ఏ స్కూల్ ప్రోగ్రామ్‌లో జ్యామితి వంటి సబ్జెక్ట్ ఉందనేది ముఖ్యం కాదు. మనలో ఎవరైనా, విద్యార్థిగా, ఈ క్రమశిక్షణను అధ్యయనం చేసి, కొన్ని సమస్యలను పరిష్కరించారు. కానీ చాలా మందికి, పాఠశాల సంవత్సరాలు వెనుకబడి ఉన్నాయి మరియు పొందిన జ్ఞానంలో కొంత భాగం జ్ఞాపకశక్తి నుండి తొలగించబడుతుంది.

మరియు అకస్మాత్తుగా పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకం నుండి ప్రశ్నకు సమాధానాన్ని కనుగొనాల్సిన అవసరం ఉంటే ఏమి చేయాలి, ఉదాహరణకు, ఎత్తును ఎలా కనుగొనాలి కుడి త్రిభుజం? ఈ సందర్భంలో, ఆధునిక అధునాతన కంప్యూటర్ వినియోగదారు మొదట వెబ్‌ను తెరిచి, తనకు ఆసక్తి ఉన్న సమాచారాన్ని కనుగొంటారు.

త్రిభుజాల గురించి ప్రాథమిక సమాచారం

ఈ రేఖాగణిత అంకె ముగింపు పాయింట్ల వద్ద ఒకదానితో ఒకటి అనుసంధానించబడిన 3 సెగ్మెంట్‌లను కలిగి ఉంటుంది మరియు ఈ పాయింట్ల కాంటాక్ట్ పాయింట్‌లు ఒకే సరళ రేఖపై ఉండవు. త్రిభుజాన్ని రూపొందించే విభాగాలను దాని వైపులా అంటారు. వైపుల కీళ్ళు ఫిగర్ యొక్క టాప్స్, అలాగే దాని మూలలను ఏర్పరుస్తాయి.

కోణాలను బట్టి త్రిభుజాల రకాలు

ఈ సంఖ్య 3 రకాల కోణాలను కలిగి ఉంటుంది: పదునైన, నిటారుగా మరియు నేరుగా. దీనిని బట్టి, త్రిభుజాల మధ్యలో, కింది రకాలు వేరు చేయబడతాయి:

భుజాల పొడవును బట్టి త్రిభుజాల రకాలు

ముందు చెప్పినట్లుగా, ఈ సంఖ్య 3 విభాగాల నుండి కనిపిస్తుంది. వాటి పరిమాణం ఆధారంగా, క్రింది రకాల త్రిభుజాలు వేరు చేయబడతాయి:

లంబ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తును ఎలా కనుగొనాలి

లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క రెండు సారూప్య భుజాలు, వాటి స్వంత సంపర్కం వద్ద లంబ కోణాన్ని ఏర్పరుస్తాయి, వీటిని కాళ్లు అంటారు. వాటిని కలిపే విభాగాన్ని "హైపోటెన్యూస్" అంటారు. ఇచ్చిన రేఖాగణిత చిత్రంలో ఎత్తును కనుగొనడానికి, మీరు లంబ కోణం ఎగువ నుండి హైపోటెన్యూస్‌కు రేఖను వదలాలి. వీటన్నిటితో, ఈ రేఖ 90 కోణాన్ని విభజించాలా? సరిగ్గా సగానికి. అటువంటి విభాగాన్ని ద్విభాగం అంటారు.

పై చిత్రం లంబ కోణ త్రిభుజాన్ని చూపుతుంది, దీని ఎత్తు మనం లెక్కించాల్సి ఉంటుంది. ఇది అనేక విధాలుగా చేయవచ్చు:

మీరు త్రిభుజం చుట్టూ ఒక వృత్తాన్ని గీసి, వ్యాసార్థం గీస్తే, దాని విలువ హైపోటెన్యూస్ విలువలో సగం ఉంటుంది. దీని ఆధారంగా, లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తును సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:

నిజానికి, ఇది అంత భయానకంగా లేదు. వాస్తవానికి, సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ యొక్క "నిజమైన" నిర్వచనాలు వ్యాసంలో చూడాలి. కానీ మీరు నిజంగా కోరుకోవడం లేదు, సరియైనదా? మేము సంతోషించవచ్చు: లంబ కోణ త్రిభుజం గురించి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, మీరు ఈ క్రింది సాధారణ విషయాలను పూరించవచ్చు:

మరియు మూలలో ఏమిటి? మూలకు ఎదురుగా ఉన్న కాలు ఉందా అంటే, వ్యతిరేక కాలు (మూలకు)? తప్పకుండా కలిగి! ఇది కాలు!

కానీ కోణం గురించి ఏమిటి? దగ్గరగా చూడండి. ఏ కాలు మూలకు ఆనుకుని ఉంది? వాస్తవానికి, కాలు. అందువల్ల, కోణం కోసం, కాలు ప్రక్కనే ఉంది, మరియు

ఇప్పుడు, శ్రద్ధ! మాకు ఏమి లభించిందో చూడండి:

ఎంత గొప్పదో మీరు చూస్తారు:

ఇప్పుడు టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌కి వెళ్దాం.

నేను ఇప్పుడు దానిని పదాలలో ఎలా వ్రాయగలను? మూలకు సంబంధించి కాలు అంటే ఏమిటి? ఎదురుగా, వాస్తవానికి - ఇది మూలకు ఎదురుగా "ఉంది". మరియు కాలు? మూలకు ప్రక్కనే. కాబట్టి మేము ఏమి చేసాము?

న్యూమరేటర్ మరియు హారం తిరగబడినట్లు చూడండి?

ఇప్పుడు మళ్లీ మూలలు మరియు మార్పిడి చేసారు:

సారాంశం

మనం నేర్చుకున్న ప్రతిదాన్ని క్లుప్తంగా వ్రాద్దాం.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం:

లంబ కోణ త్రిభుజం గురించి ప్రధాన సిద్ధాంతం పైథాగరస్ సిద్ధాంతం.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం

మార్గం ద్వారా, కాళ్లు మరియు హైపోటెన్యూస్ అంటే ఏమిటో మీకు బాగా గుర్తుందా? కాకపోతే, చిత్రాన్ని చూడండి - మీ జ్ఞానాన్ని రిఫ్రెష్ చేయండి

మీరు ఇప్పటికే పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని చాలాసార్లు ఉపయోగించుకునే అవకాశం ఉంది, కానీ అలాంటి సిద్ధాంతం ఎందుకు నిజం అని మీరు ఎప్పుడైనా ఆలోచిస్తున్నారా? నేను దానిని ఎలా నిరూపించగలను? ప్రాచీన గ్రీకుల మాదిరిగానే చేద్దాం. ఒక వైపు ఒక చతురస్రాన్ని గీద్దాం.

మేము దాని వైపులా పొడవుగా ఎంత తెలివిగా విభజించామో మీరు చూస్తారు మరియు!

ఇప్పుడు గుర్తించబడిన పాయింట్లను కనెక్ట్ చేద్దాం

అయితే, ఇక్కడ మేము వేరే విషయాన్ని గుర్తించాము, కానీ మీరే డ్రాయింగ్‌ని చూసి, ఇది ఎందుకు అని ఆలోచించండి.

పెద్ద చతురస్రం యొక్క వైశాల్యం ఏమిటి?

కుడి,.

