Тази статия е за геометрична форма. За други значения на думата вижте страницата Квадрат (значения). Квадратният квадрат е правилен четириъгълник. Свойства Квадратът може да бъде дефиниран като правоъгълник, в който две съседни страни са равни на ромб, в ... ... Wikipedia

Правилен седмоъгълник Правилният многоъгълник е изпъкнал многоъгълник, в който всички страни и ъгли са равни. Определението на правилен многоъгълник може да зависи от определението ... Wikipedia

Правилният хептагон е правилен многоъгълник със седем страни. Съдържание ... Уикипедия

Правилният хептагон е геометрична фигура, принадлежаща към групата на правилните многоъгълници. Има седемнадесет страни и седемнадесет ъгъла, всичките му ъгли и страни са равни помежду си, всички върхове лежат на една и съща окръжност. Съдържание 1 ... ... Уикипедия

65537 квадрат или кръг? Редовен 65537 гон (шестдесет и пет хиляди петстотин тридесет и седем) е геометрична фигура от група правилни многоъгълници, състояща се от 65537 ... Wikipedia

257 квадрат или кръг? Редовният 257 ъгъл е правилен многоъгълник с 257 страни. Съдържание ... Уикипедия

правилно- коригирам / коригирам th, th; лен, лен, лен. Вижте също. коректност 1) а) Съобразен с установените правила, без да се отклонява от съществуващите правила, норми, ред. Второ произношение, правопис. N-то физическо развитие на детето. N-то разпределение ... ... Речник на много изрази

I. НАЛИЧНО о, о; лен, лен, лен. 1. Съответстващи на установените правила, неотклоняващи се от съществуващите правила, норми, ред. Второ произношение, правопис. N-то физическо развитие на детето. N-то разпределение на енергийните ресурси. Той е човек..... енциклопедичен речник

И отново въпросът: ромбът е успоредник или не?

С пълен десен - успоредник, защото има и (запомнете нашата характеристика 2).

И отново, тъй като ромбът е успоредник, тогава той трябва да има всички свойства на успоредник. Това означава, че противоположните ъгли на диаманта са равни, противоположните страни са успоредни, а диагоналите са наполовина от пресечната точка.

Свойства на диамантите

Погледни снимката:

Както в случая на правоъгълник, тези свойства са отличителни, тоест за всяко от тези свойства можем да заключим, че имаме не просто успоредник, а ромб.

Признаци на ромб

И отново, обърнете внимание: трябва да има не просто четириъгълник с перпендикулярни диагонали, а успоредник. Уверете се:

Разбира се, че не, въпреки че диагоналите му са перпендикулярни, а диагоналът е ъглополовящата на ъглите и. Но ... диагоналите не са разделени, пресечната точка е наполовина, следователно - НЕ успоредник и следователно НЕ ромб.

Тоест квадратът е правоъгълник и ромб едновременно. Да видим какво ще стане.

Ясно ли е защо? - ромб - ъглополовяща на ъгъл А, който е равен на. Така че се разделя (и също) на два ъгъла.

Е, това е доста ясно: диагоналите на правоъгълника са равни; диагоналите на ромб са перпендикулярни, а като цяло - диагоналите на успоредник са разделени на пресечната точка наполовина.

СРЕДНО НИВО

Свойства на четириъгълници. Паралелограм

Свойства на паралелограма

Внимание! Думите " свойства на паралелограма— Това означава, че ако имаш задача имапаралелограм, тогава могат да се използват всички изброени по-долу.

Теорема за свойствата на паралелограма.

Във всеки паралелограм:

Нека разберем защо всичко това е вярно, с други думи ЩЕ ДОКАЗАМЕтеорема.

Така че защо 1) е вярно?

Веднъж е паралелограм, тогава:

• лежащ на кръст
• като лежащ напречно.

Следователно (въз основа на II: и - общ.)

Е, и веднъж, тогава - това е! - доказан.

Но между другото! В този случай също доказахме 2)!

Защо? Но в края на краищата (вижте снимката), тоест, а именно защото.

Остават само 3).

За да направите това, все още трябва да нарисувате втория диагонал.

