త్రిభుజం కోణం యొక్క ద్విభాగం ఏమిటి? ఈ ప్రశ్నకు, కొంతమంది చెడ్డ ఎలుక మూలల చుట్టూ పరుగెత్తుతూ మూలను సగానికి విభజించడం ద్వారా వారి నాలుక నుండి బయటపడతారు. "సమాధానం" హాస్యపూరితమైనది "అయితే, అది సరైనదే కావచ్చు. కానీ శాస్త్రీయ కోణం నుండి, ది ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం ఇలా అనిపించాలి: మూలలో శిఖరం వద్ద ప్రారంభించి, రెండోదాన్ని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించడం. జ్యామితిలో, ఈ సంఖ్య త్రిభుజానికి ఎదురుగా ఖండన చేయడానికి ముందు ద్విభాగం యొక్క విభాగంగా కూడా గ్రహించబడుతుంది. ఇది తప్పుడు అభిప్రాయం కాదు. మరియు యాంగిల్ బైసెక్టర్ గురించి దాని నిర్వచనం కాకుండా ఇంకా ఏమి తెలుసు?

పాయింట్ల యొక్క ఏదైనా రేఖాగణిత ప్రదేశం వలె, ఇది దాని స్వంత లక్షణాలను కలిగి ఉంది. వాటిలో మొదటిది లక్షణం కాదు, సిద్ధాంతం, దీనిని క్లుప్తంగా ఈ విధంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు: "ద్విభాగం ఎదురుగా ఉన్న భాగాన్ని రెండు భాగాలుగా విభజిస్తే, వాటి నిష్పత్తి పెద్ద వైపుల నిష్పత్తికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. త్రిభుజం. "

ఇది కలిగి ఉన్న రెండవ ఆస్తి: అన్ని కోణాల ద్విభాగాల ఖండన బిందువును ప్రోత్సాహకం అంటారు.

మూడవ సంకేతం: త్రిభుజం యొక్క ఒక లోపలి మరియు రెండు వెలుపలి మూలల ద్విభాగాలు దానిలోని మూడు లిఖిత వృత్తాలలో ఒకటి మధ్యలో కలుస్తాయి.

త్రిభుజం కోణం యొక్క ద్విభాగం యొక్క నాల్గవ ఆస్తి ఏమిటంటే, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి సమానంగా ఉంటే, తరువాతి ఐసోసెల్స్.

ఐదవ సంకేతం కూడా వర్తిస్తుంది సమద్విబాహు త్రిభుజంమరియు ద్విపద ద్వారా డ్రాయింగ్‌లో దాని గుర్తింపు కోసం ప్రధాన సూచన పాయింట్, అవి: ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజంలో, ఇది ఏకకాలంలో మధ్యస్థం మరియు ఎత్తు పాత్రను పోషిస్తుంది.

కోణం యొక్క ద్విభాగాన్ని దిక్సూచి మరియు పాలకుడు ఉపయోగించి ప్లాట్ చేయవచ్చు:

అందుబాటులో ఉన్న ద్విభాగాలతో మాత్రమే త్రిభుజాన్ని నిర్మించడం అసాధ్యమని ఆరవ నియమం చెబుతుంది, అలాగే ఈ విధంగా ఒక క్యూబ్‌ని రెట్టింపు చేయడం, వృత్తాన్ని చతురస్రం చేయడం మరియు కోణంలోని త్రిశంకాన్ని నిర్మించడం అసాధ్యం. ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, ఇవన్నీ త్రిభుజం కోణం యొక్క ద్విభాగం యొక్క లక్షణాలు.

మీరు మునుపటి పేరాను జాగ్రత్తగా చదివితే, బహుశా మీరు ఒక పదబంధంపై ఆసక్తి కలిగి ఉంటారు. "కోణం యొక్క త్రికరణం అంటే ఏమిటి?" - మీరు బహుశా అడగండి. ట్రైసెక్టర్ బైసెక్టర్‌తో సమానంగా ఉంటుంది, కానీ మీరు చివరిదాన్ని గీస్తే, కోణం రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించబడుతుంది మరియు త్రిశంకాన్ని నిర్మించేటప్పుడు - మూడు. సహజంగా, యాంగిల్ బైసెక్టర్ గుర్తుంచుకోవడం సులభం, ఎందుకంటే పాఠశాలలో ట్రిసెక్షన్ బోధించబడదు. కానీ పరిపూర్ణత కొరకు, నేను దాని గురించి మీకు చెప్తాను.