చిన్న ప్రాంతం?

వాస్తవానికి,.

నాలుగు మూలల మొత్తం వైశాల్యం మిగిలి ఉంది. మేము ఒకేసారి ఇద్దరిని తీసుకొని, హైపోటెనస్‌తో ఒకదానికొకటి వాలుతున్నామని ఊహించుకోండి.

ఏం జరిగింది? రెండు దీర్ఘచతురస్రాలు. దీని అర్థం "స్క్రాప్స్" యొక్క ప్రాంతం సమానంగా ఉంటుంది.

ఇప్పుడు అన్నింటినీ కలిపి ఉంచుదాం.

మార్చుకుందాం:

కాబట్టి మేము పైథాగరస్‌ను సందర్శించాము - మేము అతని సిద్ధాంతాన్ని పురాతన రీతిలో నిరూపించాము.

లంబ త్రిభుజం మరియు త్రికోణమితి

లంబ కోణ త్రిభుజం కోసం, కింది సంబంధాలు కలిగి ఉంటాయి:

తీవ్రమైన కోణం యొక్క సైన్ హైపోటెన్యూస్‌కు వ్యతిరేక కాలు యొక్క నిష్పత్తికి సమానం

తీవ్రమైన కోణం యొక్క కొసైన్ హైపోటెన్యూస్‌కు ప్రక్కనే ఉన్న కాలు యొక్క నిష్పత్తికి సమానం.

తీవ్రమైన కోణం యొక్క టాంజెంట్ ప్రక్కనే ఉన్న కాలుకు వ్యతిరేక కాలు యొక్క నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది.

తీవ్రమైన కోణం యొక్క కోటాంజెంట్ ప్రక్కనే ఉన్న లెగ్‌కు వ్యతిరేక కాలుకు నిష్పత్తికి సమానం.

మరియు మరోసారి, ఇవన్నీ ఒక ప్లేట్ రూపంలో ఉంటాయి:

ఇది చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది!

లంబ కోణ త్రిభుజాలకు సమానత్వ పరీక్షలు

I. రెండు కాళ్లపై

II. లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్ మీద

III హైపోటెన్యూస్ మరియు తీవ్రమైన కోణం ద్వారా

IV. కాలు మరియు పదునైన మూలలో

a)

b)

శ్రద్ధ! కాళ్లు "తగినవి" అని ఇక్కడ చాలా ముఖ్యం. ఉదాహరణకు, ఇది ఇలా ఉంటే:

అప్పుడు ట్రయాంగిల్స్ సమానంగా లేవు, వారు ఒకే తీవ్రమైన కోణాన్ని కలిగి ఉన్నప్పటికీ.

అవసరం రెండు త్రిభుజాలలో, కాలు ప్రక్కనే ఉంది లేదా రెండు త్రిభుజాలలో, ఎదురుగా ఉంటుంది.

త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క సాధారణ సంకేతాల నుండి లంబ త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క సంకేతాలు ఎలా భిన్నంగా ఉంటాయో మీరు గమనించారా?

"సాధారణ" త్రిభుజాల సమానత్వం కోసం, వాటి మూడు అంశాల సమానత్వం అవసరం అనే అంశంపై శ్రద్ధ వహించండి: రెండు వైపులా మరియు వాటి మధ్య ఒక కోణం, రెండు కోణాలు మరియు వాటి మధ్య ఒక వైపు, లేదా మూడు వైపులా.

కానీ లంబ కోణ త్రిభుజాల సమానత్వం కోసం, రెండు సంబంధిత అంశాలు మాత్రమే సరిపోతాయి. గొప్పది, కాదా?

లంబ కోణ త్రిభుజాల సారూప్యత సంకేతాలతో పరిస్థితి దాదాపు ఒకే విధంగా ఉంటుంది.

లంబ కోణ త్రిభుజాల సారూప్యత సంకేతాలు

I. పదునైన మూలలో

II. రెండు కాళ్ల మీద

III లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్ మీద

లంబ త్రిభుజంలో మధ్యస్థం

ఇది ఎందుకు అలా?

లంబ కోణ త్రిభుజానికి బదులుగా మొత్తం దీర్ఘచతురస్రాన్ని పరిగణించండి.

ఒక వికర్ణాన్ని గీయండి మరియు ఒక బిందువును పరిశీలిద్దాం - వికర్ణాల ఖండన బిందువు. దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వికర్ణాల గురించి ఏమి తెలుసు?

మరియు దీని నుండి ఏమి అనుసరిస్తుంది?

కాబట్టి అది తేలింది

1. - మధ్యస్థం:

ఈ వాస్తవాన్ని గుర్తుంచుకో! చాలా సహాయపడుతుంది!

మరింత ఆశ్చర్యకరమైన విషయం ఏమిటంటే, సంభాషణ కూడా నిజం.

హైపోటెన్యూస్‌కు డ్రా అయిన మధ్యస్థం హైపోటెన్యూస్‌లో సగం సమానం కావడం వల్ల మీరు ఎలాంటి ప్రయోజనాన్ని పొందగలరు? చిత్రాన్ని చూద్దాం

దగ్గరగా చూడండి. మన దగ్గర ఉంది: కానీ ఒక త్రిభుజంలో ఒకే ఒక్క బిందువు ఉంటుంది, త్రిభుజంలోని మూడు శీర్షాల సమాన దూరాలు, మరియు ఇది నిర్వచించబడిన వృత్తం యొక్క కేంద్రం. కాబట్టి ఏమి జరిగింది?

దీనితో ప్రారంభిద్దాం "కాకుండా ..."

చూద్దాం మరియు.

కానీ అలాంటి త్రిభుజాలలో అన్ని కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి!

అదే మరియు గురించి చెప్పవచ్చు

ఇప్పుడు దానిని కలిసి గీయండి:

ఈ "ట్రిపుల్" సారూప్యత నుండి ఎలాంటి ప్రయోజనం పొందవచ్చు.

సరే, ఉదాహరణకు - లంబ త్రిభుజం ఎత్తు కోసం రెండు సూత్రాలు.

సంబంధిత పార్టీల సంబంధాన్ని వ్రాద్దాం:

ఎత్తును కనుగొనడానికి, మేము నిష్పత్తిని పరిష్కరిస్తాము మరియు పొందుతాము మొదటి ఫార్ములా "లంబ త్రిభుజంలో ఎత్తు":

సరే, ఇప్పుడు, ఈ జ్ఞానాన్ని ఇతరులతో వర్తింపజేయడం మరియు కలపడం, మీరు ఏదైనా సమస్యను లంబ కోణ త్రిభుజంతో పరిష్కరిస్తారు!

కాబట్టి, సారూప్యతను వర్తింపజేద్దాం:.

ఇప్పుడు ఏమి జరుగుతుంది?

మళ్ళీ మేము నిష్పత్తిని పరిష్కరిస్తాము మరియు రెండవ ఫార్ములాను పొందుతాము:

ఈ రెండు సూత్రాలు చాలా బాగా గుర్తుంచుకోవాలి మరియు దరఖాస్తు చేయడానికి మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

వాటిని మళ్లీ రాసుకుందాం

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం:

లంబ కోణ త్రిభుజంలో, హైపోటెన్యూస్ యొక్క చతురస్రం కాళ్ల చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం:.