И сега виждаме това - според атрибута II (ъгъл и страна "между").

Доказани свойства! Нека да преминем към характеристиките.

Знаци на паралелограм

Припомнете си, че атрибутът на паралелограма отговаря на въпроса „как да разбера?“ Че фигурата е успоредник.

В иконите е така:

Защо? Би било хубаво да разберем защо - това е достатъчно. Но вижте:

Е, разбрахме защо знак 1 е верен.

Е, още по-лесно е! Начертайте отново диагонал.

Това означава:

Исъщо лесно. Но... по различен начин!

Означава,. Еха! Но също така - вътрешна едностранна със секанс!

Следователно фактът, че това означава.

И ако погледнете от другата страна, тогава - вътрешна едностранна със секанс! И следователно.

Вижте колко е страхотно?!

И отново просто:

По същия начин и.

Обърни внимание:ако сте намерили понеедин знак за паралелограм във вашия проблем, тогава имате точнопаралелограм и можете да използвате от всичкисвойства на паралелограма.

За пълна яснота вижте диаграмата:

Свойства на четириъгълници. правоъгълник.

Свойства на правоъгълник:

Точка 1) е доста очевидна - в края на краищата функция 3 ()

И точка 2) - много важно... Така че, нека го докажем

И така, на два крака (и - общи).

Е, тъй като триъгълниците са равни, тогава и хипотенузите им са равни.

Доказано това!

И представете си, равенството на диагоналите е отличително свойство на правоъгълник сред всички успоредници. Тоест, следното твърдение е вярно ^

Да разберем защо?

Следователно (имаме предвид ъглите на паралелограма). Но нека припомним още веднъж, че това е успоредник и следователно.

Означава,. И, разбира се, от това следва, че всеки от тях е различен! В крайна сметка в сумата, която трябва да дадат!

Така те доказаха, че ако паралелограмизведнъж (!) ще има равни диагонали, тогава това точно правоъгълник.

Но! Обърни внимание!Това е около паралелограми! Не всекичетириъгълник с равни диагонали е правоъгълник и самопаралелограм!

Свойства на четириъгълниците. ромб

И отново въпросът: ромбът е успоредник или не?

С пълен десен - успоредник, защото има и (Запомнете нашата характеристика 2).

И отново, тъй като ромбът е успоредник, тогава той трябва да има всички свойства на успоредник. Това означава, че противоположните ъгли на диаманта са равни, противоположните страни са успоредни, а диагоналите са наполовина от пресечната точка.

Но има и специални свойства. Ние формулираме.

Свойства на диамантите

Защо? Е, тъй като ромбът е успоредник, тогава диагоналите му са наполовина.

Защо? Да защото!

С други думи, диагоналите се оказаха ъглополовящите на ъглите на ромба.

Както при правоъгълника, тези свойства са - отличителен, всеки от тях също е знак на ромб.

Признаци на ромб.

Защо така? И виж,

Следователно и и двететези триъгълници са равнобедрени.

За да бъде ромб, четириъгълникът първо трябва да "стане" в успоредник и след това трябва да демонстрира знак 1 или знак 2.

Свойства на четириъгълниците. Квадрат

Тоест квадратът е правоъгълник и ромб едновременно. Да видим какво ще стане.

Ясно ли е защо? Квадрат - ромб - ъглополовяща на ъгъла, който е равен на. Така че се разделя (и също) на два ъгъла.

Е, това е доста ясно: диагоналите на правоъгълника са равни; диагоналите на ромб са перпендикулярни, а като цяло - диагоналите на успоредник са разделени на пресечната точка наполовина.

Защо? Е, просто приложете питагоровата теорема към.

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Свойства на паралелограма:

1. Противоположните страни са равни:,.
2. Противоположните ъгли са равни:,.
3. Ъглите от едната страна се сумират:,.
4. Диагоналите се разполовяват от пресечната точка:.

Свойства на правоъгълник:

1. Диагоналите на правоъгълника са:.
2. Правоъгълник - успоредник (за правоъгълник са изпълнени всички свойства на успоредника).

