ఈ విభాగంలో విధులు మరియు వాటి ఉత్పన్నాల అధ్యయనానికి సంబంధించిన అంశాలపై గణితంలో పరీక్ష యొక్క సమస్యలు ఉన్నాయి.

డెమో వెర్షన్లు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష 2020 సంవత్సరం వారు సంఖ్య కింద కలుసుకోవచ్చు 14 ప్రాథమిక స్థాయి మరియు తక్కువ సంఖ్య కోసం 7 ప్రొఫైల్ స్థాయి కోసం.

ఈ మూడు ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌లను నిశితంగా పరిశీలించండి.
ఈ విధులు ఏదో ఒకవిధంగా "సంబంధించినవి" అని మీరు గమనించారా?
ఉదాహరణకు, ఆకుపచ్చ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ సున్నా పైన ఉన్న ప్రాంతాల్లో, ఎరుపు ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది. ఆకుపచ్చ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ సున్నా కంటే తక్కువగా ఉన్న ప్రాంతాల్లో, ఎరుపు ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది.
ఎరుపు మరియు నీలం గ్రాఫ్‌ల కోసం ఇలాంటి వ్యాఖ్యలు చేయవచ్చు.
ఆకుపచ్చ ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలు (చుక్కలు) కూడా మీరు గమనించవచ్చు x = -1 మరియు x = 3) రెడ్ గ్రాఫ్ యొక్క ఎక్స్ట్రమ్ పాయింట్‌లతో సమానంగా ఉంటుంది: వద్ద x = రెడ్ చార్టులో −1 లోకల్ గరిష్టంగా, వద్ద చూస్తాము NS రెడ్ చార్టులో = 3, స్థానిక కనీస.
రెడ్ చార్ట్ విలువ గుండా వెళుతున్న ప్రదేశాలలోనే నీలిరంగు చార్ట్ యొక్క స్థానిక హెచ్చు తగ్గులను చేరుకున్నట్లు చూడటం సులభం y = 0.
ఈ గ్రాఫ్‌ల ప్రవర్తన యొక్క విశిష్టతల గురించి ఇంకా అనేక తీర్మానాలు చేయవచ్చు, ఎందుకంటే అవి నిజంగా ఒకదానితో ఒకటి సంబంధం కలిగి ఉంటాయి. ప్రతి గ్రాఫ్‌ల క్రింద ఉన్న ఫంక్షన్ల సూత్రాలను చూడండి, మరియు లెక్కల ద్వారా ప్రతి మునుపటిది తదుపరిదానికి ఉత్పన్నం అని నిర్ధారించుకోండి మరియు తదనుగుణంగా, ప్రతి తదుపరిది మునుపటి ఫంక్షన్ యొక్క పూర్వ రూపాలలో ఒకటి .

φ 1 (x ) = φ" 2 (x ) φ 2 (x ) = Φ 1 (x )
φ 2 (x ) = φ" 3 (x ) φ 3 (x ) = Φ 2 (x )

ఉత్పన్నం గురించి మనకు తెలిసిన వాటిని గుర్తుంచుకుందాం:

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం y = f(x) పాయింట్ వద్ద NSపాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క మార్పు రేటును వ్యక్తపరుస్తుంది x.

ఉత్పన్నం యొక్క భౌతిక అర్థంవ్యత్యాసం y = f (x) ద్వారా వివరించిన ప్రక్రియ రేటును ఉత్పన్నం వ్యక్తీకరిస్తుంది.

ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థంపరిగణనలో ఉన్న పాయింట్ వద్ద దాని విలువ ఈ సమయంలో డిఫరెన్సిబుల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు గీసిన టాంజెంట్ వాలుకు సమానంగా ఉంటుంది.

ఇప్పుడు చిత్రంలో ఎరుపు గ్రాఫ్ ఉండనివ్వండి. మాకు ఫంక్షన్ సూత్రాలు కూడా తెలియవని అనుకుందాం.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ప్రవర్తనకు సంబంధించి నేను మిమ్మల్ని ఏదైనా అడగవచ్చు φ 2 (x ) అది ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం అని తెలిస్తే φ 3 (x ) మరియు యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ φ 1 (x )?
చెయ్యవచ్చు. మరియు అనేక ప్రశ్నలకు సరిగ్గా సమాధానం ఇవ్వవచ్చు, ఎందుకంటే ఉత్పన్నం అనేది ఒక ఫంక్షన్ యొక్క మార్పు రేటు యొక్క లక్షణం అని మాకు తెలుసు, కాబట్టి ఈ ఫంక్షన్‌లలో ఒకదాని ప్రవర్తనలో మరొకటి గ్రాఫ్‌ని చూసి మనం నిర్ధారించవచ్చు.

