линия е изтеглена през средните точки на основите, тя ще пресича точката на пресичане на диагоналите на трапеца; - разрешено е да се впише окръжност в трапец, ако сумата от основите на този трапец е равна на сумата от страничните му страни. Използвайте тези свойства при решаване на задачи.

Съвет 4: Как да намерите височината на триъгълник, ако са дадени координатите на точките

Височината в триъгълник е прав участък, свързващ горната част на фигурата с противоположната страна. Този сегмент със сигурност трябва да е перпендикулярен на страната, следователно от всеки връх е позволено да се изтегли само един височината... Поради факта, че в тази фигура има три върха, височините в нея са еднакви. Ако триъгълникът е зададен от координатите на върховете му, е възможно да се изчисли дължината на всяка от височините, да речем, като се използва формулата за намиране на площта и изчисляване на дължините на страните.

Инструкции

1. Изчислете въз основа на това, че площта триъгълникравно на половината от произведението на дължината на всяка от страните му по дължината на височината, паднала от тази страна. От това определение следва, че за да намерите височината, трябва да знаете площта на фигурата и дължината на страната.

2. Започнете, като изчислите дължините на страните триъгълник... Обозначете координатите на върховете на формата, както следва: A (X ?, Y ?, Z?), B (X ?, Y ?, Z?) И C (X ?, Y ?, Z?). След това можете да изчислите дължината на страната AB, като използвате формулата AB =? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?). За другите 2 страни тези формули ще изглеждат така: BC =? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?) И ​​AC =? (( X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?). Да кажем за триъгълникс координати A (3,5,7), B (16,14,19) и C (1,2,13), дължината на страната AB ще бъде? ((3-16)? + (5-14) ? + (7 -19)?) =? (-13? + (-9?) + (-12?)) =? (169 + 81 + 144) =? 394? 19,85. Дължините на страните BC и AC, изчислени по същия метод, ще бъдат равни на? (15? + 12? + 6?) =? 405? 20,12 и? (2? + 3? + (-6?)) =? 49 = 7.

3. Уменията с дължини на 3 страни, получени в предишната стъпка, са достатъчни за изчисляване на площта триъгълник(S) според формулата на Херон: S =? *? ((AB + BC + CA) * (BC + CA-AB) * (AB + CA-BC) * (AB + BC-CA)). Да речем, след заместване на стойностите, получени от координатите триъгълникпример от предишната стъпка, тази формула ще даде тази стойност: S =? *? ((19.85 + 20.12 + 7) * (20.12 + 7-19.85) * (19.85 + 7-20, 12) * (19.85 + 20.12- 7)) =? *? (46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97)? ? *? 75768.55? ? * 275,26 = 68,815.

4. Идвайки от района триъгълникизчислени в предишната стъпка и дължините на страните, получени във втората стъпка, изчислете височините за всяка от страните. Тъй като площта е равна на половината от произведението на височината и дължината на страната, към която е нарисувана, за да намерите височината, разделете удвоената площ на дължината на желаната страна: H = 2 * S / a. За примера, използван по -горе, височината, спусната до страната AB, ще бъде 2 * 68.815 / 16.09? 8.55, височината към страната на BC ще бъде 2 * 68.815 / 20.12? 6.84, а за AU страната тази стойност ще бъде 2 * 68.815 / 7? 19,66.

С такава форма като трапец се срещаме в живота доста често. Например, всеки мост от бетонни блокове е отличен пример. По -визуален вариант може да се счита за кормилното управление на всяко превозно средство и така нататък. Свойствата на фигурата са били известни още през Древна Гърция , което Аристотел описа по -подробно в своята научна работа „Начало“. И знанията, получени преди хиляди години, са актуални и днес. Затова нека се запознаем с тях по -подробно.

Във връзка с

Основни понятия

Фигура 1. Класическата форма на трапеца.

Трапецът е по същество четириъгълник, съставен от два отсечки, които са успоредни и два други, които не са успоредни. Когато говорите за тази цифра, винаги трябва да помните за такива понятия като: основа, височина и средна линия. Два сегмента на четириъгълник, които се наричат ​​основи един към друг (сегменти AD и BC). Височина се нарича сегментът, перпендикулярен на всяка от основите (EH), т.е. се пресичат под ъгъл от 90 ° (както е показано на фигура 1).