ట్రైసెక్టర్, నేను చెప్పినట్లుగా, దిక్సూచి మరియు పాలకుడితో మాత్రమే నిర్మించబడదు, కానీ దీనిని ఫుజిటా నియమాలు మరియు కొన్ని వక్రతలు ఉపయోగించి సృష్టించవచ్చు: పాస్కల్ యొక్క నత్త, క్వాడ్రిక్స్, నికోమెడ్ కాంకాయిడ్, శంఖం విభాగాలు,

యాంగిల్ ట్రిసెక్షన్ సమస్యలను నెవిసిస్ ఉపయోగించి సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు.

జ్యామితిలో, ఒక కోణం యొక్క త్రిశక్తుల గురించి ఒక సిద్ధాంతం ఉంది. దీనిని మోర్లే (మోర్లే) సిద్ధాంతం అంటారు. ప్రతి మూలలోని మధ్య త్రికోణాల ఖండన బిందువులు శీర్షాలుగా ఉంటాయని ఆమె పేర్కొంది

పెద్దది లోపల ఉన్న చిన్న నల్ల త్రిభుజం ఎల్లప్పుడూ సమానంగా ఉంటుంది. ఈ సిద్ధాంతాన్ని బ్రిటిష్ శాస్త్రవేత్త ఫ్రాంక్ మోర్లే 1904 లో కనుగొన్నారు.

కోణాన్ని విభజించడం గురించి మీరు ఎంత నేర్చుకోవాలో ఇక్కడ ఉంది: ఒక కోణం యొక్క త్రిశేషిక మరియు ద్విభాగానికి ఎల్లప్పుడూ వివరణాత్మక వివరణలు అవసరం. కానీ ఇక్కడ నేను ఇంకా వెల్లడించని అనేక నిర్వచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి: పాస్కల్ నత్త, నికోమెడెస్ కాంకాయిడ్, మొదలైనవి. భరోసా ఇవ్వండి, వాటి గురించి మరింత వ్రాయవచ్చు.

త్రిభుజం యొక్క ద్విభాగం - త్రిభుజం యొక్క కోణం యొక్క ద్విభాగం యొక్క విభాగం, త్రిభుజం యొక్క శిఖరం మరియు దానికి ఎదురుగా ఉన్న వైపు మధ్య ఉంటుంది.

ద్విభాగ లక్షణాలు

1. త్రిభుజం యొక్క ద్వి కోణం కోణాన్ని రెండుగా విభజిస్తుంది.

2. త్రిభుజం కోణం యొక్క ద్విభాగం రెండు ప్రక్క ప్రక్కల () నిష్పత్తికి సమానమైన నిష్పత్తిలో వ్యతిరేక భాగాన్ని విభజిస్తుంది

3. ఒక త్రిభుజం కోణం యొక్క ద్విభాగం యొక్క పాయింట్లు ఈ కోణం వైపుల నుండి సమానంగా ఉంటాయి.

4. ఒక త్రిభుజం లోపలి కోణాల ద్విభాగాలు ఒక పాయింట్ వద్ద కలుస్తాయి - ఈ త్రిభుజంలో చెక్కబడిన వృత్తం మధ్యలో.

త్రిభుజం యొక్క ద్విభాగానికి సంబంధించిన కొన్ని సూత్రాలు

(ఫార్ములా రుజువు -)
, ఎక్కడ
- వైపుకు డ్రా చేయబడిన ద్విభాగం యొక్క పొడవు,
- వరుసగా శీర్షాలకు వ్యతిరేకంగా త్రిభుజం వైపులా,
- ద్విభాగం వైపును విభజించే విభాగాల పొడవు,

నేను మిమ్మల్ని చూడటానికి ఆహ్వానిస్తున్నాను వీడియో ట్యుటోరియల్, ఇది ద్విభాగం యొక్క అన్ని పైన ఉన్న లక్షణాల అనువర్తనాన్ని ప్రదర్శిస్తుంది.

వీడియోలో కవర్ చేయబడిన పనులు:
1. ABC = 2 cm, BC = 3 cm, AC = 3 cm వైపులా ఉన్న ABC త్రిభుజంలో, Bisector VM డ్రా అవుతుంది. AM మరియు MS విభాగాల పొడవులను కనుగొనండి
2. శీర్షం A లోని లోపలి కోణం మరియు త్రిభుజం ABC యొక్క శిఖరం C వద్ద బాహ్య కోణం యొక్క ద్వి బిందువు M. బిందువు వద్ద కలుస్తాయి. 80 డిగ్రీలు
3. త్రిభుజంలో లిఖించబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి, చదరపు కణాల వైపులా 1 కి సమానంగా పరిగణించండి

బహుశా మీరు ఒక చిన్న వీడియో ట్యుటోరియల్‌పై ఆసక్తి కలిగి ఉంటారు, ఇక్కడ బైసెక్టర్ లక్షణాలలో ఒకటి వర్తింపజేయబడుతుంది

జ్యామితి చాలా కష్టమైన మరియు గందరగోళ శాస్త్రాలలో ఒకటి. అందులో, మొదటి చూపులో స్పష్టంగా కనిపించేది చాలా అరుదుగా సరైనది. ద్విభాగాలు, ఎత్తులు, మధ్యస్థాలు, అంచనాలు, టాంజెంట్‌లు - భారీ సంఖ్యలో నిజంగా కష్టమైన పదాలు, వీటిని గందరగోళానికి గురి చేయడం చాలా సులభం.