కింది ప్రశ్నలకు సమాధానమిచ్చే ముందు, పేజీని స్క్రోల్ చేయండి, తద్వారా ఎరుపు గ్రాఫ్ ఉన్న టాప్ ఫిగర్ దాగి ఉంటుంది. సమాధానాలు ఇవ్వబడినప్పుడు, ఫలితాన్ని తనిఖీ చేయడానికి దాన్ని తిరిగి ఉంచండి. మరియు ఆ తర్వాత మాత్రమే నా నిర్ణయం చూడండి.

శ్రద్ధ: బోధనా ప్రభావాన్ని పెంచడానికి సమాధానాలు మరియు పరిష్కారాలుపసుపు నేపథ్యంలో బటన్‌లను వరుసగా నొక్కడం ద్వారా ప్రతి పని కోసం విడిగా లోడ్ చేయబడతాయి. (చాలా పనులు ఉన్నప్పుడు, బటన్‌లు ఆలస్యంతో కనిపిస్తాయి. బటన్‌లు కనిపించకపోతే, మీ బ్రౌజర్ అనుమతించబడిందో లేదో తనిఖీ చేయండి జావాస్క్రిప్ట్.)

1) ఉత్పన్నం యొక్క గ్రాఫ్‌ను ఉపయోగించడం φ" 2 (x ) (మా విషయంలో, ఇది ఆకుపచ్చ గ్రాఫ్), ఫంక్షన్ యొక్క 2 విలువలలో ఏది ఎక్కువ అని నిర్ణయించండి φ 2 (−3) లేదా φ 2 (−2)?

ఉత్పన్నం యొక్క గ్రాఫ్ విభాగంలో [−3; −2] దాని విలువలు ఖచ్చితంగా సానుకూలంగా ఉన్నాయని చూపిస్తుంది, అంటే ఈ విభాగంలో ఫంక్షన్ మాత్రమే పెరుగుతుంది, కాబట్టి ఎడమ చివర ఫంక్షన్ విలువ x = −3 కుడి చివర దాని విలువ కంటే తక్కువ x = −2.

సమాధానం: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) యాంటీడెరివేటివ్ గ్రాఫ్‌ను ఉపయోగించడం Φ 2 (x ) (మా విషయంలో, ఇది బ్లూ గ్రాఫ్), ఫంక్షన్ యొక్క 2 విలువలలో ఏది ఎక్కువ అని నిర్ణయించండి φ 2 (−1) లేదా φ 2 (4)?

యాంటీడెరివేటివ్ గ్రాఫ్ పాయింట్ అని చూపిస్తుంది x = −1 పెరుగుతున్న ప్రాంతంలో ఉంది, అందువల్ల సంబంధిత ఉత్పన్నం విలువ సానుకూలంగా ఉంటుంది. పాయింట్ x = 4 తగ్గుతున్న ప్రాంతంలో ఉంది మరియు సంబంధిత ఉత్పన్నం విలువ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. పాజిటివ్ విలువ నెగటివ్ కంటే ఎక్కువగా ఉన్నందున, పాయింట్ −1 కంటే పాయింట్ 4 వద్ద ఖచ్చితంగా ఉత్పన్నం అయిన తెలియని ఫంక్షన్ విలువ తక్కువగా ఉంటుందని మేము నిర్ధారించాము.

సమాధానం: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

తప్పిపోయిన షెడ్యూల్ గురించి మీరు అడగగల ఇలాంటి ప్రశ్నలు చాలా ఉన్నాయి, అదే పథకం ప్రకారం నిర్మించిన చిన్న సమాధానంతో అనేక రకాల సమస్యలకు దారితీస్తుంది. వాటిలో కొన్నింటిని పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించండి.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఉత్పన్నం యొక్క లక్షణాలను నిర్ణయించే పనులు.

చిత్రం 1.

మూర్తి 2.

సమస్య 1

y = f (x ) విరామంలో నిర్వచించబడింది (−10.5; 19). ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉండే పూర్ణాంక పాయింట్ల సంఖ్యను నిర్ణయించండి.

ఫంక్షన్ పెరిగే ప్రాంతాల్లో ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది. ఇవి విరామాలు (−10.5; −7.6), (−1; 8.2) మరియు (15.7; 19) అని ఫిగర్ చూపిస్తుంది. ఈ విరామాలలో మొత్తం పాయింట్లను జాబితా చేద్దాం: "−10", "- 9", "−8", "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6 "," 7 "," 8 "," 16 "," 17 "," 18 ". మొత్తం 15 పాయింట్లు ఉన్నాయి.

