Равнобедрен треуг. Равнобедрен триъгълник и неговите свойства

Тема на урока

Равнобедрен триъгълник

Целта на урока

Запознайте учениците с равнобедрения триъгълник;
Продължете да изграждате умения за изграждане на правоъгълни триъгълници;
Разширете знанията на учениците за свойствата на равнобедрените триъгълници;
За затвърждаване на теоретичните знания при решаване на задачи.

Цели на урока

Да умеят да формулират, доказват и използват теоремата за свойствата на равнобедрен триъгълник в процеса на решаване на задачи;
Продължете да развивате съзнателно съзнание учебен материал, логическо мислене, умения за самоконтрол и самочувствие;
Събудете познавателен интерес към уроците по математика;
Насърчавайте активността, любопитството и организираността.

План на урока

1. Общи понятияи определения на равнобедрен триъгълник.
2. Свойства на равнобедрен триъгълник.
3. Признаци на равнобедрен триъгълник.
4. Въпроси и задачи.

Равнобедрен триъгълник

Равнобедрен триъгълник е триъгълник, който има две равни страни, които се наричат страничните страни на равнобедрен триъгълник, а третата му страна се нарича основа.

Горната част на тази фигура е тази, която се намира срещу основата й.

Ъгълът, който лежи срещу основата, се нарича ъгъл при върха на този триъгълник, а другите два ъгъла се наричат ъгли в основата на равнобедрения триъгълник.

Видове равнобедрени триъгълници

Равнобедрен триъгълник, подобно на други форми, може да има различни видове... Сред равнобедрените триъгълници има остроъгълни, правоъгълни, тъпоъгълни и равностранни.

Триъгълникът с остър ъгъл има всички остри ъгли.
Правоъгълният триъгълник има прав ъгъл на върха, а острите ъгли са разположени в основата.
Тъпият има тъп ъгъл на върха, а в основата си ъглите са остри.
При равностранни всичките му ъгли и страни са равни.

Свойства на равнобедрен триъгълник

Противоположните ъгли по отношение на равни страни на равнобедрен триъгълник са равни един на друг;

Бисектриси, медиани и височини, изтеглени от ъгли, противоположни на равни страни на триъгълника, са равни една на друга.

Симетралата, медиана и височина, насочени и изтеглени към основата на триъгълника, съвпадат.

Центровете на вписаната и описаната окръжност лежат на височината, ъглополовящата и медианата (те съвпадат), изтеглени към основата.

Ъглите, противоположни на равните страни на равнобедрен триъгълник, винаги са остри.

Тези свойства на равнобедрен триъгълник се използват за решаване на задачи.

Домашна работа

1. Дайте определението за равнобедрен триъгълник.
2. Каква е особеността на този триъгълник?
3. Каква е разликата между равнобедрен триъгълник и правоъгълен?
4. Какви са известните свойства на равнобедрен триъгълник?
5. Как мислите, възможно ли е на практика да се провери равенството на ъглите в основата и как да стане?

Упражнение

Сега нека направим бърза анкета и да разберем как сте научили новия материал.

Слушайте внимателно въпросите и отговорете дали е вярно твърдението, че:

1. Може ли триъгълник да се счита за равнобедрен, ако двете му страни са равни?
2. Симетралата е отсечката, която свързва върха на триъгълника със средата обратната страна?
3. Симетралата ли е отсечка, която разделя ъгъла, който разделя върха с точка от противоположната страна?

Съвети за решаване на проблема с равнобедрен триъгълник:

1. За да определите периметъра на равнобедрен триъгълник, е достатъчно дължината на страната да се умножи по 2 и това произведение да се добави към дължината на основата на триъгълника.
2. Ако периметърът и дължината на основата на равнобедрен триъгълник са известни в задачата, тогава за намиране на дължината на страничната страна е достатъчно да извадите дължината на основата от периметъра и да разделите намерената разлика на 2 .
3. И за да намерите дължината на основата на равнобедрен триъгълник, като знаете както периметъра, така и дължината на страната, просто трябва да умножите страната по две и да извадите това произведение от периметъра на нашия триъгълник.

задачи:

1. Сред триъгълниците на фигурата определете един допълнителен и обяснете избора си:

2. Определете кои от триъгълниците, показани на фигурата, са равнобедрени, назовете техните основи и страни, а също така изчислете периметъра им.

3. Периметърът на равнобедрен триъгълник е 21 см. Намерете страните на този триъгълник, ако една от тях е по-голяма с 3 см. Колко решения може да има тази задача?