నిజానికి, సరైన కోరికతో, మీరు ఏదైనా సంక్లిష్టత సిద్ధాంతాన్ని అర్థం చేసుకోవచ్చు. ద్విభాగం, మధ్యస్థం మరియు ఎత్తు విషయానికి వస్తే, అవి త్రిభుజాలకు ప్రత్యేకమైనవి కాదని మీరు అర్థం చేసుకోవాలి. మొదటి చూపులో, ఇవి సరళ రేఖలు, కానీ వాటిలో ప్రతి దాని స్వంత లక్షణాలు మరియు విధులు ఉన్నాయి, దీని పరిజ్ఞానం రేఖాగణిత సమస్యల పరిష్కారాన్ని చాలా సులభతరం చేస్తుంది. కాబట్టి త్రిభుజం యొక్క ద్విభాగం ఏమిటి?

నిర్వచనం

"బైసెక్టర్" అనే పదం లాటిన్ పదాలు "రెండు" మరియు "కట్", "కట్" ల కలయిక నుండి వచ్చింది, ఇది ఇప్పటికే పరోక్షంగా దాని లక్షణాలను సూచిస్తుంది. సాధారణంగా, పిల్లలను ఈ కిరణానికి పరిచయం చేసినప్పుడు, చిన్న పదబంధాన్ని గుర్తుపెట్టుకోమని వారిని అడుగుతారు: "ద్విభాగం అనేది ఎలుక, ఇది మూలల చుట్టూ నడుస్తుంది మరియు కోణాన్ని సగానికి విభజిస్తుంది." సహజంగా, అటువంటి వివరణ పాత పాఠశాల పిల్లలకు తగినది కాదు, అంతేకాకుండా, వారు సాధారణంగా కోణం గురించి కాదు, రేఖాగణిత వ్యక్తి గురించి అడుగుతారు. కాబట్టి త్రిభుజం యొక్క ద్విభాగం ఒక కోణం, ఇది త్రిభుజం యొక్క శీర్షాన్ని ఎదురుగా కలుపుతుంది, అదే సమయంలో కోణాన్ని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తుంది. ద్విభాగం వచ్చే ఎదురుగా ఉన్న పాయింట్, యాదృచ్ఛికంగా ఏకపక్ష త్రిభుజం కోసం ఎంపిక చేయబడుతుంది.

ప్రాథమిక విధులు మరియు లక్షణాలు

ఈ రే కొన్ని ప్రాథమిక లక్షణాలను కలిగి ఉంది. ముందుగా, ఒక త్రిభుజం యొక్క ద్వి కోణం కోణాన్ని సగానికి విభజిస్తుంది కాబట్టి, దానిపై ఉండే ఏదైనా బిందువు శీర్షం ఏర్పడే వైపుల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది. రెండవది, ప్రతి త్రిభుజంలో, అందుబాటులో ఉన్న కోణాల సంఖ్య ప్రకారం, మూడు ద్విభాగాలను గీయవచ్చు (అందుచేత, అదే చతుర్భుజంలో ఇప్పటికే నాలుగు ఉంటాయి, మరియు అందువలన న). మూడు కిరణాలు కలిసే పాయింట్ త్రిభుజంలో లిఖించబడిన వృత్తం మధ్యలో ఉంటుంది.

ఆస్తులు సంక్లిష్టమవుతాయి

సిద్ధాంతాన్ని కొద్దిగా క్లిష్టతరం చేద్దాం. మరొక ఆసక్తికరమైన ఆస్తి: త్రిభుజం కోణం యొక్క ద్విభాగం ఎదురుగా ఉన్న భాగాన్ని విభాగాలుగా విభజిస్తుంది, దీని నిష్పత్తి శీర్షాన్ని ఏర్పరుస్తున్న వైపుల నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది. మొదటి చూపులో, ఇది కష్టం, కానీ వాస్తవానికి ప్రతిదీ సులభం: ప్రతిపాదిత చిత్రంలో, RL: LQ = PR: PK. మార్గం ద్వారా, ఈ ఆస్తిని "బైసెక్టర్ థియరమ్" అని పిలుస్తారు మరియు మొదట ప్రాచీన గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు యూక్లిడ్ రచనలలో కనిపించింది. మేము అతనిని ఒకదానిలో గుర్తుంచుకున్నాము రష్యన్ పాఠ్యపుస్తకాలుపదిహేడవ శతాబ్దం మొదటి త్రైమాసికంలో మాత్రమే.