సమాధానం: 15

వ్యాఖ్యలు.
1. ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌ల గురించి సమస్యలలో "పాయింట్లు" పేరు పెట్టడం అవసరం అయినప్పుడు, నియమం ప్రకారం, అవి వాదన విలువలను మాత్రమే సూచిస్తాయి x , ఇవి గ్రాఫ్‌లో ఉన్న సంబంధిత పాయింట్ల అబ్సిస్సాస్. ఈ పాయింట్ల ఆర్డినెట్‌లు ఫంక్షన్ విలువలు, అవి ఆధారపడి ఉంటాయి మరియు అవసరమైతే సులభంగా లెక్కించవచ్చు.
2. పాయింట్ల జాబితా చేసేటప్పుడు, మేము విరామాల అంచులను పరిగణనలోకి తీసుకోలేదు, ఎందుకంటే ఈ పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ పెరగదు లేదా తగ్గదు, కానీ "విప్పుతుంది". అటువంటి పాయింట్ల వద్ద ఉత్పన్నం పాజిటివ్ లేదా నెగటివ్ కాదు, ఇది సున్నాకి సమానం, కాబట్టి వాటిని స్టేషనరీ పాయింట్లు అంటారు. అదనంగా, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ యొక్క సరిహద్దులను మేము ఇక్కడ పరిగణించము, ఎందుకంటే ఇది విరామం అని పరిస్థితి చెబుతుంది.

టాస్క్ 2

మూర్తి 1 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది y = f (x ) విరామంలో నిర్వచించబడింది (−10.5; 19). ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం అయిన పూర్ణాంక పాయింట్ల సంఖ్యను నిర్ణయించండి f " (x ) ప్రతికూలంగా ఉంది.

ఫంక్షన్ తగ్గిన ప్రాంతాల్లో ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. ఇవి విరామాలు (−7.6; −1) మరియు (8.2; ​​15.7) అని ఫిగర్ చూపిస్తుంది. ఈ వ్యవధిలో పూర్ణాంక పాయింట్లు: "−7", "- 6", "−5", "- 4", "−3", "- 2", "9", "10", "11", "12 "," 13 "," 14 "," 15 ". మొత్తం 13 పాయింట్లు ఉన్నాయి.

సమాధానం: 13

మునుపటి పని కోసం గమనికలను చూడండి.

కింది సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, మీరు మరొక నిర్వచనాన్ని గుర్తుంచుకోవాలి.

ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లు కలిపి ఉంటాయి సాధారణ పేరు - ఎక్స్ట్రమ్ పాయింట్లు .

ఈ పాయింట్ల వద్ద, ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సున్నా లేదా ఉనికిలో లేదు ( అవసరమైన ఎక్స్ట్రమ్ పరిస్థితి).
ఏదేమైనా, అవసరమైన పరిస్థితి సంకేతం, కానీ ఫంక్షన్ యొక్క అంత్య ఉనికికి హామీ కాదు. ఎక్స్ట్రమ్ కోసం తగినంత పరిస్థితిఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం యొక్క మార్పు: ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం గుర్తును "+" నుండి "-" కు మార్చినట్లయితే, ఇది ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట పాయింట్; ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం "-" నుండి "+" కు గుర్తును మార్చినట్లయితే, ఇది ఫంక్షన్ యొక్క కనీస బిందువు; ఒక సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానంగా ఉంటే లేదా ఉనికిలో లేనట్లయితే, కానీ ఈ బిందువు గుండా వెళుతున్నప్పుడు ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం ఎదురుగా మారదు, అప్పుడు పేర్కొన్న పాయింట్ ఫంక్షన్ యొక్క అంత్య బిందువు కాదు. ఇది ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌లో ఇన్ఫ్లేషన్ పాయింట్, బ్రేక్ పాయింట్ లేదా బ్రేక్ పాయింట్ కావచ్చు.

సమస్య 3

మూర్తి 1 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది y = f (x ) విరామంలో నిర్వచించబడింది (−10.5; 19). ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ సరళ రేఖకు సమాంతరంగా ఉండే పాయింట్ల సంఖ్యను కనుగొనండి y = 6 లేదా దానికి సరిపోతుంది.