4. Известно е, че ако страничната страна и ъгълът срещу основата на единия равнобедрен триъгълник са равни на страничната страна и ъгъла на другия, то тези триъгълници ще бъдат равни. Докажете това твърдение.

5. Помислете и ми кажете, равностранен ли е всеки равнобедрен триъгълник? И дали всеки равностранен триъгълник ще бъде равнобедрен?

6. Ако страните на равнобедрен триъгълник са 4 m и 5 m, какъв ще бъде периметърът му? Колко решения може да има този проблем?

7. Ако един от ъглите на равнобедрен триъгълник е 91 градуса, на какво са равни останалите ъгли?

8. Помислете и отговорете какви ъгли трябва да има триъгълникът, за да бъде едновременно правоъгълен и равнобедрен?

Колко хора знаят какво е триъгълникът на Паскал? Проблемът с триъгълника на Паскал често се иска за тестване на основни умения за програмиране. Като цяло триъгълникът на Паскал принадлежи към комбинаториката и теорията на вероятностите. И така, какъв е този триъгълник?

Триъгълникът на Паскал е безкраен аритметичен триъгълник или таблица с форма на триъгълник, която се формира с помощта на биномни коефициенти. С прости думи горната част и страните на този триъгълник са единици, а самият той е изпълнен със сумите на двете числа, които се намират по-горе. Можете да добавите такъв триъгълник до безкрайност, но ако го очертаете, тогава ще получим равнобедрен триъгълник със симетрични линии около вертикалната му ос.

Помислете и къде Ежедневиетосрещали ли сте равнобедрен триъгълник? Не е ли вярно, че покривите на къщите и древните архитектурни постройки много напомнят за тях? И не забравяйте, каква е основата на египетските пирамиди? Къде другаде сте срещали равнобедрени триъгълници?

От древни времена равнобедрените триъгълници са помагали на гърците и египтяните при определянето на разстояния и височини. Например, древните гърци са го използвали, за да определят отдалеч разстоянието до кораб в морето. А древните египтяни определяли височината на своите пирамиди поради дължината на хвърляната сянка. беше равнобедрен триъгълник.

От древни времена хората вече оцениха красотата и практичността на тази фигура, тъй като формите на триъгълници ни заобикалят навсякъде. Преминавайки през различни села, виждаме покривите на къщи и други конструкции, които ни напомнят за равнобедрен триъгълник, влизайки в магазин, попадаме на опаковки с храна и сокове с триъгълна форма, дори някои човешки лица имат формата на триъгълник. Тази фигура е толкова популярна, че може да се намери на всяка крачка.

Предмети> Математика> 7 клас Математика

Триъгълник с две равни една на друга страни се нарича равнобедрен. Тези страни се наричат странични, а третата страна се нарича основа. В тази статия ще ви разкажем за свойствата на равнобедрен триъгълник.

Теорема 1

Ъглите близо до основата на равнобедрен триъгълник са равни един на друг

Доказателство на теоремата.

Да приемем, че имаме равнобедрен триъгълник ABC, чиято основа е AB. Нека да разгледаме триъгълника BAC. Тези триъгълници по първия знак са равни един на друг. Така е, защото BC = AC, AC = BC, ъгъл ACB = ъгъл ACB. От това следва, че ъгълът BAC = ъгъл ABC, защото това са съответните ъгли на равните ни триъгълници. Ето свойството на ъглите на равнобедрен триъгълник.

Теорема 2

Медианата в равнобедрен триъгълник, която е изтеглена към основата му, също е височината и ъглополовящата

Доказателство на теоремата.

Да кажем, че имаме равнобедрен триъгълник ABC, чиято основа е AB, а CD е медианата, която сме начертали до основата му. В триъгълници ACD и BCD ъгълът CAD = ъгъл CBD, както и съответните ъгли в основата на равнобедрен триъгълник (теорема 1). И страна AC = страна BC (по дефиниция на равнобедрен триъгълник). Страна AD = страна BD, тъй като точка D разделя отсечката AB на равни части. Оттук следва, че триъгълник ACD = триъгълник BCD.

От равенството на тези триъгълници имаме равенство на съответните ъгли. Тоест ъгъл ACD = ъгъл BCD и ъгъл ADC = ъгъл BDC. Равенство 1 предполага, че CD е ъглополовяща. А ъгълът на ADC и ъгълът на BDC са съседни ъгли, а равенство 2 предполага, че и двете са прави. Оказва се, че CD е височината на триъгълника. Това е свойството на медианата на равнобедрен триъгълник.