ఇది మరింత కష్టం. చతుర్భుజంలో, ద్విభాగం ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని కత్తిరిస్తుంది. ఈ సంఖ్య అన్నింటినీ చూపుతుంది సమాన కోణాలుమధ్యస్థ AF కోసం.

మరియు చతుర్భుజాలు మరియు ట్రాపెజియమ్‌లలో, ఒక వైపు మూలల ద్విభాగాలు ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉంటాయి. ఇలస్ట్రేటెడ్ డ్రాయింగ్‌లో, APB కోణం 90 డిగ్రీలు.

ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజంలో

ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క ద్విభాగం మరింత ఉపయోగకరమైన కిరణం. ఇది ఏకకాలంలో సగానికి కోణ విభజన మాత్రమే కాదు, మధ్యస్థం మరియు ఎత్తు కూడా.

మధ్యస్థం అనేది ఏదో ఒక మూలలో నుండి బయటకు వచ్చి ఎదురుగా ఉన్న మధ్యకు పడి, తద్వారా దానిని సమాన భాగాలుగా విభజిస్తుంది. ఎత్తు అనేది లంబంగా ఎగువ నుండి ఎదురుగా పడిపోయింది, దాని సహాయంతోనే ఏ సమస్యనైనా సరళమైన మరియు ప్రాచీనమైన పైథాగరస్ సిద్ధాంతానికి తగ్గించవచ్చు. ఈ పరిస్థితిలో, త్రిభుజం యొక్క ద్విభాగం హైపోటెన్యూస్ యొక్క చతురస్రం మరియు ఇతర కాలు మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానంగా ఉంటుంది. మార్గం ద్వారా, ఈ ఆస్తి రేఖాగణిత సమస్యలలో ఎక్కువగా ఎదుర్కొంటుంది.

యాంకర్ కోసం: ఈ త్రిభుజంలో, FB అనే ద్విభాగం మధ్యస్థం (AB = BC) మరియు ఎత్తు (కోణాలు FBC మరియు FBA 90 డిగ్రీలు).

రూపురేఖలలో

కాబట్టి మీరు ఏమి గుర్తుంచుకోవాలి? త్రిభుజం యొక్క ద్విభాగం దాని శీర్షాన్ని విభజించే కిరణం. మూడు కిరణాల ఖండన వద్ద ఈ త్రిభుజంలో లిఖించబడిన వృత్తం మధ్యలో ఉంది (ఈ ఆస్తి యొక్క ఏకైక ప్రతికూలత ఏమిటంటే దీనికి ఆచరణాత్మక విలువ లేదు మరియు డ్రాయింగ్ యొక్క సరైన అమలుకు మాత్రమే ఉపయోగపడుతుంది). ఇది ఎదురుగా ఉన్న భాగాన్ని కూడా సెగ్మెంట్లుగా విభజిస్తుంది, దీని రేషియో పాస్ అయిన వైపుల నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది. చతుర్భుజంలో, లక్షణాలు మరింత క్లిష్టంగా మారాయి, కానీ, నేను ఒప్పుకోవాలి, అవి పాఠశాల స్థాయి పనులలో ఆచరణాత్మకంగా జరగవు, అందువల్ల, ప్రోగ్రామ్‌లో అవి సాధారణంగా తాకబడవు.

సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క ద్విభాగం ఏ విద్యార్థి అయినా అంతిమ కల. ఇది మధ్యస్థం (అంటే, ఎదురుగా ఉన్న భాగాన్ని సగానికి విభజిస్తుంది) మరియు ఎత్తు (ఈ వైపుకు లంబంగా). అటువంటి బైసర్‌తో సమస్యలను పరిష్కరించడం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతానికి తగ్గుతుంది.

సగటు మరియు రెండింటి యొక్క రేఖాగణిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ద్విభాగం యొక్క ప్రాథమిక విధులు, అలాగే దాని ప్రాథమిక లక్షణాల పరిజ్ఞానం అవసరం. ఉన్నతమైన స్థానంఇబ్బందులు. వాస్తవానికి, ఈ కిరణం కేవలం ప్లానిమెట్రీలో మాత్రమే కనుగొనబడింది, కాబట్టి దాని గురించి సమాచారాన్ని గుర్తుంచుకోవడం వలన మీరు అన్ని రకాల పనులను ఎదుర్కోవచ్చని అనుమతిస్తుంది.

యాంగిల్ బైసెక్టర్ అంటే ఏమిటి?

1. బెసెక్ట్రిక్స్ అనేది ఎలుక, ఇది మూలల్లో నడుస్తుంది మరియు మూలను రెండుగా విభజిస్తుంది.