రేఖ యొక్క సమీకరణానికి రూపం ఉందని గుర్తుంచుకోండి y = kx + బి , ఎక్కడ k- అక్షానికి ఈ సరళ రేఖ వంపు గుణకం ఎద్దు... మా విషయంలో k= 0, అనగా నేరుగా y = 6 వంగి లేదు కానీ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది ఎద్దు... దీని అర్థం అవసరమైన టాంజెంట్‌లు కూడా అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండాలి ఎద్దుమరియు తప్పనిసరిగా 0. వాలు కూడా ఉండాలి. అందువల్ల, ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి, మీరు చార్ట్‌లోని అన్ని తీవ్రమైన పాయింట్లను లెక్కించాలి. వాటిలో 4 ఉన్నాయి - రెండు గరిష్ట పాయింట్లు మరియు రెండు కనీస పాయింట్లు.

సమాధానం: 4

సమస్య 4

విధులు y = f (x ) విరామంలో నిర్వచించబడింది (−11; 23). విభాగంలో ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్ట్రమ్ పాయింట్ల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

సూచించిన విభాగంలో, మేము 2 ఎక్స్ట్రమ్ పాయింట్‌లను చూస్తాము. ఫంక్షన్ గరిష్టంగా పాయింట్ వద్దకు చేరుకుంటుంది x 1 = 4, పాయింట్ వద్ద కనిష్ట x 2 = 8.
x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12.

సమాధానం: 12

సమస్య 5

మూర్తి 1 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది y = f (x ) విరామంలో నిర్వచించబడింది (−10.5; 19). ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నమైన పాయింట్ల సంఖ్యను కనుగొనండి f " (x ) 0 కి సమానం.

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఎక్స్ట్రమ్ పాయింట్ల వద్ద సున్నాకి సమానం, వీటిలో 4 గ్రాఫ్‌లో కనిపిస్తాయి:
గరిష్టంగా 2 పాయింట్లు మరియు కనిష్టంగా 2 పాయింట్లు.

సమాధానం: 4

ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలను దాని ఉత్పన్నం యొక్క గ్రాఫ్ నుండి నిర్ణయించే పనులు.

చిత్రం 1.

మూర్తి 2.

సమస్య 6

మూర్తి 2 గ్రాఫ్ చూపిస్తుంది f " (x ) - ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం f (x ) విరామంలో నిర్వచించబడింది (−11; 23). సెగ్మెంట్ ఏ సమయంలో [−6; 2] ఫంక్షన్ f (x ) అతిపెద్ద విలువను తీసుకుంటుంది.

సూచించిన విరామంలో, ఉత్పన్నం ఎక్కడా సానుకూలంగా లేదు, కాబట్టి ఫంక్షన్ పెరగలేదు. ఇది తగ్గింది లేదా స్థిర పాయింట్ల గుండా వెళుతుంది. అందువలన, సెగ్మెంట్ యొక్క ఎడమ సరిహద్దులో ఫంక్షన్ దాని గొప్ప విలువను చేరుకుంది: x = −6.

సమాధానం: −6

వ్యాఖ్య: ఉత్పన్నం యొక్క గ్రాఫ్ సెగ్మెంట్‌లో చూపిస్తుంది [−6; 2] ఇది సున్నాకి మూడు సార్లు సమానం: పాయింట్ల వద్ద x = −6, x = −2, x = 2. కానీ పాయింట్ వద్ద x = -2 ఒరిజినల్ ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌లో ఇన్ఫ్లేషన్ పాయింట్ ఉండవచ్చు.

సమస్య 7

మూర్తి 2 గ్రాఫ్ చూపిస్తుంది f " (x ) - ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం f (x ) విరామంలో నిర్వచించబడింది (−11; 23). సెగ్మెంట్ యొక్క ఏ సమయంలో ఫంక్షన్ చిన్న విలువను తీసుకుంటుంది.

విభాగంలో, ఉత్పన్నం ఖచ్చితంగా సానుకూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, ఈ విభాగంలో ఫంక్షన్ మాత్రమే పెరిగింది. అందువలన, ఫంక్షన్ సెగ్మెంట్ యొక్క ఎడమ అంచున ఉన్న చిన్న విలువను చేరుకుంది: x = 3.

సమాధానం: 3

సమస్య 8

మూర్తి 2 గ్రాఫ్ చూపిస్తుంది f " (x ) - ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం f (x ) విరామంలో నిర్వచించబడింది (−11; 23). ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట పాయింట్ల సంఖ్యను కనుగొనండి f (x ), విభాగానికి చెందినది [−5;10].