Свойства на диамантите:

1. Диагоналите на ромба са перпендикулярни:.
2. Диагоналите на ромб са симетралите на неговите ъгли:; ; ; ...
3. Ромбът е успоредник (за ромб са изпълнени всички свойства на паралелограма).

Квадратни свойства:

Квадратът е ромб и правоъгълник едновременно, следователно за квадрат са изпълнени всички свойства на правоъгълник и ромб. И.

В тази статия ще разгледаме всички основни свойства и особености на четириъгълниците.

Като начало ще подредя всички видове четириъгълници под формата на обобщена диаграма като тази:

Схемата е забележителна с това, че четириъгълниците във всеки ред притежават ВСИЧКИ СВОЙСТВА НА ЧЕТИРИГРАГЪНИТЕ, РАЗПОЛОЖЕНИ НАД ТЯХ. Следователно, трябва да запомните много малко.

трапеце четириъгълник, чиито две страни са успоредни, а другите две не са успоредни. Успоредните страни се наричат основите на трапецаа не успоредно - странични страни.

1 ... В трапец сумата от ъглите, съседни на странатаравно на 180 °: A + B = 180 °, C + D = 180 °

2 . Симетрала на произволен ъгъл на трапецаотрязва в основата си сегмент, равен на страничната страна:

3. Бисектриси съседни ъглитрапецоидите се пресичат под прав ъгъл.

4 Трапецът се нарича равнобедренако страните му са равни:

В равнобедрен трапец

5. Площ на трапецаравно на произведението на полусумата на основите и височината:

Паралелограм е четириъгълник с противоположни страни, успоредни по двойки: В паралелограм:

• противоположните страни и противоположните ъгли са равни
• диагоналите на паралелограма се разполовяват от пресечната точка:

Съответно, ако четириъгълникът има тези свойства, тогава той е успоредник.

Площ на паралелограмаравно на произведението на основата и височината:

или произведението на страните от синуса на ъгъла между тях:

:

ромбе паралелограм с всички страни равни:

• противоположните ъгли са равни
• диагоналите се разполовяват от пресечната точка
  
• диагоналите са взаимно перпендикулярни
  
• диагоналите на ромба са симетралите на ъглите

Област на ромбе равно на половината от произведението на диагоналите:

или произведението на квадрата на страната и синуса на ъгъла между страните:

Един от най интересни темипо геометрия от училищния курс - това е "Четириъгълници" (8 клас). Какви видове такива фигури съществуват, какви специални свойствапритежават ли? Какво е уникалното за четириъгълника от деветдесет градуса? Нека да разгледаме всичко това.

Каква геометрична фигура се нарича четириъгълник

Многоъгълниците, които се състоят от четири страни и съответно от четири върха (ъгъла), се наричат ​​четириъгълници в евклидовата геометрия.

Интересна е историята на името на този тип фигури. На руски съществителното "четириъгълник" се образува от фразата "четири ъгъла" (точно като "триъгълник" - три ъгъла, "петоъгълник" - пет ъгъла и т.н.).

Въпреки това, на латински (чрез който много геометрични термини дойдоха до повечето от световните езици) се нарича четириъгълник. Тази дума е образувана от числото quadri (четири) и съществителното latus (страна). Така че можем да заключим, че древните са наричали този многоъгълник просто „четиристранен“.

Между другото, това име (с акцент върху наличието на четири страни в фигури от този тип, а не ъгли) е запазено в някои съвременни езици. Например на английски е четириъгълник, а на френски е quadrilatère.

Освен това в повечето славянски езици въпросният тип фигури все още се идентифицира по броя на ъглите, а не на страните. Например на словашки (štvoruholník), на български („chetirig'lnik“), на беларуски („chatyrohkutnik“), на украински („chotirikutnik“), на чешки (čtyřúhelník), но на полски четириъгълникът се нарича от брой страни - cz.

Какви видове четириъгълници се изучават в училищната програма

В съвременната геометрия има 4 вида многоъгълници с четири страни.

Въпреки това, поради твърде сложните свойства на някои от тях, в уроците по геометрия учениците се запознават само с два вида.