И сега малко за знаците на равнобедрен триъгълник.

Теорема 3

Ако в триъгълника два ъгъла са равни един на друг, тогава такъв триъгълник е равнобедрен

Доказателство на теоремата.

Да кажем, че имаме триъгълник ABC, в който ъгълът CAB = ъгъл CBA. Триъгълник ABC = Триъгълник BAC за втория знак за равенство между триъгълниците. Наистина, AB = BA; ъгъл CBA = ъгъл CAB, ъгъл CAB = ъгъл CBA. От това равенство на триъгълниците имаме равенство на съответните страни на триъгълника - AC = BC. Тогава се оказва, че триъгълникът ABC е равнобедрен.

Теорема 4

Ако в някой триъгълник неговата медиана е и неговата височина, тогава такъв триъгълник е равнобедрен

Доказателство на теоремата.

В триъгълник ABC изчертаваме медианата CD. Ще бъде и височината. Правоъгълен триъгълник ACD = правоъгълен триъгълник BCD, тъй като катет CD е общ за тях, а катет AD = катет BD. От това следва, че техните хипотенузи са равни една на друга, като съответните части на равни триъгълници. Това означава, че AB = BC.

Теорема 5

Ако три страни на триъгълник са равни на три страни на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са равни

Доказателство на теоремата.

Да предположим, че имаме триъгълник ABC и триъгълник A1B1C1 такива, че страните са AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Разгледайте доказателството на тази теорема от противоречие.

Да кажем, че тези триъгълници не са равни един на друг. Оттук имаме, че ъгълът BAC не е равен на ъгъла B1A1C1, ъгълът ABC не е равен на ъгъла A1B1C1, ъгълът ACB не е равен на ъгъла A1C1B1 в същото време. В противен случай тези триъгълници биха били равни въз основа на горното.

Да кажем триъгълник A1B1C2 = триъгълник ABC. В триъгълник връх C2 лежи с връх C1 спрямо права линия A1B1 в една полуравнина. Приехме, че върховете C2 и C1 не съвпадат. Да предположим, че точка D е средата на отсечка C1C2. Така че имаме равнобедрени триъгълници B1C1C2 и A1C1C2, които имат обща основа C1C2. Оказва се, че техните медиани B1D и A1D са и техните височини. Това означава, че правата B1D и правата A1D са перпендикулярни на правата C1C2.

B1D и A1D имат различни точки B1 и A1, и съответно, не могат да бъдат еднакви. Но в края на краищата през точка D от права C1C2 можем да начертаем само една права, перпендикулярна на нея. Имаме противоречие.

Сега знаете какви са свойствата на равнобедрен триъгълник!

Равнобедрен триъгълнике триъгълник, в който дължините на двете му страни са равни.

Забележка... От определението за равнобедрен триъгълник следва, че правилният триъгълник също е равнобедрен. Трябва обаче да се помни, че обратното не е вярно.

Свойства на равнобедрен триъгълник

Свойствата по-долу се използват за решаване на проблеми. Тъй като са широко известни, те са предназначени да се обясняват сами. Поради това в текстовете на задачите препратката към тях е пропусната.

Ъгли са равнимежду тях.
Бисектриси, медиани и височининачертан от ъгли, противоположни на равни страни на триъгълника, са равнимежду тях.
Бисектриса, медиана и височинапренесени до базата, съвпадамежду тях.
Центровете на вписаната и описаната окръжностлежат на височината, ъглополовящата и медианата (те съвпадат), изтеглени към основата.
Ъглипротивоположни на равни страни на равнобедрен триъгълник, винаги остър.

Страните в равнобедрен триъгълник могат да бъдат изчислени с помощта на формули, изразяващи тяхната дължина чрез други страни и ъгли, чиято големина е известна.

Страничната страна на равнобедрен триъгълник е равна на частното от деленето на основата на двойния косинус на ъгъла в основата (Формула 1). Тази идентичност може да бъде получена чрез прости трансформации от косинусовата теорема.

Основата на равнобедрен триъгълник е равна на произведението на страничната страна и квадратния корен от удвоената разлика между единицата и косинуса на ъгъла при върха (Формула 2)

Основата на равнобедрен триъгълник е равна на двойното произведение на страничната страна и синуса на половината от ъгъла на върха. (Формула 3)

Основата на равнобедрен триъгълник е равна на двойното произведение на страничната страна и косинуса на ъгъла в основата му (Формула 4).