లంబ కోణ త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క సంకేతాలు:

• రెండు కాళ్లపై:
• లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్: లేదా
• లెగ్ మరియు ప్రక్కనే ఉన్న తీవ్రమైన కోణం వెంట: లేదా
• లెగ్ మరియు వ్యతిరేక తీవ్రమైన కోణం వెంట: లేదా
• హైపోటెన్యూస్ మరియు తీవ్రమైన కోణం ద్వారా: లేదా.

లంబ కోణ త్రిభుజాల సారూప్యత సంకేతాలు:

• ఒక పదునైన మూలలో: లేదా
• రెండు కాళ్ల అనుపాతం నుండి:
• లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్ యొక్క అనుపాతం నుండి: లేదా.

లంబ త్రిభుజంలో సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్, కోటాంజెంట్

• లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం యొక్క సైన్ అంటే హైపోటెన్యూస్‌కు వ్యతిరేక కాలు యొక్క నిష్పత్తి:
• లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం యొక్క కొసైన్ అనేది హైపోటెన్యూస్‌కు ప్రక్కనే ఉన్న కాలు యొక్క నిష్పత్తి:
• లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం యొక్క టాంజెంట్ అనేది వ్యతిరేక కాలు ప్రక్కనే ఉన్న దాని నిష్పత్తి:
• లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం యొక్క కోటాంజెంట్ అనేది ప్రక్కనే ఉన్న కాలు యొక్క వ్యతిరేక నిష్పత్తి:.

లంబ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు: లేదా.

లంబ కోణ త్రిభుజంలో, లంబ కోణం యొక్క శీర్షం నుండి గీసిన మధ్యస్థం సగం హైపోటెన్యూస్:.

లంబ త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం:

• కాళ్ల ద్వారా:

ఆస్తి: 1.ఏదైనా లంబ కోణ త్రిభుజంలో, లంబ కోణం నుండి పడిపోయిన ఎత్తు (హైపోటెన్యూస్ ద్వారా) లంబ కోణ త్రిభుజాన్ని మూడు సారూప్య త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది.

ఆస్తి: 2.లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు, హైపోటెన్యూస్‌పై పడిపోతుంది, కాళ్ల హైపోటెన్యూస్‌కి అంచనాల రేఖాగణిత సగటుతో సమానంగా ఉంటుంది (లేదా హైపోటెన్యూస్‌ని ఎత్తు విచ్ఛిన్నం చేసే విభాగాల రేఖాగణిత సగటు).

ఆస్తి: 3.లెగ్ హైపోటెన్యూస్ యొక్క రేఖాగణిత సగటు మరియు హైపోటెన్యూస్‌కు ఈ లెగ్ ప్రొజెక్షన్‌కు సమానం.

ఆస్తి: 4. 30 డిగ్రీల కోణానికి వ్యతిరేకంగా ఉన్న కాలు సగం హైపోటెన్యూస్‌కు సమానం.

ఫార్ములా 1.

ఫార్ములా 2.హైపోటెన్యూస్ ఎక్కడ ఉంది; , కాళ్ళు.

ఆస్తి: 5.లంబ కోణ త్రిభుజంలో, హైపోటెన్యూస్‌కు డ్రా అయిన మధ్యస్థం దాని సగానికి సమానం మరియు వృత్తాకార వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానం.

ఆస్తి: 6. లంబ కోణ త్రిభుజం వైపులా మరియు మూలల మధ్య ఆధారపడటం:

44. కొసైన్ల సిద్ధాంతం. పర్యవసానాలు: సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వికర్ణాలు మరియు భుజాల మధ్య కనెక్షన్; త్రిభుజం రకాన్ని నిర్ణయించడం; త్రిభుజం యొక్క మధ్యస్థ పొడవును లెక్కించడానికి సూత్రం; త్రిభుజం కోణం యొక్క కొసైన్‌ను లెక్కిస్తోంది.

పని ముగింపు -

ఈ అంశం విభాగానికి చెందినది:

తరగతి. ప్లానిమెట్రీ యొక్క సంభాషణ ప్రోగ్రామ్ ప్రాథమికాలు

ఆస్తి ప్రక్కనే మూలలు.. సరళ రేఖను రూపొందించడానికి ఒక వైపు ఇతర రెండింటికి సాధారణమైతే ప్రక్కనే ఉన్న రెండు కోణాల నిర్వచనం ..

ఒక వేళ నీకు అవసరం అయితే అదనపు పదార్థంఈ అంశంపై, లేదా మీరు వెతుకుతున్నది మీకు దొరకలేదు, మా పని డేటాబేస్‌లో శోధనను ఉపయోగించమని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము:

స్వీకరించిన మెటీరియల్‌తో మేము ఏమి చేస్తాము:

ఈ మెటీరియల్ మీకు ఉపయోగకరంగా మారితే, మీరు దానిని మీ పేజీలో సేవ్ చేయవచ్చు సామాజిక నెట్వర్క్స్:

(ABC)మరియు దాని లక్షణాలు, ఇది చిత్రంలో చూపబడింది. లంబ కోణ త్రిభుజానికి హైపోటెన్యూస్ ఉంటుంది - లంబ కోణానికి ఎదురుగా ఉండే వైపు.

చిట్కా 1: లంబ త్రిభుజంలో ఎత్తును ఎలా కనుగొనాలి

లంబ కోణం ఏర్పడే వైపులను కాళ్లు అంటారు. ఫిగర్ సైడ్ AD, DC మరియు BD, DC- కాళ్లు మరియు వైపులా ASమరియు ఎస్ వి- హైపోటెన్యూస్.

సిద్ధాంతం 1. 30 ° కోణంతో ఒక లంబ కోణ త్రిభుజంలో, ఈ కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న కాలు హైపోటెన్యూస్‌లో సగభాగాన్ని విచ్ఛిన్నం చేస్తుంది.

hC

AB- హైపోటెన్యూస్;

క్రీ.శమరియు DB

త్రిభుజం
ఒక సిద్ధాంతం ఉంది:
వ్యాఖ్యానించే వ్యవస్థ CACKLఇ

పరిష్కారం: 1) ఏదైనా దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వికర్ణాలు సమానంగా ఉంటాయి. నిజం 2) ఒక త్రిభుజంలో ఒక తీవ్రమైన కోణం ఉంటే, ఈ త్రిభుజం తీవ్రంగా ఉంటుంది. ఇది సత్యం కాదు. త్రిభుజాల రకాలు. త్రిభుజాన్ని అక్యూట్-యాంగిల్ అంటారు దాని మూడు మూలలు అక్యూట్ అయితే, అంటే 90 ° కంటే తక్కువ) పాయింట్ ఉంటే.

లేదా, మరొక ఎంట్రీలో,

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ద్వారా

లంబ త్రిభుజ సూత్రంలో ఎత్తు ఎంత?

లంబ త్రిభుజం ఎత్తు

లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు, హైపోటెన్యూస్‌కు డ్రా అయినది, సమస్య ప్రకటనలోని డేటాను బట్టి ఒక విధంగా లేదా మరొక విధంగా కనుగొనబడుతుంది.

లేదా, మరొక ఎంట్రీలో,

BK మరియు KC లు హైపోటెన్యూస్‌కు కాళ్ల అంచనాలు (ఎత్తు హైపోటెన్యూస్‌ను విభజించే విభాగాలు).