ప్రకారం అవసరమైన పరిస్థితిఎక్స్ట్రమ్ గరిష్ట ఫంక్షన్ బహుశాదాని ఉత్పన్నం సున్నా ఉన్న పాయింట్ల వద్ద. ఇచ్చిన విభాగంలో, ఇవి పాయింట్లు: x = −2, x = 2, x = 6, x = 10. కానీ తగినంత పరిస్థితి ప్రకారం, అది ఖచ్చితంగా ఉంటుందిడెరివేటివ్ సంకేతం "+" నుండి "-" వరకు మారే వాటిలో మాత్రమే. ఉత్పన్నం యొక్క గ్రాఫ్‌లో, జాబితా చేయబడిన పాయింట్లలో, పాయింట్ మాత్రమే అలాంటిది అని మేము చూస్తాము x = 6.

సమాధానం: 1

సమస్య 9

మూర్తి 2 గ్రాఫ్ చూపిస్తుంది f " (x ) - ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం f (x ) విరామంలో నిర్వచించబడింది (−11; 23). ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్ట్రమ్ పాయింట్ల సంఖ్యను కనుగొనండి f (x ) విభాగానికి చెందినది.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్రత దాని ఉత్పన్నం 0. ఉన్న ప్రదేశాలలో ఉంటుంది. డెరివేటివ్ గ్రాఫ్ యొక్క ఇచ్చిన సెగ్మెంట్‌లో, మేము అలాంటి 5 పాయింట్లను చూస్తాము: x = 2, x = 6, x = 10, x = 14, x = 18. కానీ పాయింట్ వద్ద x = 14 ఉత్పన్నం దాని చిహ్నాన్ని మార్చలేదు, కనుక దీనిని పరిగణన నుండి మినహాయించాలి. ఇది 4 పాయింట్లను వదిలివేస్తుంది.

సమాధానం: 4

సమస్య 10

మూర్తి 1 గ్రాఫ్ చూపిస్తుంది f " (x ) - ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం f (x ) విరామంలో నిర్వచించబడింది (−10.5; 19). పెరుగుతున్న ఫంక్షన్ యొక్క విరామాలను కనుగొనండి f (x ). సమాధానంలో, వాటిలో పొడవైన పొడవును సూచించండి.

ఫంక్షన్ పెరుగుదల యొక్క విరామాలు ఉత్పన్నం యొక్క సానుకూలత యొక్క విరామాలతో సమానంగా ఉంటాయి. గ్రాఫ్‌లో మేము వాటిలో మూడు చూస్తాము - (−9; −7), (4; 12), (18; 19). వాటిలో పొడవైనది రెండవది. దాని పొడవు l = 12 − 4 = 8.

సమాధానం: 8

అసైన్‌మెంట్ 11

మూర్తి 2 గ్రాఫ్ చూపిస్తుంది f " (x ) - ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం f (x ) విరామంలో నిర్వచించబడింది (−11; 23). ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ ఉన్న పాయింట్ల సంఖ్యను కనుగొనండి f (x ) సరళ రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటుంది y = −2x − 11 లేదా దానికి సరిపోతుంది.

ఇచ్చిన సరళ రేఖ k = −2 యొక్క వాలు (ఆకృతి యొక్క టాంజెంట్). మేము సమాంతర లేదా యాదృచ్చిక టాంజెంట్‌లపై ఆసక్తి కలిగి ఉన్నాము, అనగా. ఒకే వాలుతో సరళ రేఖలు. ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్ధం ఆధారంగా - ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క పరిగణించబడే పాయింట్ వద్ద టాంజెంట్ యొక్క వాలు, మేము ఉత్పన్నం −2 కు సమానమైన పాయింట్లను తిరిగి లెక్కిస్తాము. మూర్తి 2 అటువంటి 9 పాయింట్లను చూపుతుంది. గ్రాఫ్ యొక్క ఖండనల ద్వారా మరియు అక్షం మీద విలువ through2 గుండా గ్రిడ్ లైన్ ద్వారా వాటిని లెక్కించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది ఓయ్.

సమాధానం: 9

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఒకే గ్రాఫ్‌ను ఉపయోగించి, మీరు ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ప్రవర్తన మరియు దాని ఉత్పన్నం గురించి అనేక రకాల ప్రశ్నలను అడగవచ్చు. అలాగే, ఒకే విధమైన ప్రశ్నను వివిధ ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లకు ఆపాదించవచ్చు. పరీక్షలో ఈ సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు జాగ్రత్తగా ఉండండి మరియు ఇది మీకు చాలా తేలికగా కనిపిస్తుంది. ఈ పనిలోని ఇతర రకాల సమస్యలు - యాంటీడెరివేటివ్ యొక్క రేఖాగణిత అర్ధంపై - మరొక విభాగంలో చర్చించబడతాయి.