Радиусът на вписаната окръжност в равнобедрен триъгълник

Обозначенията във формулите могат да се видят на фигурата по-горе.

Радиусът на вписаната окръжност за равнобедрен триъгълник може да се намери въз основа на размерите на основата и всяка страна. (Формула 1)

Радиусът на вписаната окръжност за равнобедрен триъгълник може да се определи въз основа на стойностите на основата и височината, изтеглена към тази основа (Формула 2)

Радиусът на окръжност, вписана в равнобедрен триъгълник, може да се изчисли и чрез дължината на страничната страна и височината, изтеглена до основата на триъгълника (Формула 3)

Познаването на ъгъла между страните и дължината на основата също ви позволява да определите радиуса на вписаната окръжност (Формула 4)

Подобна формула (5) ви позволява да определите радиуса на вписаната окръжност през страните и ъгъла между тях

Признаци на равнобедрен триъгълник

Триъгълник, който има следните характеристики е равнобедрен.

Два ъгъла на триъгълник са равни
Височината съвпада с медианата
Височината съвпада с ъглополовящата
Симетралата съвпада със медианата
Две височини са равни
Две медиани са равни
Две ъглополовящи са равни

Площ на равнобедрен триъгълник

Площта на равнобедрен триъгълник се намира по следните формули:

,
където
а- дължината на една от двете равни страни на триъгълника
б- дължина на основата
α - стойността на един от двата равни ъгъла в основата

β - стойността на ъгъла между равните страни на триъгълника и противоположната на неговата основа.

Свойствата на равнобедрен триъгълник изразяват следните теореми.

Теорема 1. В равнобедрен триъгълник ъглите в основата са равни.

Теорема 2. В равнобедрен триъгълник ъглополовящата към основата е медиана и височина.

Теорема 3. В равнобедрен триъгълник медианата, проведена към основата, е ъглополовящата и височината.

Теорема 4. В равнобедрен триъгълник височината, изтеглена към основата, е ъглополовящата и медианата.

Нека докажем едно от тях, например теорема 2.5.

Доказателство. Разгледайте равнобедрен триъгълник ABC с основа BC и докажете, че ∠ B = ∠ C. Нека AD е ъглополовящата на триъгълник ABC (фиг. 1). Триъгълниците ABD и ACD са равни по първия знак за равенство на триъгълниците (AB = AC по условие, AD е обща страна, ∠ 1 = ∠ 2, тъй като AD е ъглополовяща). От равенството на тези триъгълници следва, че ∠ B = ∠ C. Теоремата е доказана.

С помощта на теорема 1 се установява следната теорема.

Теорема 5. Третият критерий за равенство на триъгълниците. Ако три страни на един триъгълник са съответно равни на три страни на друг триъгълник, то такива триъгълници са равни (фиг. 2).

Коментирайте. Изреченията, изложени в примери 1 и 2, изразяват свойствата на средната точка, перпендикулярна на отсечката. От тези изречения следва, че средните перпендикуляри на страните на триъгълника се пресичат в една точка.

Пример 1.Докажете, че точката на равнината, еднакво отдалечена от краищата на отсечката, лежи върху перпендикуляра на този сегмент.

Решение. Нека точка M е еднакво отдалечена от краищата на отсечката AB (фиг. 3), т.е. AM = BM.

Тогава Δ AMB е равнобедрен. Нека начертаем права линия p през точка M и средата O на отсечка AB. Отсечката MO по конструкция е медианата на равнобедрения триъгълник AMB и следователно (теорема 3), а височината, тоест правата MO, е медианата, перпендикулярна на отсечката AB.

Пример 2.Докажете, че всяка точка от перпендикуляра на отсечката е еднакво отдалечена от краищата му.

Решение. Нека p е средната точка, перпендикулярна на отсечката AB, а точка O - средата на отсечката AB (виж фиг. 3).

Да разгледаме произволна точка M, лежаща на правата p. Нека начертаем сегментите AM и VM. Триъгълниците AOM и PTO са равни, тъй като имат прави ъгли при върха O, катет OM е често срещан, а катет OA е равен на крак OB по условие. От равенството на триъгълниците AOM и PTO следва, че AM = BM.

Пример 3.В триъгълник ABC (виж фиг. 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; в триъгълник DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.