Ако съберем всички вътрешни градусови мерки, тогава сумата от ъглите на трапеца ще бъде равна на 2π (360 °), като всеки четириъгълник. Сегментът, чиито краища са средните точки на страничните стени (IF) наречена средна линия.Дължината на този сегмент е сумата от основите BC и AD, разделена на 2.

Има три вида геометрични фигури: прави, правилни и равнобедрени. Ако поне един ъгъл при върховете на основата е прав (например, ако ABD = 90 °), тогава такъв четириъгълник се нарича прав трапец. Ако страничните сегменти са равни (AB и CD), тогава той се нарича равнобедрен (съответно ъглите в основите са равни).

Как да намерите района

За, за намиране на площта на четириъгълник ABCD използва следната формула:

Фигура 2. Решаване на проблема с намирането на област

За още илюстративен примернека решим лесна задача. Например, нека горната и долната основа съответно са 16 и 44 см, а страните са 17 и 25 см. Нека построим перпендикулярен сегмент от върха D по такъв начин, че DE II BC (както е показано на фигура 2) . Следователно получаваме това

Нека DF стартира. От ΔADE (което ще бъде равнобедрено) получаваме следното:

Тоест, да се изразя прост език, първо открихме височината ΔADE, която е и височината на трапеца. Оттук изчисляваме площта на четириъгълника ABCD, с вече известната стойност на височината DF, използвайки вече известната формула.

Следователно, необходимата площ ABCD е 450 cm³. Тоест, можем да кажем с увереност, че за да за да изчислите площта на трапеца, имате нужда само от сумата от основите и дължината на височината.

Важно!При решаването на задачата не е необходимо да се намира стойността на дължините поотделно, напълно приемливо е, ако се приложат други параметри на фигурата, които при подходящо доказателство ще бъдат равни на сумата от основите.

Видове трапеци

В зависимост от това кои страни има фигурата, кои ъгли се образуват в основите, се разграничават три вида четириъгълник: правоъгълни, неправилни и равнобедрени.

Разнообразни

Има две форми: остроъгълни и тъпоъгълни... ABCD е остър само когато основните ъгли (AD) са остри и дължините на страните са различни. Ако стойността на един ъгъл, числото Pi / 2 е повече (степенната мярка е повече от 90 °), тогава получаваме тъпи.

Ако страничните стени са равни по дължина

Фигура 3. Изглед на равнобедрен трапец

Ако непаралелните страни са равни по дължина, тогава ABCD се нарича равнобедрен (правилен). Освен това за такъв четириъгълник степенната мярка на ъглите в основата е еднаква, ъгълът им винаги ще бъде по -малък от десния. Именно поради тази причина равнобедрените никога не се делят на остроъгълни и тъпоъгълни. Четириъгълник с тази форма има свои специфични разлики, които включват:

1. Отсечките, свързващи противоположни върхове, са равни.
2. Острите ъгли с по -голяма основа са 45 ° (илюстративен пример на фигура 3).
3. Ако добавите градусовите мерки на противоположните ъгли, те се събират до 180 °.
4. Всеки обикновен трапец може да бъде изграден около него.
5. Ако добавите степенната мярка на противоположните ъгли, тя е равна на π.

Освен това, поради геометричното им разположение на точки, съществуват основни свойства на равнобедрен трапец:

Стойност на ъгъла в основата 90 °

Перпендикулярността на страната на основата е просторна характеристика на концепцията за "правоъгълен трапец". Не може да има две странични страни с ъгли в основата,защото иначе вече ще е правоъгълник. При този тип четириъгълник втората странична страна винаги ще образува остър ъгъл с голяма основа и тъп с по -малка. В този случай перпендикулярната страна ще бъде и височината.

Сегментът между средните точки на страничните стени

Ако свържете средните точки на страните и полученият сегмент ще бъде успореден на основите и равен по дължина на половината от тяхната сума, тогава образуваната права линия ще бъде средната линия.Стойността на това разстояние се изчислява по формулата:

За по -илюстративен пример, помислете за проблема с използването на средната линия.

