Равнината BCE (фиг.) се изтегля през страната BC перпендикулярно на AS ръба. Диедричните ъгли между страничните повърхности (всички са равни) се измерват с ъгъла BEC = φ ... Триъгълникът ТЕГЛО е равнобедрен.

За определяне на площта на напречното сечение S и ъгъла φ , достатъчно е да се намери DE (D е средата на BC). За да направим това, последователно намираме BS (от триъгълника BSD, където BD = а / 2 и ∠ BSD = α / 2 ).

Тогава BE (от триъгълник BSE, където ∠BSE = α ) и накрая DE = √BE 2 -BD 2. Получаваме

Забележка 1 ... Сумата от планарните ъгли на върха S винаги е по-малка от 360 °. Следователно 0<α <120°. При этом условии 2cos α / 2 > 1, т.е. така че уравнението винаги има решение.

Забележка 2 ... Ако α > 90 °, т.е. ъгълът ASB при върха на страничната повърхност е тъп, тогава височината BE на триъгълника ASB ще пресича продължението на основата, а равнината BEC няма да даде никакво сечение на пирамидата. Междувременно формулата

и под тъп ъгъл α (по-малко от 120 °, виж бележка 1) ще даде определена стойност на S.

Отговор: φ = 2 дъга грех (1/2 сек α / 2 );

Подобни примери:

В основата на пирамидата лежи правоъгълник. Една от страничните лица има формата равнобедрен триъгълники перпендикулярно на основата; на другото лице, срещуположно на първото, страничните ръбове са равни на б , образуват ъгъл един с друг 2 α и наклонена към първото лице под ъгъл α ... Определете обема на пирамидата и ъгъла между посочените две лица.

Ще бъда кратък. Ъгълът между две прави е равен на ъгъла между техните вектори на посоката. По този начин, ако можете да намерите координатите на векторите на посоката a = (x 1; y 1; z 1) и b = (x 2; y 2; z 2), можете да намерите ъгъла. По-точно, косинусът на ъгъла по формулата:

Нека видим как работи тази формула с конкретни примери:

Задача. Точките E и F са маркирани в куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - средните точки на ръбовете A 1 B 1 и B 1 C 1, съответно. Намерете ъгъла между правите AE и BF.

Тъй като ръбът на куба не е посочен, ние задаваме AB = 1. Въвеждане стандартна системакоординати: началото е в точка A, осите x, y, z са насочени съответно по AB, AD и AA 1. Единичният сегмент е равен на AB = 1. Сега намираме координатите на векторите на посоката за нашите линии.

Нека намерим координатите на вектора AE. За да направите това, се нуждаем от точките A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Тъй като точка E е средата на отсечката A 1 B 1, нейните координати са равни на средноаритметичната стойност на координатите на краищата. Обърнете внимание, че началото на вектора AE съвпада с началото, така че AE = (0,5; 0; 1).

Сега нека се заемем с вектора BF. По същия начин анализираме точките B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1), тъй като F - средата на сегмента B 1 C 1. Ние имаме:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Така че векторите на посоката са готови. Косинусът на ъгъла между прави линии е косинусът на ъгъла между векторите на посоката, така че имаме:

Задача. В правилна тристранна призма ABCA 1 B 1 C 1, всички ръбове на която са равни на 1, са отбелязани точки D и E - средните точки на ръбове A 1 B 1 и B 1 C 1, съответно. Намерете ъгъла между правите AD и BE.

Нека представим стандартна координатна система: началото е в точка А, оста x е насочена по AB, z - по AA 1. Насочваме оста y така, че равнината OXY да съвпада с равнината ABC. Единичният сегмент е равен на AB = 1. Намерете координатите на векторите на посоката за търсените линии.

Първо, нека намерим координатите на вектора AD. Помислете за точките: A = (0; 0; 0) и D = (0,5; 0; 1), тъй като D - средата на сегмента A 1 B 1. Тъй като началото на вектора AD съвпада с началото, получаваме AD = (0.5; 0; 1).

Сега нека намерим координатите на вектора BE. Точка B = (1; 0; 0) е лесна за изчисляване. С точка E - средата на отсечката C 1 B 1 - е малко по-трудно. Ние имаме:

Остава да се намери косинусът на ъгъла:

Задача. В правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, всички ръбове на която са равни на 1, са отбелязани точки K и L - средните точки на ръбовете A 1 B 1 и B 1 C 1 съответно. Намерете ъгъла между правите AK и BL.

Нека представим стандартна координатна система за призма: поставете началото на координатите в центъра на долната основа, насочете оста x по протежение на FC, оста y през средните точки на сегментите AB и DE и z- ос вертикално нагоре. Единичният сегмент отново е равен на AB = 1. Нека напишем координатите на точките, които ни интересуват:

Точките K и L са средните точки на отсечките A 1 B 1 и B 1 C 1, съответно, така че техните координати се намират чрез средноаритметично. Познавайки точките, намираме координатите на векторите на посоката AK и BL:

Сега нека намерим косинуса на ъгъла:

Задача. В правилната четириъгълна пирамида SABCD, всички ръбове на която са равни на 1, са отбелязани точки E и F - средните точки на страните съответно SB и SC. Намерете ъгъла между правите AE и BF.

Нека представим стандартна координатна система: началото е в точка A, осите x и y са насочени съответно по AB и AD, а оста z е насочена вертикално нагоре. Единичният сегмент е равен на AB = 1.

Точките E и F са средните точки на отсечките SB и SC, съответно, така че техните координати се намират като средноаритметично на краищата. Нека напишем координатите на интересните за нас точки:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Познавайки точките, намираме координатите на векторите на посоката AE и BF:

Координатите на вектора AE съвпадат с координатите на точка E, тъй като точка A е началото. Остава да се намери косинусът на ъгъла:

Задача

Решение.

Намерете ъгъла на наклона на ребрата спрямо равнината на основата.
Тъй като в основата правилна пирамидалежи правилен четириъгълник, тогава в този случай това е квадрат. Тъй като височината на пирамидата е проектирана към центъра на основата, това е пресечната точка на диагоналите. Откъдето KN = a / 2

Триъгълник OKN - правоъгълен, OK - височина равна на 3a.
Намерете тангенса на ъгъла KNO, като го означите като α.

Tg α = OK / KN
tg α = 3a / (a ​​/ 2) = 6
α = арктан 6 ≈ 80,5377 °

Намерете ъгъла на наклона на ръба на пирамидата.
Диагоналът на квадрат със страна a е равен на a√2. Тъй като височината е проектирана към центъра на основата, диагоналите се намаляват наполовина в тази точка.

По този начин, за правоъгълен триъгълник OKC тангенс на ъгъл KCO (означаваме го като β) е равен на

Tg β = OK / KC
тен β = 3a / (a√2 / 2) = 6 / √2
β = арктан 6 / √2 ≈ 76,7373 °

Отговор: ъгълът на наклон на ръбовете arctg 6 ≈ 80,5377 °; ъгълът на наклона на ребрата арктан 6 / √2 ≈ 76,7373 °