• ПаралелограмПротивоположните страни на такъв четириъгълник са по двойки успоредни една на друга и съответно също са равни по двойки.
• Трапециум (трапец или трапец).Този четириъгълник се състои от две противоположни страни, успоредни една на друга. Другата двойка страни обаче няма тази функция.

Видове четириъгълници, които не се изучават в училищния курс по геометрия

В допълнение към горното има още два вида четириъгълници, с които учениците не се запознават в уроците по геометрия, поради тяхната особена сложност.

• делтоид (хвърчило)- фигура, в която всяка от двете двойки съседни страни е равна по дължина една на друга. Такъв четириъгълник получи името си поради факта, че от външен видмного прилича на писмо гръцка азбука- "делта".
• Антипаралелограм- тази фигура е толкова сложна, колкото и името й. В него две противоположни страни са равни, но в същото време не са успоредни една на друга. Освен това дългите противоположни страни на този четириъгълник се пресичат, както и разширенията на другите две, по-къси страни.

Видове паралелограм

След като се занимавате с основните видове четириъгълници, трябва да обърнете внимание на неговите подвидове. И така, всички паралелограми от своя страна също са разделени на четири групи.

• Класически паралелограм.
• ромб (ромб)- четириъгълна фигура с равни страни... Диагоналите му се пресичат под прав ъгъл, разделяйки ромба на четири равни правоъгълни триъгълника.
• правоъгълникИмето говори само за себе си. Тъй като това е правоъгълник с прави ъгли (всеки от тях е равен на деветдесет градуса). Противоположните му страни са не само успоредни една на друга, но и равни.
• КвадратПодобно на правоъгълник, той е правоъгълник с прави ъгли, но всичките му страни са равни. Това прави тази фигура близка до ромб. Така че може да се твърди, че квадратът е кръстоска между ромб и правоъгълник.

Специални свойства на правоъгълник

Като се имат предвид фигурите, в които всеки от ъглите между страните е равен на деветдесет градуса, си струва да обърнете повече внимание на правоъгълника. И така, какви са специалните характеристики, които го отличават от другите паралелограми?

За да се твърди, че въпросният паралелограм е правоъгълник, диагоналите му трябва да са равни един на друг и всеки от ъглите трябва да е прав. Освен това квадратът на неговите диагонали трябва да съответства на сумата от квадратите на двете съседни страни на тази фигура. С други думи, класическият правоъгълник се състои от две правоъгълни триъгълници, а в тях, както е известно, диагоналът на разглеждания четириъгълник действа като хипотенуза.

Последната от изброените характеристики на тази фигура е и нейното специално свойство. Освен това има и други. Например фактът, че всички страни на изследвания четириъгълник с прави ъгли са едновременно и неговите височини.

Освен това, ако нарисувате кръг около всеки правоъгълник, диаметърът му ще бъде равен на диагонала на вписаната фигура.

Сред другите свойства на този четириъгълник е, че е плосък и не съществува в неевклидовата геометрия. Това се дължи на факта, че в такава система няма четириъгълни фигури, чийто сбор от ъгли е равен на триста и шестдесет градуса.

Квадрат и неговите характеристики

След като се занимаваме със знаците и свойствата на правоъгълник, си струва да обърнем внимание на втория четириъгълник с прави ъгли, известни на науката (това е квадрат).

Тъй като всъщност е същият правоъгълник, но с равни страни, тази фигура има всичките си свойства. Но за разлика от него, квадратът присъства в неевклидовата геометрия.

В допълнение, тази фигура има и други свои отличителни черти. Например фактът, че диагоналите на квадрат не само са равни един на друг, но и се пресичат под прав ъгъл. По този начин, подобно на ромб, квадратът се състои от четири правоъгълни триъгълника, на които е разделен от диагоналите.

Освен това тази фигура е най-симетричната от всички четириъгълници.

Каква е сумата от ъглите на четириъгълник

Като се имат предвид характеристиките на четириъгълниците на евклидовата геометрия, си струва да се обърне внимание на техните ъгли.

И така, във всяка от горните фигури, независимо дали има прави ъгли или не, тяхната обща сума винаги е една и съща - триста и шестдесет градуса. То е уникално отличителна чертатози вид фигури.