2. 
   

   
   

   ద్విభాగ లక్షణాలు

   
   
   

   
   

   a2a1 = cb
   la = c + bcb (b + c + a) (b + ca)
   la = c + b2bc cos2
   లా = హాకోస్ 2
   లా = bca1a2

   ఎక్కడ:
   
   
   

3. కాబట్టి ఏదో))
4. ముడుచుకున్న కోణం యొక్క ఫ్లాట్ కోణం దానిని 2 లంబ కోణాలుగా విభజిస్తుంది
5. ఈ ఎలుక విడిపోతుంది
6. కోణం యొక్క ద్విభాగం (లాటిన్ ద్వి - డబుల్ మరియు సెషియో కటింగ్ నుండి) కోణం యొక్క కొన వద్ద ప్రారంభంతో ఒక రే, కోణాన్ని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తుంది.
7. కోణం యొక్క ద్విభాగం (లాటిన్ ద్వి - డబుల్ మరియు సెషియో కటింగ్ నుండి) కోణం యొక్క కొన వద్ద ప్రారంభంతో ఒక రే, కోణాన్ని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తుంది.
8. బైసెక్టర్ అనేది ఎలుక, ఇది మూలల్లో నడుస్తుంది మరియు మూలను సెక్స్ ద్వారా విభజిస్తుంది.
9. బీమ్ కోణాన్ని 2 సమాన కోణాలుగా విభజిస్తుంది
10. బైసెక్టర్ అనేది ఎలుక, ఇది మూలల చుట్టూ నడుస్తుంది మరియు మూలను రెండుగా విభజిస్తుంది!
    😉
11. కోణం యొక్క ద్విభాగం (లాటిన్ ద్వి - డబుల్ మరియు సెషియో కటింగ్ నుండి) కోణం యొక్క కొన వద్ద ప్రారంభంతో ఒక రే, కోణాన్ని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తుంది.

    కోణం యొక్క ద్విభాగం (దాని కొనసాగింపుతో పాటు) కోణం వైపులా (లేదా వాటి పొడిగింపులు) సమాన దూరంలో ఉన్న బిందువుల స్థానము.
    నిర్వచనం. త్రిభుజం యొక్క కోణం యొక్క ద్విభాగం ఈ కోణం యొక్క ద్విభాగం యొక్క విభాగం, ఇది ఈ శీర్షాన్ని ఎదురుగా ఉన్న బిందువుకు కలుపుతుంది.

    త్రిభుజం యొక్క అంతర్గత కోణాల యొక్క మూడు ద్విభాగాలలో దేనినైనా త్రిభుజం యొక్క ద్విభాగం అంటారు.
    ఒక త్రిభుజం కోణం యొక్క ద్విభాగం రెండు విషయాలలో ఒకదాన్ని సూచించవచ్చు: కిరణం ఈ కోణం యొక్క ద్విభాగం లేదా త్రిభుజం వైపుకు కలిసే ముందు ఈ కోణం యొక్క ద్విభాగం యొక్క భాగాన్ని సూచిస్తుంది.

    ద్విభాగ లక్షణాలు

    త్రిభుజం యొక్క కోణ ద్విభాగం రెండు ప్రక్క ప్రక్కల నిష్పత్తికి సమానమైన నిష్పత్తిలో వ్యతిరేక భాగాన్ని విభజిస్తుంది.
    త్రిభుజం లోపలి మూలల ద్విభాగాలు ఒక దశలో కలుస్తాయి. ఈ బిందువును లిఖిత వృత్తం యొక్క కేంద్రం అంటారు.
    లోపలి మరియు బయటి మూలల ద్విభాగాలు లంబంగా ఉంటాయి.
    త్రిభుజం యొక్క వెలుపలి మూలలోని ద్విభాగం ఎదురుగా కొనసాగితే, ADBD = ACBC.

    త్రిభుజం యొక్క ఒక లోపలి మరియు రెండు వెలుపలి మూలల ద్విభాగాలు ఒక పాయింట్ వద్ద కలుస్తాయి. ఈ బిందువు ఈ త్రిభుజం యొక్క మూడు వృత్తాలలో ఒకదానికి కేంద్రం.
    ఒక త్రిభుజం యొక్క రెండు లోపలి మరియు ఒక వెలుపలి మూలల ద్విభాగాల స్థావరాలు ఒక సరళ రేఖపై ఉంటాయి, ఒకవేళ బయటి మూలలోని బైసర్ త్రిభుజానికి ఎదురుగా సమాంతరంగా లేకపోతే.
    త్రిభుజం యొక్క వెలుపలి మూలల ద్విభాగాలు వ్యతిరేక వైపులా సమాంతరంగా లేకపోతే, వాటి స్థావరాలు ఒక సరళ రేఖపై ఉంటాయి.