హైపోటెన్యూస్‌కు డ్రా అయిన ఎత్తును లంబ త్రిభుజం ప్రాంతం ద్వారా కనుగొనవచ్చు. మేము ఒక త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనడానికి ఫార్ములాను వర్తింపజేస్తే

(సైడ్ ప్రొడక్ట్‌లో సగభాగం ఈ వైపుకు లాగిన ఎత్తు) హైపోటెన్యూస్‌కి మరియు హైపోటెన్యూస్‌కు డ్రా అయిన ఎత్తుకు, మనకు లభిస్తుంది:

ఇక్కడ నుండి మనం త్రిభుజం యొక్క రెట్టింపు ప్రాంతం యొక్క నిష్పత్తిగా హైపోటెన్యూస్ పొడవుకు ఎత్తును కనుగొనవచ్చు:

లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం కాళ్ల ఉత్పత్తిలో సగం కాబట్టి:

అంటే, హైపోటెన్యూస్‌కు గీసిన ఎత్తు పొడవు హైపోటెన్యూస్‌కు కాళ్ల ఉత్పత్తి నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది. మేము కాళ్ల పొడవును a మరియు b ద్వారా, హైపోటెన్యూస్ పొడవు c ద్వారా సూచిస్తే, ఫార్ములాను తిరిగి వ్రాయవచ్చు

లంబ కోణ త్రిభుజం చుట్టూ వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం హైపోటెన్యూస్‌లో సగం సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి, కాళ్ల పరంగా మరియు వృత్తాకార వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థంలో ఎత్తు పొడవును వ్యక్తీకరించవచ్చు:

హైపోటెన్యూస్‌కి ఎత్తు ఎత్తు రెండు లంబ కోణ త్రిభుజాలను ఏర్పరుస్తుంది కాబట్టి, దాని పొడవును లంబ కోణ త్రిభుజంలోని నిష్పత్తుల ద్వారా కనుగొనవచ్చు.

ABK లంబ కోణ త్రిభుజం నుండి

కుడి త్రిభుజం ACK నుండి

లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు పొడవు కాళ్ల పొడవు పరంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. ఎందుకంటే

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ద్వారా

మీరు సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేస్తే:

లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తును కాళ్లతో కనెక్ట్ చేయడానికి మీరు మరొక సూత్రాన్ని పొందవచ్చు:

లంబ త్రిభుజ సూత్రంలో ఎత్తు ఎంత?

లంబ త్రిభుజం. సగటు స్థాయి.

మీరు మీ బలాన్ని పరీక్షించాలనుకుంటున్నారా మరియు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష లేదా OGE కోసం మీరు ఎంత సిద్ధంగా ఉన్నారో తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారా?

లంబ కోణ త్రిభుజం గురించి ప్రధాన సిద్ధాంతం పైథాగరస్ సిద్ధాంతం.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం

మార్గం ద్వారా, కాళ్లు మరియు హైపోటెన్యూస్ అంటే ఏమిటో మీకు బాగా గుర్తుందా? కాకపోతే, చిత్రాన్ని చూడండి - మీ జ్ఞానాన్ని రిఫ్రెష్ చేయండి

మీరు ఇప్పటికే పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని చాలాసార్లు ఉపయోగించుకునే అవకాశం ఉంది, కానీ అలాంటి సిద్ధాంతం ఎందుకు నిజం అని మీరు ఎప్పుడైనా ఆలోచిస్తున్నారా? నేను దానిని ఎలా నిరూపించగలను? ప్రాచీన గ్రీకుల మాదిరిగానే చేద్దాం. ఒక వైపు ఒక చతురస్రాన్ని గీద్దాం.

మేము దాని వైపులా పొడవుగా ఎంత తెలివిగా విభజించామో మీరు చూస్తారు మరియు!

ఇప్పుడు గుర్తించబడిన పాయింట్లను కనెక్ట్ చేద్దాం

అయితే, ఇక్కడ మేము వేరే విషయాన్ని గుర్తించాము, కానీ మీరే డ్రాయింగ్‌ని చూసి, ఇది ఎందుకు అని ఆలోచించండి.

పెద్ద చతురస్రం యొక్క వైశాల్యం ఏమిటి? కుడి,. చిన్న ప్రాంతం? వాస్తవానికి,. నాలుగు మూలల మొత్తం వైశాల్యం మిగిలి ఉంది. మేము ఒకేసారి ఇద్దరిని తీసుకొని, హైపోటెనస్‌తో ఒకదానికొకటి వాలుతున్నామని ఊహించుకోండి. ఏం జరిగింది? రెండు దీర్ఘచతురస్రాలు. దీని అర్థం "స్క్రాప్స్" యొక్క ప్రాంతం సమానంగా ఉంటుంది.

ఇప్పుడు అన్నింటినీ కలిపి ఉంచుదాం.

కాబట్టి మేము పైథాగరస్‌ను సందర్శించాము - మేము అతని సిద్ధాంతాన్ని పురాతన రీతిలో నిరూపించాము.

లంబ త్రిభుజం మరియు త్రికోణమితి

లంబ కోణ త్రిభుజం కోసం, కింది సంబంధాలు కలిగి ఉంటాయి:

తీవ్రమైన కోణం యొక్క సైన్ హైపోటెన్యూస్‌కు వ్యతిరేక కాలు యొక్క నిష్పత్తికి సమానం

తీవ్రమైన కోణం యొక్క కొసైన్ హైపోటెన్యూస్‌కు ప్రక్కనే ఉన్న కాలు యొక్క నిష్పత్తికి సమానం.

తీవ్రమైన కోణం యొక్క టాంజెంట్ ప్రక్కనే ఉన్న కాలుకు వ్యతిరేక కాలు యొక్క నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది.

తీవ్రమైన కోణం యొక్క కోటాంజెంట్ ప్రక్కనే ఉన్న లెగ్‌కు వ్యతిరేక కాలుకు నిష్పత్తికి సమానం.

మరియు మరోసారి, ఇవన్నీ ఒక ప్లేట్ రూపంలో ఉంటాయి:

మీరు చాలా సౌకర్యవంతమైన ఒక విషయాన్ని గమనించారా? గుర్తును జాగ్రత్తగా చూడండి.

ఇది చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది!

లంబ కోణ త్రిభుజాలకు సమానత్వ పరీక్షలు

II. లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్ మీద

III హైపోటెన్యూస్ మరియు తీవ్రమైన కోణం ద్వారా

IV. కాలు మరియు పదునైన మూలలో

శ్రద్ధ! కాళ్లు "తగినవి" అని ఇక్కడ చాలా ముఖ్యం. ఉదాహరణకు, ఇది ఇలా ఉంటే:

అప్పుడు ట్రయాంగిల్స్ సమానంగా లేవు, వారు ఒకే తీవ్రమైన కోణాన్ని కలిగి ఉన్నప్పటికీ.

అవసరం రెండు త్రిభుజాలలో, కాలు ప్రక్కనే ఉంది, లేదా రెండు త్రిభుజాలలో, ఎదురుగా ఉంటుంది.

త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క సాధారణ సంకేతాల నుండి లంబ త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క సంకేతాలు ఎలా భిన్నంగా ఉంటాయో మీరు గమనించారా? "త్రిభుజం" అనే అంశాన్ని పరిశీలించండి మరియు "సాధారణ" త్రిభుజాల సమానత్వం కోసం మీకు వాటి మూడు అంశాల సమానత్వం అవసరం: రెండు వైపులా మరియు వాటి మధ్య కోణం, రెండు కోణాలు మరియు వాటి మధ్య ఒక వైపు లేదా మూడు వైపులా. కానీ లంబ కోణ త్రిభుజాల సమానత్వం కోసం, రెండు సంబంధిత అంశాలు మాత్రమే సరిపోతాయి. గొప్పది, కాదా?