Периметър на четириъгълници

След като разбрахме на какво е равна сумата от ъглите на четириъгълник и други специални свойства на фигури от този тип, си струва да разберем кои формули е най-добре да се използват за изчисляване на техния периметър и площ.

За да определите периметъра на всеки четириъгълник, просто трябва да добавите дължината на всичките му страни заедно.

Например, във форма на KLMN, нейният периметър може да се изчисли по формулата: P = KL + LM + MN + KN. Ако замените числата тук, получавате: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (см).

В случай, че въпросната фигура е ромб или квадрат, за да намерите периметъра, можете да опростите формулата, като просто умножите дължината на една от страните по четири: P = KL x 4. Например: 6 x 4 = 24 (см).

Формули за четириъгълник на площ

След като разбрахме как да намерите периметъра на всяка форма с четири ъгъла и страни, си струва да разгледате най-популярните и прости начининамиране на неговата площ.

Други свойства на четириъгълниците: вписани и описани окръжности

След като разгледахме характеристиките и свойствата на четириъгълника като фигура от евклидова геометрия, си струва да се обърне внимание на способността да се описват или вписват кръгове вътре в него:

• Ако сумите на противоположните ъгли на фигурата са сто и осемдесет градуса всеки и са равни по двойки, тогава около такъв четириъгълник може свободно да се опише кръг.
• Според теоремата на Птолемей, ако окръжност е описана извън многоъгълник с четири страни, тогава произведението на диагоналите му е равно на сбора от произведенията на противоположните страни на тази фигура. Така формулата ще изглежда така: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Ако построите четириъгълник, в който сумите на противоположните страни са равни една на друга, тогава в него може да бъде вписан кръг.

След като разбрахме какво е четириъгълник, какви видове съществуват, кои от тях имат само прави ъгли между страните и какви свойства имат, си струва да си припомним целия този материал. По-специално, формулата за намиране на периметъра и площта на разглежданите многоъгълници. В крайна сметка фигурите с тази форма са едни от най-често срещаните и това знание може да бъде полезно за изчисления в реалния живот.

1 ... Сборът от диагоналите на изпъкнал четириъгълник е по-голям от сбора на двете му противоположни страни.

2 ... Ако отсечките, свързващи средните точки на противоположните страни четириъгълник

а) са равни, тогава диагоналите на четириъгълника са перпендикулярни;

б) са перпендикулярни, то диагоналите на четириъгълника са равни.

3 ... Симетралите на ъглите от страничната страна на трапеца се пресичат по средната му линия.

4 ... Страните на паралелограма са равни и. Тогава четириъгълникът, образуван от пресечните точки на симетралите на ъглите на успоредника, е правоъгълник, чиито диагонали са равни.

5 ... Ако сумата от ъглите в една от основите на трапеца е 90 °, тогава сегментът, свързващ средните точки на основите на трапеца, е равен на тяхната полуразлика.

6 ... Отстрани ABи АДпаралелограм ABCDвзети точки Ми нтака че направо MCи NCразделете успоредника на три равни части. намирам MN,ако BD = d.

7 ... Отсечка от права линия, успоредна на основите на трапеца, затворена вътре в трапеца, е разделена от диагоналите си на три части. Тогава сегментите, съседни на страничните страни, са равни една на друга.

8 ... През точката на пресичане на диагоналите на трапеца с основите и права линия е начертана успоредна на основите. Отсечката на тази права линия, затворена между страничните страни на трапеца, е равна на.

9 ... Трапецът е разделен на права линия, успоредна на основите му, равни и , на два равни трапеца. Тогава отсечката на тази права линия, затворена между страничните страни, е равна на.

10 ... Ако е изпълнено едно от следните условия, тогава четири точки А, Б, Ви длежат на същия кръг.

а) CAD = CBD = 90°.

б) точки Аи Vлежат от едната страна на права линия CDи ъгъл CADравно на ъгъла CBD.

в) права КАТОи BDпресичат се в точката Ои О А ОВ = ОВ ОД.