పాఠ లక్ష్యాలు:

పాఠ్యాంశాలు: పునరావృతం సైద్ధాంతిక సమాచారంఈ అంశంపై జ్ఞానాన్ని సాధారణీకరించడానికి, ఏకీకృతం చేయడానికి మరియు మెరుగుపరచడానికి "డెరివేటివ్ యొక్క అప్లికేషన్" అనే అంశంపై.

వివిధ రకాల గణిత సమస్యలను పరిష్కరించడంలో పొందిన సైద్ధాంతిక పరిజ్ఞానాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలో నేర్పించడానికి.

ప్రాథమిక మరియు పెరిగిన సంక్లిష్టత యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క భావనకు సంబంధించిన USE పనులను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులను పరిగణించండి.

విద్యా:

నైపుణ్యాల శిక్షణ: ప్రణాళికా కార్యకలాపాలు, సరైన వేగంతో పనిచేయడం, సమూహంలో పనిచేయడం, సంగ్రహించడం.

వారి సామర్ధ్యాలను అంచనా వేసే సామర్థ్యాన్ని, స్నేహితులతో కమ్యూనికేట్ చేసే సామర్థ్యాన్ని పెంపొందించడానికి.

బాధ్యత మరియు సానుభూతి భావాలను పెంపొందించడానికి. జట్టులో పని చేసే సామర్థ్యాన్ని పెంపొందించడానికి; నైపుణ్యాలు .. క్లాస్‌మేట్స్ అభిప్రాయాన్ని సూచిస్తుంది.

అభివృద్ధి చెందుతోంది: అధ్యయనం చేయబడుతున్న అంశం యొక్క ముఖ్య అంశాలను సూత్రీకరించగలరు. జట్టుకృషి నైపుణ్యాలను పెంపొందించుకోండి.

పాఠం రకం: కలిపి:

సాధారణీకరణ, నైపుణ్యాల ఏకీకరణ, ప్రాథమిక విధుల లక్షణాల అనువర్తనం, ఇప్పటికే ఏర్పడిన జ్ఞానం, సామర్థ్యాలు మరియు నైపుణ్యాల అనువర్తనం, ప్రామాణికం కాని పరిస్థితులలో ఉత్పన్నం యొక్క అనువర్తనం.

సామగ్రి: కంప్యూటర్, ప్రొజెక్టర్, స్క్రీన్, హ్యాండ్‌అవుట్‌లు.

పాఠ ప్రణాళిక:

1. సంస్థాగత కార్యకలాపాలు

మానసిక స్థితి యొక్క ప్రతిబింబం

2. విద్యార్థి జ్ఞానాన్ని నవీకరించడం

3. నోటి పని

4. సమూహాలలో స్వతంత్ర పని

5. పూర్తయిన పని రక్షణ

6. స్వతంత్ర పని

7. హోంవర్క్

8. పాఠ సారాంశం

9. మానసిక స్థితి యొక్క ప్రతిబింబం

తరగతుల సమయంలో

1. మానసిక స్థితి యొక్క ప్రతిబింబం.

మిత్రులారా, శుభోదయం. ఈ మూడ్‌తో నేను మీ పాఠానికి వచ్చాను (సూర్యుని చిత్రాన్ని చూపుతున్నాను)!

మీ మానసిక స్థితి ఏమిటి?

మీ పట్టికలో సూర్యుడి చిత్రాలు, మేఘాల వెనుక సూర్యుడు మరియు మేఘాల కార్డులు ఉన్నాయి. మీ మానసిక స్థితి ఏమిటో చూపించండి.

2. మాక్ పరీక్షల ఫలితాలను విశ్లేషించడం, అలాగే ఇటీవలి సంవత్సరాల తుది ధృవీకరణ ఫలితాలను విశ్లేషించడం, గణిత విశ్లేషణ పనులతో, నుండి పరీక్ష యొక్క పని 30% -35% కంటే ఎక్కువ గ్రాడ్యుయేట్లు దీనిని ఎదుర్కోలేరు. మా తరగతిలో, శిక్షణ మరియు డయాగ్నొస్టిక్ పని ఫలితాల ప్రకారం, వారందరూ సరిగ్గా చేయరు. ఇది మా ఎంపికకు కారణం. మేము USE సమస్యలను పరిష్కరించడంలో ఉత్పన్నం ఉపయోగించే నైపుణ్యాన్ని సాధన చేస్తాము.