Задача. Средната линия на трапеца е 7 см, известно е, че едната страна е с 4 см по -голяма от другата (фиг. 4). Намерете дължините на основите.

Фигура 4. Решаване на проблема с намирането на базови дължини

Решение. Нека по -малката основа DC да бъде равна на x cm, тогава по -голямата основа ще бъде съответно (x + 4) cm. От тук, използвайки формулата за средната линия на трапеца, получаваме:

Оказва се, че по -малката DC основа е 5 см, а по -голямата е 9 см.

Важно!Концепцията за централната линия е ключова при решаването на много геометрични проблеми. Въз основа на неговото определение се изграждат много доказателства за други цифри. Използвайки концепцията на практика, е възможно по -рационално решение и търсене на необходимата стойност.

Определяне на височината и как да я намерите

Както бе отбелязано по -рано, височината е сегмент, който пресича основите под ъгъл 2Pi / 4 и е най -краткото разстояние между тях. Преди да намерите височината на трапеца,необходимо е да се реши какви входни стойности са дадени. За по -добро разбиране, помислете за проблема. Намерете височината на трапеца, при условие че основите са 8 и 28 см, страните съответно 12 и 16 см.

Фигура 5. Решаване на задачата за намиране на височината на трапеца

Начертайте сегменти DF и CH под прав ъгъл спрямо основата на AD.По дефиниция всеки от тях ще бъде височината на даден трапец (фиг. 5). В този случай, познавайки дължината на всяка странична стена, използвайки Питагоровата теорема, откриваме на какво е равна височината в триъгълниците AFD и BHC.

Сумата от сегментите AF и HB е равна на разликата между основите, т.е.

Нека дължината на AF бъде равна на x cm, тогава дължината на сегмента HB = (20 - x) cm. Както е установено, DF = CH, следователно.

Тогава получаваме следното уравнение:

Оказва се, че сегментът AF в триъгълника AFD е 7,2 см, оттук изчисляваме височината на трапеца DF по същата питагорова теорема:

Тези. височината на трапецовидния ADCB ще бъде 9,6 см. Както можете да видите, изчисляването на височината е по -механичен процес и се основава на изчисляването на страните и ъглите на триъгълниците. Но при редица проблеми в геометрията могат да се знаят само градусите на ъглите, като в този случай изчисленията ще бъдат направени чрез съотношението на страните на вътрешните триъгълници.

Важно!По същество трапецът често се мисли като два триъгълника или като комбинация от правоъгълник и триъгълник. За решаване на 90% от всички проблеми, срещани в учебниците по учебници, свойствата и характеристиките на тези фигури. Повечето формули за този HMT са получени, като се разчита на "механизмите" за тези два типа фигури.

Как бързо да се изчисли основната дължина

Преди да намерите основата на трапеца, е необходимо да определите кои параметри вече са дадени и как да ги използвате рационално. Практическият подход е да се извлече дължината на неизвестната основа от формулата на централната линия. За по -ясно възприемане на картината ще покажем, като използваме примера на задача, как това може да стане. Нека се знае, че средната линия на трапеца е 7 см, а една от основите е 10 см. Намерете дължината на втората основа.

Решение: Знаейки, че средната линия е равна на половината от сумата на основите, може да се твърди, че тяхната сума е 14 cm.

(14 см = 7 см × 2). От условието на задачата знаем, че един от тях е 10 cm, следователно по -малката страна на трапеца ще бъде 4 cm (4 cm = 14 - 10).

Освен това, за по -удобно решение на проблеми от този вид, препоръчваме ви да научите добре такива формули от трапецовидната област като:

• средна линия;
• квадрат;
• височина;
• диагонали.

Познавайки същността (точно същността) на тези изчисления, лесно можете да разберете желаната стойност.

Видео: трапец и неговите свойства

Видео: характеристики на трапеца

Изход

От примерите на разглежданите задачи може да се направи прост извод, че трапецът, по отношение на изчисляването на задачи, е една от най -простите форми в геометрията. За да разрешите успешно проблемите, на първо място, не трябва да решавате каква информация е известна за описания обект, в кои формули те могат да бъдат приложени и да решите какво искате да намерите. С този прост алгоритъм няма проблем с тази геометрична форма без усилие.