లంబ కోణ త్రిభుజాల సారూప్యత సంకేతాలతో పరిస్థితి దాదాపు ఒకే విధంగా ఉంటుంది.

లంబ కోణ త్రిభుజాల సారూప్యత సంకేతాలు

III లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్ మీద

లంబ త్రిభుజంలో మధ్యస్థం

లంబ కోణ త్రిభుజానికి బదులుగా మొత్తం దీర్ఘచతురస్రాన్ని పరిగణించండి.

ఒక వికర్ణాన్ని గీయండి మరియు వికర్ణాల ఖండన బిందువును పరిశీలిద్దాం. దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వికర్ణాల గురించి ఏమి తెలుసు?

వికర్ణ యొక్క ఖండన పాయింట్ సగానికి తగ్గించబడింది. వికర్ణాలు సమానంగా ఉంటాయి

మరియు దీని నుండి ఏమి అనుసరిస్తుంది?

కాబట్టి అది తేలింది

ఈ వాస్తవాన్ని గుర్తుంచుకో! చాలా సహాయపడుతుంది!

మరింత ఆశ్చర్యకరమైన విషయం ఏమిటంటే, సంభాషణ కూడా నిజం.

హైపోటెన్యూస్‌కు డ్రా అయిన మధ్యస్థం హైపోటెన్యూస్‌లో సగం సమానం కావడం వల్ల మీరు ఎలాంటి ప్రయోజనాన్ని పొందగలరు? చిత్రాన్ని చూద్దాం

దగ్గరగా చూడండి. మన దగ్గర ఉంది: కానీ ఒక త్రిభుజంలో ఒకే ఒక్క బిందువు ఉంటుంది, త్రిభుజంలోని మూడు శీర్షాల సమాన దూరాలు, మరియు ఇది నిర్వచించబడిన వృత్తం యొక్క కేంద్రం. కాబట్టి ఏమి జరిగింది?

దీనితో ప్రారంభిద్దాం “కాకుండా. ".

కానీ అలాంటి త్రిభుజాలలో అన్ని కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి!

అదే మరియు గురించి చెప్పవచ్చు

ఇప్పుడు దానిని కలిసి గీయండి:

అదే పదునైన మూలలను కలిగి ఉండండి!

ఈ "ట్రిపుల్" సారూప్యత నుండి ఎలాంటి ప్రయోజనం పొందవచ్చు.

సరే, ఉదాహరణకు - లంబ త్రిభుజం ఎత్తుకు రెండు సూత్రాలు.

సంబంధిత పార్టీల సంబంధాన్ని వ్రాద్దాం:

ఎత్తును కనుగొనడానికి, మేము నిష్పత్తిని పరిష్కరిస్తాము మరియు పొందుతాము మొదటి "లంబ త్రిభుజంలో ఎత్తు" ఫార్ములా:

మీరు రెండవదాన్ని ఎలా పొందుతారు?

ఇప్పుడు త్రిభుజాల సారూప్యతను వర్తింపజేయండి మరియు.

కాబట్టి, సారూప్యతను వర్తింపజేద్దాం:.

ఇప్పుడు ఏమి జరుగుతుంది?

మళ్ళీ మేము నిష్పత్తిని పరిష్కరిస్తాము మరియు రెండవ ఫార్ములాను పొందుతాము "లంబ త్రిభుజంలో ఎత్తు":

ఈ రెండు సూత్రాలు చాలా బాగా గుర్తుంచుకోవాలి మరియు దరఖాస్తు చేయడానికి మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. వాటిని మళ్లీ రాసుకుందాం

సరే, ఇప్పుడు, ఈ జ్ఞానాన్ని ఇతరులతో వర్తింపజేయడం మరియు కలపడం, మీరు ఏదైనా సమస్యను లంబ కోణ త్రిభుజంతో పరిష్కరిస్తారు!

వ్యాఖ్యలు (1)

మూలం పేజీకి డోఫోలో లింక్ ఉంటే ఆమోదం లేకుండా మెటీరియల్స్ పంపిణీ అనుమతించబడుతుంది.

గోప్యతా విధానం

మీ గోప్యత మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తామో వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని అభివృద్ధి చేశాము. దయచేసి మా గోప్యతా విధానాన్ని చదవండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.

వ్యక్తిగత సమాచారం సేకరణ మరియు ఉపయోగం

వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది ఒక నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా అతనిని సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.

మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.

మేము సేకరించగల వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మనం ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి.

మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:

మీరు సైట్లో అభ్యర్థనను వదిలిపెట్టినప్పుడు, మీ పేరు, ఫోన్ నంబర్, చిరునామాతో సహా వివిధ సమాచారాన్ని మేము సేకరించవచ్చు ఇమెయిల్మొదలైనవి

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:

మాచే సేకరించబడింది వ్యక్తిగత సమాచారంమిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మరియు ప్రత్యేకమైన ఆఫర్లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌ల గురించి మీకు తెలియజేయడానికి మాకు అనుమతిస్తుంది. ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటిఫికేషన్‌లు మరియు సందేశాలను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. మేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించి మీకు సిఫార్సులను అందించడానికి ఆడిట్‌లు, డేటా విశ్లేషణ మరియు వివిధ పరిశోధనల వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా మేము ఉపయోగించవచ్చు.

లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు ఆస్తి హైపోటెన్యూస్ ద్వారా పడిపోయింది

మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషనల్ ఈవెంట్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.

మూడవ పక్షాలకు సమాచారం బహిర్గతం

మీ నుంచి అందిన సమాచారాన్ని మేము థర్డ్ పార్టీలకు వెల్లడించము.

ఇది అవసరమైతే - చట్టం, కోర్టు ఉత్తర్వు, కోర్టు విచారణలో మరియు / లేదా రష్యన్ ఫెడరేషన్ భూభాగంలో ప్రభుత్వ అధికారుల నుండి ప్రజా అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడానికి. భద్రత, చట్ట అమలు లేదా సామాజికంగా ముఖ్యమైన ఇతర కారణాల వల్ల అలాంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా తగినదని మేము నిర్ధారించినట్లయితే మేము మీ గురించి సమాచారాన్ని కూడా బహిర్గతం చేయవచ్చు. పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా అమ్మకం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించిన వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని తగిన మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు - చట్టపరమైన వారసుడు.

వ్యక్తిగత సమాచార రక్షణ

మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి, అలాగే అనధికార యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి మేము అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.

కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతకు గౌరవం

మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా నియమాలను తీసుకువస్తాము మరియు గోప్యతా చర్యల అమలును ఖచ్చితంగా పర్యవేక్షిస్తాము.

సందేశానికి ధన్యవాదాలు!

మీ వ్యాఖ్య ఆమోదించబడింది, మోడరేషన్ తర్వాత అది ఈ పేజీలో ప్రచురించబడుతుంది.