    a2a1 = cb
    లా = సి + బిసిబి (బి + సి + ఎ) (బి + సి # 8722; ఎ)
    la = c + b2bc cos2
    లా = హాకోస్ 2 # 8722;
    లా = బిసి # 8722; a1a2

    ఎక్కడ:
    లా అనేది ఒక వైపు ద్విభాగం,
    a, b, c వైపుత్రిభుజం వ్యతిరేకంగా శీర్షాలు A, B, Cవరుసగా,
    al, బైసెక్టర్ lc సైడ్ c ని విభజించే 2 సెగ్మెంట్లు,
    వరుసగా a, b, c శీర్షాల వద్ద త్రిభుజం లోపలి కోణాలు
    హ అనేది త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు a వైపుకు పడిపోయింది.

12. బైసర్ అనేది పాలమ్ ద్వారా కోణాన్ని విభజించే రేఖ
13. కోణం యొక్క ద్విభాగం (లాటిన్ ద్వి - డబుల్ మరియు సెషియో కటింగ్ నుండి) కోణం యొక్క కొన వద్ద ప్రారంభంతో ఒక రే, కోణాన్ని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తుంది.

    కోణం యొక్క ద్విభాగం (దాని కొనసాగింపుతో పాటు) కోణం వైపులా (లేదా వాటి పొడిగింపులు) సమాన దూరంలో ఉన్న బిందువుల స్థానము.

14. బైసెక్టర్ అనేది ఎలుక, ఇది మూలల్లో నడుస్తుంది, కోణాన్ని సగానికి తగ్గిస్తుంది.
15. ద్విభాగం, అటువంటి ఎలుక, మూలల చుట్టూ నడుస్తుంది మరియు కోణాన్ని హిట్ గా విభజిస్తుంది)
16. మూలను సగానికి విభజిస్తుంది
17. దానిని (మూలను) సగానికి విభజించే రేఖ.
18. బైసెక్టర్ అనేది ఎలుక, ఇది మూలల చుట్టూ నడుస్తుంది మరియు వాటిని సగానికి విభజిస్తుంది.

ఈ రోజు చాలా సులభమైన పాఠం అవుతుంది. మేము ఒక వస్తువును మాత్రమే పరిగణిస్తాము - కోణం యొక్క ద్విభాగం - మరియు దాని అతి ముఖ్యమైన ఆస్తిని రుజువు చేస్తుంది, ఇది భవిష్యత్తులో మాకు చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

విశ్రాంతి తీసుకోకండి: కొన్నిసార్లు స్వీకరించాలనుకునే విద్యార్థులు అత్యధిక స్కోరుఅదే OGE లేదా USE లో, మొదటి పాఠంలో వారు ద్విభాగం యొక్క నిర్వచనాన్ని కూడా ఖచ్చితంగా రూపొందించలేరు.

మరియు నిజంగా ఆసక్తికరమైన పనులు చేయడానికి బదులుగా, మేము అలాంటి సాధారణ విషయాలపై సమయం వృధా చేస్తాము. అందువల్ల, చదవండి, చూడండి - మరియు దానిని సేవలోకి తీసుకోండి. :)

స్టార్టర్స్ కోసం, కొద్దిగా వింత ప్రశ్న: కోణం అంటే ఏమిటి? అది నిజం: కోణం అంటే ఒకే బిందువు నుండి బయటకు వచ్చే రెండు కిరణాలు. ఉదాహరణకి:

కోణాల ఉదాహరణలు: పదునైన, నిటారుగా మరియు నేరుగా

మీరు చిత్రం నుండి చూడగలిగినట్లుగా, మూలలు పదునైనవి, నిటారుగా, నిటారుగా ఉంటాయి - ఇప్పుడు అది పట్టింపు లేదు. తరచుగా, సౌలభ్యం కోసం, ప్రతి రేలో అదనపు పాయింట్ గుర్తించబడింది మరియు వారు చెప్పేది, మాకు $ AOB $ కోణం ఉందని ($ \ కోణం AOB $ అని వ్రాయబడింది).

స్పష్టత యొక్క కెప్టెన్ $ OA $ మరియు $ OB $ కిరణాలతో పాటు, మీరు ఎల్లప్పుడూ $ O $ పాయింట్ నుండి కిరణాల సమూహాన్ని గీయవచ్చని సూచిస్తున్నట్లు కనిపిస్తోంది. కానీ వాటిలో ఒక ప్రత్యేకత ఉంటుంది - దీనిని ద్విభాగం అంటారు.

నిర్వచనం. కోణం యొక్క ద్విభాగం ఆ కోణం పైభాగం నుండి నిష్క్రమించి, కోణాన్ని రెండుగా విభజిస్తుంది.