తుది ధృవీకరణ సమస్యలతో పాటు, ఈ ప్రాంతంలో సంపాదించిన జ్ఞానం భవిష్యత్తులో ఎంత డిమాండ్ చేయగలదు మరియు ఈ అంశంపై అధ్యయనం చేయడానికి సమయం మరియు ఆరోగ్య ఖర్చులు రెండూ ఎంతవరకు సమర్థించబడుతాయి అనే ప్రశ్నలు మరియు సందేహాలు తలెత్తుతాయి.

ఒక ఉత్పన్నం ఎందుకు అవసరం? మేము ఉత్పన్నాన్ని ఎక్కడ కలుస్తాము మరియు దాన్ని ఉపయోగిస్తాము? అది లేకుండా గణితంలో చేయడం సాధ్యమేనా?

విద్యార్థి సందేశం 3 నిమిషాలు -

3. నోటి పని.

4. సమూహాలలో స్వతంత్ర పని (3 సమూహాలు)

గ్రూప్ 1 టాస్క్

) ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం ఏమిటి?

2) a) ఫిగర్ y = f (x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మరియు ఈ గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ చూపిస్తుంది, ఇది అబ్సిస్సా x0 తో పాయింట్ వద్ద డ్రా చేయబడింది. X0 పాయింట్ వద్ద f (x) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం విలువను కనుగొనండి.

బి) ఫిక్షన్ ఫంక్షన్ y = f (x) యొక్క గ్రాఫ్ మరియు ఈ గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌ను చూపుతుంది, ఇది అబ్సిస్సా x0 తో పాయింట్ వద్ద డ్రా చేయబడింది. X0 పాయింట్ వద్ద f (x) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం విలువను కనుగొనండి.

గ్రూప్ 1 సమాధానం:

1) x = x0 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క విలువ abcissa x0 తో పాయింట్ వద్ద ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు డ్రాన్ చేయబడిన టాంజెంట్ యొక్క నియత గుణకానికి సమానం. టాంజెంట్‌తో సమానంటాంజెంట్ వంపు కోణం (లేదా, మరో మాటలో చెప్పాలంటే) టాంజెంట్ ద్వారా ఏర్పడిన కోణం యొక్క టాంజెంట్ మరియు .. ఆక్స్ అక్షం యొక్క దిశ)

2) A) f1 (x) = 4/2 = 2

3) బి) f1 (x) = - 4/2 = -2

గ్రూప్ 2 టాస్క్

1) ఉత్పన్నం యొక్క భౌతిక అర్థం ఏమిటి?

2) మెటీరియల్ పాయింట్ చట్టం ప్రకారం సరళ రేఖలో కదులుతుంది
x (t) = - t2 + 8t -21, ఇక్కడ x అనేది రిఫరెన్స్ పాయింట్ నుండి మీటర్లలో దూరం, t అనేది కదలిక ప్రారంభం నుండి కొలిచిన సెకన్లలో సమయం. T = 3 s సమయంలో దాని వేగాన్ని (సెకనుకు మీటర్లలో) కనుగొనండి.

3) మెటీరియల్ పాయింట్ చట్టం ప్రకారం సరళ రేఖలో కదులుతుంది
x (t) = ½ * t2-t-4, ఇక్కడ x అనేది రిఫరెన్స్ పాయింట్ నుండి మీటర్లలో దూరం, t అనేది సెకన్లలో సమయం, కదలిక ప్రారంభం నుండి కొలుస్తారు. ఏ సమయంలో (సెకన్లలో) దాని వేగం 6 m / s కి సమానంగా ఉంటుంది?

గ్రూప్ 2 సమాధానం:

1) ఉత్పన్నం యొక్క భౌతిక (యాంత్రిక) అర్థం క్రింది విధంగా ఉంది.

S (t) అనేది శరీరం యొక్క రెక్టిలినియర్ మోషన్ యొక్క నియమం అయితే, ఆ ఉత్పన్నం t సమయంలో తక్షణ వేగాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది:

V (t) = - x (t) = - 2t = 8 = -2 * 3 + 8 = 2

3) X (t) = 1 / 2t ^ 2-t-4

గ్రూప్ 3 టాస్క్

1) సరళ రేఖ y = 3x-5 ఫంక్షన్ y = x2 + 2x-7 యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌కు సమాంతరంగా ఉంటుంది. టచ్ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సాను కనుగొనండి.

2) విరామం (-9; 8) లో నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ y = f (x) యొక్క గ్రాఫ్‌ను ఈ బొమ్మ చూపుతుంది. ఈ విరామంలో పూర్ణాంక పాయింట్ల సంఖ్యను నిర్ణయించండి, దీనిలో ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం f (x) సానుకూలంగా ఉంటుంది.