మీరు కట్ కింద ఏమి దాచబడ్డారో తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారా మరియు పరీక్ష మరియు పరీక్ష కోసం ప్రిపరేషన్ కోసం ప్రత్యేకమైన మెటీరియల్‌లను అందుకోవాలనుకుంటున్నారా? మీ ఇ-మెయిల్ వదిలివేయండి

కుడి త్రిభుజం లక్షణాలు

లంబ త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి (ABC)మరియు దాని లక్షణాలు, ఇది చిత్రంలో చూపబడింది. లంబ కోణ త్రిభుజానికి హైపోటెన్యూస్ ఉంటుంది - లంబ కోణానికి ఎదురుగా ఉండే వైపు. లంబ కోణం ఏర్పడే వైపులను కాళ్లు అంటారు. ఫిగర్ సైడ్ AD, DC మరియు BD, DC- కాళ్లు మరియు వైపులా ASమరియు ఎస్ వి- హైపోటెన్యూస్.

లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క సమానత్వం యొక్క సంకేతాలు:

సిద్ధాంతం 1. లంబ త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్ మరియు లెగ్ మరొక త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్ మరియు లెగ్‌తో సమానంగా ఉంటే, అటువంటి త్రిభుజాలు సమానంగా ఉంటాయి.

సిద్ధాంతం 2. లంబ త్రిభుజం యొక్క రెండు కాళ్లు మరొక త్రిభుజం యొక్క రెండు కాళ్లకు సమానంగా ఉంటే, అటువంటి త్రిభుజాలు సమానంగా ఉంటాయి.

సిద్ధాంతం 3. హైపోటెన్యూస్ మరియు లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం హైపోటెన్యూస్ మరియు మరొక త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణంతో సమానంగా ఉంటే, అలాంటి త్రిభుజాలు సమానంగా ఉంటాయి.

సిద్ధాంతం 4. ఒక లంబ త్రిభుజం యొక్క ఒక కాలు మరియు ప్రక్కనే ఉన్న (వ్యతిరేక) తీవ్రమైన కోణం ఒక కాలు మరియు మరొక త్రిభుజం యొక్క ప్రక్కనే (వ్యతిరేక) తీవ్రమైన కోణానికి సమానంగా ఉంటే, అటువంటి త్రిభుజాలు సమానంగా ఉంటాయి.

30 ° కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న కాలు యొక్క లక్షణాలు:

సిద్ధాంతం 1.

లంబ త్రిభుజంలో ఎత్తు

30 ° కోణంతో లంబ కోణ త్రిభుజంలో, ఈ కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న కాలు హైపోటెన్యూస్‌లో సగం విచ్ఛిన్నమవుతుంది.

సిద్ధాంతం 2. లంబ కోణ త్రిభుజంలో ఒక కాలు సగం హైపోటెన్యూస్ అయితే, వ్యతిరేక కోణం 30 °.

ఎత్తును లంబ కోణం శిఖరం నుండి హైపోటెన్యూస్‌కి గీసినట్లయితే, అటువంటి త్రిభుజం రెండు చిన్నవిగా విభజించబడింది, అవుట్‌గోయింగ్ మాదిరిగానే మరియు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటుంది. ఇది క్రింది నిర్ధారణలకు దారితీస్తుంది:

1. ఎత్తు అనేది రెండు హైపోటెన్యూస్ విభాగాల రేఖాగణిత సగటు (అనుపాత సగటు).
2. త్రిభుజం యొక్క ప్రతి కాలు హైపోటెన్యూస్ మరియు ప్రక్కనే ఉన్న విభాగాలకు సగటు అనుపాతంలో ఉంటుంది.

లంబ కోణ త్రిభుజంలో, కాళ్లు ఎత్తుగా పనిచేస్తాయి. ఆర్థోసెంటర్ అనేది త్రిభుజం యొక్క ఎత్తులు ఖండించే పాయింట్. ఇది ఆకారం యొక్క కుడి మూలలో ఉన్న శీర్షంతో సమానంగా ఉంటుంది.

hC- త్రిభుజం యొక్క లంబ కోణం నుండి ఎత్తు అవుట్‌గోయింగ్;

AB- హైపోటెన్యూస్;

క్రీ.శమరియు DB- హైపోటెన్యూస్‌ను ఎత్తుగా విభజించేటప్పుడు తలెత్తిన విభాగాలు.

క్రమశిక్షణ "జ్యామితి" కోసం సూచనలను వీక్షించడానికి తిరిగి వెళ్ళు

త్రిభుజంఒకే సరళ రేఖలో లేని మూడు పాయింట్లు (శీర్షాలు) మరియు ఈ పాయింట్లను కలిపే మూడు విభాగాలతో కూడిన రేఖాగణిత బొమ్మ. లంబ కోణ త్రిభుజం అనేది 90 ° (లంబ కోణం) కోణాలలో ఒకదాన్ని కలిగి ఉండే త్రిభుజం.
ఒక సిద్ధాంతం ఉంది:లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణాల మొత్తం 90 °.
వ్యాఖ్యానించే వ్యవస్థ CACKLఇ

కీలకపదాలు:త్రిభుజం, లంబ కోణం, కాలు, హైపోటెన్యూస్, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం, వృత్తం

త్రిభుజం అంటారు దీర్ఘచతురస్రాకారదానికి లంబ కోణం ఉంటే.
ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం రెండు పరస్పరం లంబంగా ఉండే వైపులా ఉంటుంది కాళ్ళు; దాని మూడవ పక్షం అంటారు హైపోటెన్యూస్.

• లంబ మరియు వాలుగా ఉండే లక్షణాల ప్రకారం, హైపోటెన్యూస్ ప్రతి కాళ్ల కంటే పొడవుగా ఉంటుంది (కానీ వాటి మొత్తం కంటే తక్కువ).
• లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క రెండు తీవ్రమైన కోణాల మొత్తం లంబ కోణానికి సమానం.
• లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క రెండు ఎత్తులు దాని కాళ్లతో సమానంగా ఉంటాయి. అందువల్ల, నాలుగు విశేషమైన పాయింట్లలో ఒకటి త్రిభుజం యొక్క లంబ కోణం యొక్క శీర్షాలలోకి వస్తుంది.
• లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క వృత్తాకార వృత్తం మధ్యలో హైపోటెన్యూస్ మధ్యలో ఉంటుంది.
• ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క మధ్యస్థం, లంబ కోణం యొక్క శీర్షం నుండి హైపోటెన్యూస్ వరకు తీసుకోబడింది, ఈ త్రిభుజం గురించి చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం.

ఏకపక్ష లంబ కోణ త్రిభుజం ABC ని పరిగణించండి మరియు దాని లంబ కోణం యొక్క శిఖరం C నుండి ఎత్తు CD = hc ని గీయండి.

ఇది ఈ త్రిభుజాన్ని ACD మరియు BCD అనే రెండు లంబ కోణ త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది; ఈ త్రిభుజాలలో ప్రతి ఒక్కటి ABC త్రిభుజంతో ఒక సాధారణ తీవ్రమైన కోణాన్ని కలిగి ఉంటాయి మరియు అందువల్ల ABC త్రిభుజంతో సమానంగా ఉంటుంది.

ABC, ACD మరియు BCD మూడు త్రిభుజాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి.