పై కోణాల కోసం, ద్విభాగాలు ఇలా కనిపిస్తాయి:

తీవ్రమైన, నిగనిగలాడే మరియు లంబ కోణాల కోసం ద్విభాగాల ఉదాహరణలు

నిజమైన రేఖాచిత్రాలలో ఒక నిర్దిష్ట కిరణం (మా విషయంలో ఇది $ OM $ రే) ప్రారంభ కోణాన్ని రెండు సమాన కోణాలుగా విభజిస్తుంది, జ్యామితిలో ఒకే సంఖ్యలో కోణాలతో సమాన కోణాలను గుర్తించడం ఆచారం. (మా డ్రాయింగ్‌లో, ఇది ఒక తీవ్రమైన కోణం కోసం 1 ఆర్క్, రెండు మొద్దుబారినప్పుడు, మూడు నేరుగా).

సరే, మేము నిర్వచనాన్ని కనుగొన్నాము. ఇప్పుడు మీరు బైసర్‌కి ఏ లక్షణాలు ఉన్నాయో అర్థం చేసుకోవాలి.

కోణం యొక్క ద్విభాగం యొక్క ప్రధాన ఆస్తి

వాస్తవానికి, ఒక ద్విభాగానికి అనేక గుణాలు ఉన్నాయి. మరియు మేము వాటిని తదుపరి పాఠంలో ఖచ్చితంగా చూస్తాము. కానీ మీరు ఇప్పుడు అర్థం చేసుకోవలసిన ఒక ట్రిక్ ఉంది:

సిద్ధాంతం. కోణం యొక్క ద్విభాగం అనేది ఇచ్చిన కోణం వైపుల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న బిందువుల స్థానము.

గణితం నుండి రష్యన్ భాషలోకి అనువదించబడింది, దీని అర్థం ఒకేసారి రెండు వాస్తవాలు:

1. ఒక నిర్దిష్ట కోణం యొక్క ద్విభాగంలో ఉన్న ఏ బిందువు అయినా ఈ కోణం వైపుల నుండి ఒకే దూరంలో ఉంటుంది.
2. మరియు దీనికి విరుద్ధంగా: ఇచ్చిన కోణం వైపుల నుండి ఒక బిందువు ఒకే దూరంలో ఉంటే, అది ఈ కోణం యొక్క ద్విభాగంపై పడుతుందని హామీ ఇవ్వబడుతుంది.

ఈ స్టేట్‌మెంట్‌లను రుజువు చేసే ముందు, ఒక పాయింట్‌ని స్పష్టం చేద్దాం: వాస్తవానికి, ఒక పాయింట్ నుండి కోణం వైపు దూరం అని దేనిని అంటారు? ఇక్కడ, ఒక పాయింట్ నుండి లైన్ వరకు దూరం యొక్క మంచి పాత నిర్వచనం మాకు సహాయపడుతుంది:

నిర్వచనం. ఒక బిందువు నుండి రేఖకు దూరం అనేది ఇచ్చిన బిందువు నుండి ఆ రేఖకు గీసిన లంబంగా ఉండే పొడవు.

ఉదాహరణకు, $ l $ లైన్ మరియు ఈ లైన్‌లో లేని $ A $ పాయింట్‌ని పరిగణించండి. లంబంగా $ AH $, ఇక్కడ $ H \ l $ లో గీయండి. అప్పుడు ఈ లంబంగా ఉండే పొడవు $ A $ పాయింట్ నుండి సరళ రేఖకు $ l $ దూరం ఉంటుంది.

పాయింట్ నుండి లైన్ వరకు దూరం యొక్క గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యం

ఒక కోణం కేవలం రెండు కిరణాలు, మరియు ప్రతి పుంజం సరళ రేఖ యొక్క భాగం కనుక, ఒక కోణం నుండి కోణం వైపులా దూరం గుర్తించడం సులభం. అవి కేవలం రెండు లంబాలు:

ఒక బిందువు నుండి మూలలో వైపులా ఉన్న దూరాన్ని నిర్ణయించండి

అంతే! దూరం అంటే ఏమిటి మరియు ద్విభాగం అంటే ఏమిటో ఇప్పుడు మనకు తెలుసు. అందువలన, ప్రధాన ఆస్తి రుజువు చేయవచ్చు.

వాగ్దానం చేసినట్లుగా, రుజువును రెండు భాగాలుగా విభజిద్దాం:

1. ద్విభాగంపై ఒక బిందువు నుండి కోణం వైపులా ఉన్న దూరాలు సమానంగా ఉంటాయి

శీర్షం $ O $ మరియు ద్విభాగం $ OM $ తో ఏకపక్ష కోణాన్ని పరిగణించండి:

ఈ పాయింట్ $ M $ మూలలోని వైపుల నుండి అదే దూరంలో ఉందని నిరూపిద్దాం.