Сравнете триъгълниците ABC и DEF. Намерете съответно равни ъгли.

Решение. Тези триъгълници са равни в третия атрибут. Съответно равни ъгли: A и E (лежат срещу равните страни BC и FD), B и F (лежат срещу равните страни AC и DE), C и D (лежат срещу равните страни AB и EF).

Пример 4.На фигура 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100 °.

Намерете ъгъл D.

Решение. Помислете за триъгълници ABC и ADC. Те са равни според третия критерий (AB = DC, BC = AD по условие и AC страната е обща). От равенството на тези триъгълници следва, че ∠ В = ∠ D, но ъгълът B е равен на 100 °, което означава, че ъгълът D е равен на 100 °.

Пример 5.В равнобедрен триъгълник ABC с основа AC външният ъгъл при връх C е 123 °. Намерете ъгъла ABC. Дайте отговора си в градуси.

Видео решение.

Свойства на равнобедрен триъгълник.
Признаци на равнобедрен триъгълник.
Формули на равнобедрен триъгълник:
- формули за дължина на страната;
- формули за дължина на равни страни;
- формули за височина, медиана, ъглополовяща на равнобедрен триъгълник.

Равнобедрен триъгълник е триъгълник, чиито две страни са равни. Тези партии се наричат страничена третото лице е основа.

AB = BC - странични страни

AC - база

Свойства на равнобедрен триъгълник

Свойствата на равнобедрен триъгълник се изразяват чрез 5 теореми:

Теорема 1.В равнобедрен триъгълник ъглите в основата са равни.

Доказателство на теоремата:

Да разгледаме равнобедрен Δ ABC с фондацията КАТО .

Страните са равни AB = слънце ,

Следователно ъглите в основата ∠ BАC = ∠ BCA .

Теорема за ъглополовящата, медиана, височина, начертана до основата на равнобедрен триъгълник

Теорема 2.В равнобедрен триъгълник ъглополовящата, изтеглена към основата, е медиана и височина.
Теорема 3.В равнобедрен триъгълник медианата, изтеглена към основата, е ъглополовящата и височината.
Теорема 4.В равнобедрен триъгълник височината, изтеглена към основата, е ъглополовящата и медиана.

Доказателство на теоремата:

Дан Δ ABC .
От точка V нека задържим височината BD.
Триъгълникът е разделен на Δ ABD и Δ CBD. Тези триъгълници са равни, защото тяхната хипотенуза и общ катет са равни ().
Директен КАТО и BD се наричат перпендикулярни.
B Δ ABD и Δ BCD ∠ ЛОШО = ∠ BСD (от теорема 1).
AB = BC - страните са равни.
Парти АД = компактдиск, от точка д разделя сегмента наполовина.
Следователно Δ ABD = Δ BCD.
Симетралата, височината и медианата са един сегмент - BD

Изход:

Височината на равнобедрен триъгълник, изтеглена към основата, е медиана и ъглополовяща.
Медианата на равнобедрен триъгълник, изтеглена към основата, е височината и ъглополовящата.
Симетралата на равнобедрен триъгълник, изтеглена към основата, е медианата и височината.

Помня!Когато решавате такива задачи, намалете височината до основата на равнобедрения триъгълник. Да го разделим на две равни правоъгълен триъгълник.

Теорема 5.Ако три страни на един триъгълник са равни на три страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

Доказателство на теоремата:

Дадени са две Δ ABC и Δ A 1 B 1 C 1. Страни AB = A 1 B 1; ВС = B1C1; AC = A 1 C 1.

Доказателство от противоречие.

Нека триъгълниците не са равни (иначе триъгълниците бяха равни в първия атрибут).
Нека Δ A 1 B 1 C 2 = Δ ABC, чийто връх C 2 лежи в същата полуравнина с връх C 1 спрямо правата линия A 1 B 1. По предположение върховете C 1 и C 2 не съвпадат. Нека D е средата на отсечката C 1 C 2. Δ A 1 C 1 C 2 и Δ B 1 C 1 C 2 са равнобедрени с обща основа C 1 C 2. Следователно техните медиани A 1 D и B 1 D са височини. Следователно, линиите A 1 D и B 1 D са перпендикулярни на правата C 1 C 2. A 1 D и B 1 D имат различни точки A 1 и B 1, следователно не съвпадат. Но през точка D на права линия C 1 C 2 може да се проведе само една права линия, перпендикулярна на нея.
От тук стигнахме до противоречие и доказахме теоремата.