11 ... Точка на свързване на линия Рпресичане на диагоналите на четириъгълника ABCD сточка Впресечни точки на прави линии ABи компактдиск,разделя страната АДна половина. След това тя разполовява и отстрани слънце.

12 ... Всяка страна на изпъкналия четириъгълник е разделена на три равни части. Съответните точки на разделяне от противоположните страни са свързани с отсечки. След това тези сегменти се разделят един друг на три равни части.

13 ... Две прави линии разделят всяка от двете противоположни страни на изпъкналия четириъгълник на три равни части. Тогава между тези линии е една трета от площта на четириъгълника.

14 ... Ако окръжност може да бъде вписана в четириъгълник, тогава отсечката, свързваща точките, в които вписаната окръжност докосва противоположните страни на четириъгълника, минава през пресечната точка на диагоналите.

15 ... Ако сумите на противоположните страни на четириъгълника са равни, тогава в такъв четириъгълник може да се впише кръг.

16. Свойства на вписан четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали.Четириъгълник ABCDвписана в кръг с радиус Р.Неговите диагонали КАТОи BDвзаимно перпендикулярни и се пресичат в точката Р.Тогава

а) медианата на триъгълника ARVперпендикулярно на страната CD;

б) прекъсната линия AOCразделя четириъгълник ABCDна две равни части;

v) AB 2 + CD 2=4Р 2 ;

ж) AP 2 + BP 2 + CP 2 + DP 2 = 4Р 2 и AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 = 8R 2;

д) разстоянието от центъра на окръжността до страната на четириъгълника е половината от противоположната страна.

е) ако перпендикулярите са надолу встрани АДот върховете Vи С,пресичат диагоналите КАТОи BDв точки Еи F,тогава BCFE- ромб;

ж) четириъгълник, върховете на който са проекции на точка Рпо страните на четириъгълника ABCD,- както вписани, така и описани;

з) четириъгълник, образуван от допирателни към описаната окръжност на четириъгълник ABCD,начертан във върховете му може да бъде вписан в окръжност.

17 ... Ако а, б, в, г- последователни страни на четириъгълник, С- тогава неговата площ и равенството се извършва само за вписан четириъгълник, чиито диагонали са взаимно перпендикулярни.

18 . Формулата на Брахмагупта.Ако страните на вписания четириъгълник са равни а, б, ви д,след това неговата площ Сможе да се изчисли по формулата,

където - полупериметър на четириъгълник.

19 ... Ако четириъгълник със страни а, б, в, гможе да бъде вписан и около него може да се опише кръг, тогава неговата площ е .

20 ... Точка P се намира вътре в квадрата ABCD,и ъгълът PABравно на ъгъла PBAи е равно 15°. След това триъгълникът DPC- равностранен.

21 ... Ако за вписан четириъгълник ABCDравенството важи CD = AD + BC,след това симетралите на ъглите му Аи Vпресичат се отстрани CD.

22 ... Продължения на противоположните страни ABи CDвписан четириъгълник ABCDпресичат се в точката М,и страните АДи слънце- в точката Н.Тогава

а) симетраси на ъгли AMDи DNCвзаимно перпендикулярни;

б) права МQи NQпресичат страните на четириъгълника във върховете на ромба;

в) пресечна точка Вна тези симетралии лежи върху отсечката, свързваща средните точки на диагоналите на четириъгълника ABCD.

23 . Теорема на Птолемей.Сборът от произведенията на две двойки противоположни страни на вписан четириъгълник е равен на произведението на неговите диагонали.

24 . Теорема на Нютон.Във всеки описан четириъгълник средите на диагоналите и центърът на вписаната окръжност са разположени на една права линия.

25 . Теорема на Монж.Линиите, проведени през средата на страните на вписания четириъгълник, перпендикулярни на противоположните страни, се пресичат в една точка.

27 ... Четири кръга, построени върху страните на изпъкналия четириъгълник като диаметри, покриват целия четириъгълник.

29 ... Два противоположни ъгъла на изпъкнал четириъгълник са тъпи. Тогава диагоналът, свързващ върховете на тези ъгли, е по-малък от другия диагонал.

30. Самите центрове на квадратите, построени върху страните на успоредника извън него, образуват квадрат.