రుజువు పాయింట్ $ M $ నుండి లంబ వైపులా లంబంగా గీయండి. వారిని $ M ((H) _ (1)) $ మరియు $ M ((H) _ (2)) $ అని పిలుద్దాం:

మూలలోని వైపులా లంబంగా గీయండి

రెండు వచ్చాయి కుడి త్రిభుజం: $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ మరియు $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $. వారికి సాధారణ హైపోటెన్యూస్ $ OM $ మరియు సమాన కోణాలు ఉన్నాయి:

1. $ \ యాంగిల్ MO ((H) _ (1)) = \ యాంగిల్ MO ((H) _ (2)) షరతుల ప్రకారం $ ($ OM $ ద్విభాగం కనుక);
2. $ \ కోణం M ((H) _ (1)) O = \ కోణం M ((H) _ (2)) O = 90 () circ \ సర్క్ $ ద్వారా నిర్మాణం;
3. $ \ కోణం OM ((H) _ (1)) = \ కోణం OM ((H) _ (2)) = 90 () circ \ సర్క్ - \ కోణం MO ((H) _ (1)) $, అప్పటి నుండి లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణాలు ఎల్లప్పుడూ 90 డిగ్రీలు.

పర్యవసానంగా, త్రిభుజాలు ప్రక్కన మరియు రెండు ప్రక్కనే ఉండే కోణాలతో సమానంగా ఉంటాయి (త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క సంకేతాలను చూడండి). అందువలన, ప్రత్యేకంగా, $ M ((H) _ (2)) = M ((H) _ (1)) $, అనగా పాయింట్ $ O $ నుండి మూలలో వైపులా ఉన్న దూరాలు నిజానికి సమానంగా ఉంటాయి. Q.D. :)

2. దూరాలు సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు పాయింట్ ద్విభాగంపై ఉంటుంది

ఇప్పుడు పరిస్థితి రివర్స్ అయింది. ఈ కోణం వైపుల నుండి ఒక కోణం $ O $ మరియు ఒక పాయింట్ $ M $ సమాన దూరంలో ఇవ్వనివ్వండి:

రే $ OM $ ఒక ద్విభాగం అని నిరూపిద్దాం, అంటే, $ \ కోణం MO ((H) _ (1)) = \ కోణం MO ((H) _ (2)) $.

రుజువు ప్రారంభించడానికి, ఈ రే $ OM $ ని గీయండి, లేకుంటే నిరూపించడానికి ఏమీ ఉండదు:

మూలలో లోపల $ OM $ రే ఖర్చు చేశారు

మళ్లీ మాకు రెండు లంబ త్రిభుజాలు వచ్చాయి: $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ మరియు $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $. సహజంగానే వారు సమానం ఎందుకంటే:

1. హైపోటెన్యూస్ $ OM $ - మొత్తం;
2. కాళ్లు $ M ((H) _ (1)) = M ((H) _ (2)) $ షరతు ప్రకారం (అన్ని తరువాత, $ M $ పాయింట్ మూలలో వైపుల నుండి సమానంగా ఉంటుంది);
3. మిగిలిన కాళ్లు కూడా సమానంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ద్వారా $ OH_ (1) ^ (2) = OH_ (2) ^ (2) = O ((M) ^ (2)) - MH_ (1) ^ (2) $.

అందువలన, త్రిభుజాలు $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ మరియు $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $ మూడు వైపులా ఉంటాయి. ముఖ్యంగా, వాటి కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి: $ \ కోణం MO ((H) _ (1)) = \ కోణం MO ((H) _ (2)) $. మరియు దీని అర్థం $ OM $ ఒక ద్విభాగం.

రుజువును ముగించడానికి, ఫలిత సమాన కోణాలను ఎరుపు వంపులతో గుర్తించాము:

ద్విభాగం $ \ కోణం ((H) _ (1)) O ((H) _ (2)) $ ని రెండు సమానంగా విభజించింది

మీరు గమనిస్తే, సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు. కోణం యొక్క ద్విభాగం ఈ కోణం వైపులా సమానమైన పాయింట్ల స్థానమని మేము నిరూపించాము. :)

ఇప్పుడు మేము పరిభాషపై ఎక్కువ లేదా తక్కువ నిర్ణయం తీసుకున్నాము, ఇది కొత్త స్థాయికి వెళ్లడానికి సమయం. తరువాతి పాఠంలో, ద్విభాగం యొక్క సంక్లిష్ట లక్షణాలను విశ్లేషిస్తాము మరియు నిజమైన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి వాటిని ఎలా ఉపయోగించాలో నేర్చుకుంటాము.