త్రిభుజాల సారూప్యత నుండి, కింది సంబంధాలు నిర్ణయించబడతాయి:

• $$ h = \ sqrt (a_ (c) \ cdot b_ (c)) = \ frac (a \ cdot b) (c) $$;
• c = ac + bc;
• $$ a = \ sqrt (a_ (c) \ cdot c), b = \ sqrt (b_ (c) \ cdot c) $$;
• $$ (\ frac (a) (b)) ^ (2) = \ frac (a_ (c)) (b_ (c)) $$.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతంయూక్లిడియన్ జ్యామితి యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలలో ఒకటి, లంబ కోణ త్రిభుజం వైపుల మధ్య సంబంధాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

రేఖాగణిత సూత్రీకరణ.లంబ కోణ త్రిభుజంలో, హైపోటెన్యూస్‌పై నిర్మించిన చతురస్రం యొక్క ప్రాంతం కాళ్లపై నిర్మించిన చతురస్రాల ప్రాంతాల మొత్తానికి సమానం.

బీజగణిత సూత్రీకరణ.లంబ కోణ త్రిభుజంలో, హైపోటెన్యూస్ యొక్క చతురస్రం కాళ్ల చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం.
అంటే, c ద్వారా త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్ పొడవు మరియు a మరియు b ద్వారా కాళ్ల పొడవును సూచిస్తుంది:
a2 + b2 = c2

పైథాగరస్ యొక్క సంభాషణ సిద్ధాంతం.

లంబ త్రిభుజం ఎత్తు

ప్రతి మూడింటికి సానుకూల సంఖ్యలు a, b మరియు c, అలాంటివి
a2 + b2 = c2,
కాళ్లు a మరియు b మరియు ఒక హైపోటెన్యూస్ c తో లంబ కోణ త్రిభుజం ఉంది.

లంబ కోణ త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క సంకేతాలు:

• లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్ వెంట;
• రెండు కాళ్లపై;
• కాలు మరియు పదునైన మూలలో;
• హైపోటెన్యూస్ మరియు తీవ్రమైన కోణం ద్వారా.

ఇది కూడ చూడు:
త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం, సమద్విబాహు త్రిభుజం, సమబాహు త్రిభుజం

జ్యామితి. 8 తరగతి. పరీక్ష 4. ఎంపిక 1 .

క్రీ.శ : CD = CD : BD అందువల్ల CD2 = AD ∙ BD వాళ్ళు చెప్తారు:

క్రీ.శ : AC = AC : AB అందువల్ల AC2 = AB ∙ క్రీ.శ. వాళ్ళు చెప్తారు:

BD : BC = BC : AB అందువల్ల BC2 = AB ∙ BD

పనులను పరిష్కరించండి:

1.

A) 70 సెం.మీ; బి) 55 సెం.మీ; సి) 65 సెం.మీ; డి) 45 సెం.మీ; ఇ) 53 సెం.మీ.

2. హైపోటెన్యూస్‌కు డ్రా అయిన లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు హైపోటెన్యూస్‌ను 9 మరియు 36 విభాగాలుగా విభజిస్తుంది.

ఈ ఎత్తు పొడవును నిర్ణయించండి.

A) 22,5; బి) 19; సి) 9; డి) 12; ఇ) 18.

4.

A) 30,25; బి) 24,5; సి) 18,45; డి) 32; ఇ) 32,25.

5.

A) 25; బి) 24; సి) 27; డి) 26; ఇ) 21.

6.

A) 8; బి) 7; సి) 6; డి) 5; ఇ) 4.

7.

8. లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క కాలు 30.

లంబ త్రిభుజంలో ఎత్తును నేను ఎలా కనుగొనగలను?

ఈ త్రిభుజం గురించి చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం 17 అయితే లంబ కోణం యొక్క శీర్షం నుండి హైపోటెన్యూస్ వరకు దూరాన్ని కనుగొనండి.

A) 17; బి) 16; సి) 15; డి) 14; ఇ) 12.

10.

A) 15; బి) 18; సి) 20; డి) 16; ఇ) 12.

A) 80; బి) 72; సి) 64; డి) 81; ఇ) 75.

12.

A) 7,5; బి) 8; సి) 6,25; డి) 8,5; ఇ) 7.

ని సమాధానాన్ని సరిచూసుకో!

D8.04.1. లంబ త్రిభుజంలో అనుపాత రేఖ విభాగాలు

జ్యామితి. 8 తరగతి. పరీక్ష 4. ఎంపిక 1 .

Δ Δ АВС ∠АСВ = 90 °. AC మరియు BC కాళ్లు, AV హైపోటెన్యూస్.

CD అనేది హైపోటెన్యూస్‌కు డ్రా అయిన త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు.

హైపోటెన్యూస్‌పై AC లెగ్ యొక్క AD ప్రొజెక్షన్,

హైపోటెన్యూస్‌పై బిసి లెగ్ యొక్క బిడి ప్రొజెక్షన్.

ఎత్తు CD త్రిభుజ ABC ని రెండు సారూప్య (మరియు ఒకదానికొకటి) త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది: Δ ADC మరియు Δ CDB.

Δ ADC మరియు Δ CDB వంటి వైపుల అనుపాతం నుండి ఇది క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

క్రీ.శ : CD = CD : BD

లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు ఆస్తి హైపోటెన్యూస్ ద్వారా పడిపోయింది.

అందువల్ల CD2 = AD ∙ BD వాళ్ళు చెప్తారు: హైపోటెన్యూస్‌కు డ్రా అయిన లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు,హైపోటెన్యూస్‌పై కాళ్ల అంచనాల మధ్య సగటు అనుపాత విలువ ఉంటుంది.

Δ ADC మరియు Δ ACB మధ్య సారూప్యత నుండి ఇది క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

క్రీ.శ : AC = AC : AB అందువల్ల AC2 = AB ∙ క్రీ.శ. వాళ్ళు చెప్తారు: ప్రతి కాలు మొత్తం హైపోటెన్యూస్ మరియు హైపోటెన్యూస్‌పై ఈ లెగ్ ప్రొజెక్షన్ మధ్య సగటు అనుపాత విలువ.

అదేవిధంగా, Δ ВDВ మరియు Δ BCB మధ్య సారూప్యత నుండి ఇది క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

BD : BC = BC : AB అందువల్ల BC2 = AB ∙ BD

పనులను పరిష్కరించండి:

1. హైపోటెన్యూస్‌ను 25 సెంటీమీటర్లు మరియు 81 సెంటీమీటర్లుగా విభజిస్తే, హైపోటెన్యూస్‌కు డ్రా అయిన లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తును కనుగొనండి.

A) 70 సెం.మీ; బి) 55 సెం.మీ; సి) 65 సెం.మీ; డి) 45 సెం.మీ; ఇ) 53 సెం.మీ.

2. లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు, హైపోటెన్యూస్‌కి డ్రా చేయబడి, హైపోటెన్యూస్‌ను 9 మరియు 36 విభాగాలుగా విభజిస్తుంది. ఈ ఎత్తు పొడవును నిర్ణయించండి.

A) 22,5; బి) 19; సి) 9; డి) 12; ఇ) 18.

4. హైపోటెన్యూస్‌కు గీసిన లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు 22, కాళ్ళలో ఒకదాని ప్రొజెక్షన్ 16. మరొక కాలు ప్రొజెక్షన్‌ను కనుగొనండి.

A) 30,25; బి) 24,5; సి) 18,45; డి) 32; ఇ) 32,25.

5. లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క కాలు 18, మరియు హైపోటెన్యూస్‌పై దాని ప్రొజెక్షన్ 12. 12. హైపోటెన్యూస్‌ను కనుగొనండి.

A) 25; బి) 24; సి) 27; డి) 26; ఇ) 21.

6. హైపోటెన్యూస్ 32. లెగ్‌ను కనుగొనండి, హైపోటెన్యూస్‌పై ప్రొజెక్షన్ 2.

A) 8; బి) 7; సి) 6; డి) 5; ఇ) 4.

7. లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్ 45. హైపోటెన్యూస్‌పై ప్రొజెక్షన్ 9 ఉన్న కాలును కనుగొనండి.

8. లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క కాలు 30. ఈ త్రిభుజం గురించి వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం 17 అయితే లంబ కోణం యొక్క శీర్షం నుండి హైపోటెన్యూస్ వరకు దూరం కనుగొనండి.

A) 17; బి) 16; సి) 15; డి) 14; ఇ) 12.

10. లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్ 41, మరియు కాళ్లలో ఒకదాని ప్రొజెక్షన్ 16. లంబ కోణం యొక్క శీర్షం నుండి హైపోటెన్యూస్ వరకు గీసిన ఎత్తు పొడవును కనుగొనండి.

A) 15; బి) 18; సి) 20; డి) 16; ఇ) 12.

A) 80; బి) 72; సి) 64; డి) 81; ఇ) 75.

12. హైపోటెన్యూస్‌పై కాళ్ల అంచనాల మధ్య వ్యత్యాసం 15, మరియు లంబ కోణం యొక్క శీర్షం నుండి హైపోటెన్యూస్‌కి దూరం 4. సర్క్యుస్క్రైబ్డ్ సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.

A) 7,5; బి) 8; సి) 6,25; డి) 8,5; ఇ) 7.

లంబ త్రిభుజంఒక త్రిభుజం, ఒక కోణం సూటిగా ఉంటుంది, అనగా ఇది 90 డిగ్రీలకు సమానం.

• లంబ కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న వైపును హైపోటెన్యూస్ అంటారు (చిత్రంలో అది ఇలా సూచించబడింది cలేదా AB)
• లంబ కోణం ప్రక్కనే ఉన్న వైపును కాలు అంటారు. ప్రతి లంబ కోణ త్రిభుజానికి రెండు కాళ్లు ఉంటాయి (చిత్రంలో చూపబడింది aమరియు b లేదా AC మరియు BC)

లంబ త్రిభుజ సూత్రాలు మరియు లక్షణాలు

ఫార్ములా హోదాలు:

(పై చిత్రాన్ని చూడండి)

a, b- ఒక త్రిభుజం యొక్క కాళ్లు

c- హైపోటెన్యూస్

α, β - త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణాలు

ఎస్- చదరపు

h- ఎత్తు లంబ కోణం పై నుండి హైపోటెన్యూస్‌కి తగ్గించబడింది

m a aఎదురుగా ఉన్న మూలలో నుండి ( α )

m బివైపుకు డ్రా చేయబడిన మధ్యస్థం బిఎదురుగా ఉన్న మూలలో నుండి ( β )

m సివైపుకు డ్రా చేయబడిన మధ్యస్థం cఎదురుగా ఉన్న మూలలో నుండి ( γ )

వి కుడి త్రిభుజం కాళ్లు ఏవైనా హైపోటెన్యూస్ కంటే తక్కువగా ఉంటాయి(సూత్రాలు 1 మరియు 2). ఈ ఆస్తి పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క పరిణామం.

ఏదైనా తీవ్రమైన కోణాల కొసైన్ఒకటి కంటే తక్కువ (సూత్రాలు 3 మరియు 4). ఈ ఆస్తి మునుపటి నుండి అనుసరిస్తుంది. కాళ్లు ఏవైనా హైపోటెన్యూస్ కంటే తక్కువగా ఉంటాయి కాబట్టి, లెగ్ యొక్క నిష్పత్తి హైపోటెన్యూస్‌కు ఎల్లప్పుడూ ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

హైపోటెన్యూస్ యొక్క చతురస్రం కాళ్ల చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం (పైథాగోరియన్ సిద్ధాంతం). (ఫార్ములా 5). సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ ఆస్తి నిరంతరం ఉపయోగించబడుతుంది.

లంబ త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతంకాళ్ల సగం ఉత్పత్తికి సమానం (ఫార్ములా 6)

మధ్యస్థుల చతురస్రాల మొత్తంకాళ్ళకు, హైపోటెన్యూస్‌కు మధ్యస్థంలోని ఐదు చతురస్రాలు మరియు హైపోటెన్యూస్ యొక్క ఐదు చతురస్రాలు సమానంగా ఉంటాయి, వీటిని నాలుగు (ఫార్ములా 7) ద్వారా విభజించారు. పైన పేర్కొన్న వాటికి అదనంగా ఉంది మరో 5 సూత్రాలుకాబట్టి, మీడియం యొక్క లక్షణాలను మరింత వివరంగా వివరించే "మధ్యస్థ త్రిభుజం మధ్యస్థం" అనే పాఠంతో మిమ్మల్ని మీరు పరిచయం చేసుకోవాలని సిఫార్సు చేయబడింది.

ఎత్తులంబ కోణ త్రిభుజం కాళ్ల ఉత్పత్తికి సమానంగా హైపోటెన్యూస్‌తో విభజించబడింది (ఫార్ములా 8)

కాళ్ల చతురస్రాలు హైపోటెన్యూస్ (ఫార్ములా 9) కు తగ్గించబడిన ఎత్తు చతురస్రానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి. పైథాగరస్ సిద్ధాంతం యొక్క పరిణామాలలో ఈ గుర్తింపు కూడా ఒకటి.

హైపోటెన్యూస్ పొడవువృత్తాకార వృత్తం (ఫార్ములా 10) యొక్క వ్యాసానికి (రెండు రేడియాలకు) సమానం. లంబ త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్ వృత్తాకార వృత్తం యొక్క వ్యాసం... సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ ఆస్తి తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది.

లిఖిత వ్యాసార్థం v కుడి త్రిభుజం వృత్తాలుహైపోటెన్యూస్ యొక్క పొడవును మినహాయించి ఈ త్రిభుజం యొక్క కాళ్ల మొత్తాన్ని కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణలో సగభాగాన్ని కనుగొనవచ్చు. లేదా కాళ్ల ఉత్పత్తిగా, ఇచ్చిన త్రిభుజం యొక్క అన్ని వైపుల (చుట్టుకొలత) మొత్తంతో భాగించబడుతుంది. (ఫార్ములా 11)
సైన్ కోణం వ్యతిరేక సంబంధంఈ మూలలో లెగ్ టు హైపోటెన్యూస్(సైన్ నిర్వచనం ద్వారా). (ఫార్ములా 12). సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ ఆస్తి ఉపయోగించబడుతుంది. వైపుల పరిమాణాన్ని తెలుసుకోవడం, అవి ఏర్పడే కోణాన్ని మీరు కనుగొనవచ్చు.

లంబ కోణ త్రిభుజంలో A (α, alpha) కోణం యొక్క కొసైన్ సమానంగా ఉంటుంది వైఖరి ప్రక్కనేఈ మూలలో లెగ్ టు హైపోటెన్యూస్(సైన్ నిర్వచనం ద్వారా). (ఫార్ములా 13)