గ్రూప్ 3 సమాధానం:

1) సరళ రేఖ y = 3x-5 టాంజెంట్‌కి సమాంతరంగా ఉన్నందున, టాంజెంట్ వాలు సరళ రేఖ y = 3x-5 వాలుకు సమానంగా ఉంటుంది, అనగా k = 3.

Y1 (x) = 3, y1 = (x ^ 2 + 2x-7) 1 = 2x = 2 2x + 2 = 3

2) పూర్ణాంక పాయింట్లు పూర్ణాంక అబ్సిస్సా విలువలు కలిగిన పాయింట్లు.

ఫంక్షన్ పెరుగుతున్నట్లయితే f (x) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న: ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం గురించి మీరు ఏమి చెప్పగలరు, ఇది "అడవిలోకి మరింతగా, ఎక్కువ కట్టెలు" అనే సామెత ద్వారా వర్ణించబడింది

జవాబు: నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌పై ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఈ ఫంక్షన్ మార్పు లేకుండా పెరుగుతోంది

6. స్వతంత్ర పని (6 ఎంపికల కోసం)

7. హోంవర్క్.

శిక్షణ పని సమాధానాలు:

పాఠం సారాంశం.

"సంగీతం ఆత్మను ఉద్ధరించగలదు లేదా శాంతింపజేయగలదు, పెయింటింగ్ కంటిని ఆహ్లాదపరుస్తుంది, కవిత్వం భావాలను మేల్కొల్పగలదు, తత్వశాస్త్రం మనస్సు యొక్క అవసరాలను తీర్చగలదు, ఇంజనీరింగ్ ప్రజల జీవితాల్లో భౌతిక భాగాన్ని మెరుగుపరుస్తుంది. కానీ ఈ లక్ష్యాలన్నింటినీ గణితం సాధించగలదు. "

ఈ విషయాన్ని అమెరికన్ గణిత శాస్త్రవేత్త మారిస్ క్లైన్ చెప్పారు.

మీ పనికి ధన్యవాదాలు!

ప్రాథమిక స్థాయి గణితంలో USE యొక్క టాస్క్ నంబర్ 13 లో, మీరు ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ప్రవర్తన యొక్క ఒక భావన యొక్క నైపుణ్యాలు మరియు జ్ఞానాన్ని ప్రదర్శించాలి: ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నాలు లేదా పెరుగుదల లేదా తగ్గుదల రేట్లు. సిద్ధాంతం కొంచెం తరువాత ఈ పనికి జోడించబడుతుంది, అయితే ఇది అనేక విలక్షణ ఎంపికలను వివరంగా పరిశీలించకుండా నిరోధించదు.

ప్రాథమిక స్థాయి గణితంలో USE యొక్క నం. 14 పనుల కోసం సాధారణ ఎంపికల విశ్లేషణ

ఎంపిక 14MB1

గ్రాఫ్ ఒక ప్యాసింజర్ కారు ఇంజిన్ వేడెక్కే ప్రక్రియలో సమయానికి ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడటాన్ని చూపుతుంది. క్షితిజ సమాంతర అక్షం ఇంజిన్ ప్రారంభమైనప్పటి నుండి గడిచిన నిమిషాల సమయాన్ని చూపుతుంది; నిలువు అక్షం డిగ్రీల సెల్సియస్‌లో ఇంజిన్ ఉష్ణోగ్రత.

గ్రాఫ్ ఉపయోగించి, ఈ విరామంలో ఇంజిన్ వేడెక్కడం ప్రక్రియ యొక్క లక్షణాన్ని ప్రతి సమయ విరామానికి కేటాయించండి.

పట్టికలో, ప్రతి అక్షరం కింద, సంబంధిత సంఖ్యను సూచించండి.

అమలు అల్గోరిథం:

1. ఉష్ణోగ్రత తగ్గిన సమయ వ్యవధిని ఎంచుకోండి.
2. 30 ° C కి పాలకుడిని వర్తించండి మరియు ఉష్ణోగ్రత 30 ° C కంటే తక్కువగా ఉండే సమయ వ్యవధిని నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం:

ఉష్ణోగ్రత తగ్గిన సమయ వ్యవధిని ఎంచుకుందాం. ఈ ప్రాంతం కంటితో కనిపిస్తుంది, ఇంజిన్ ప్రారంభించిన క్షణం నుండి ఇది 8 నిమిషాలు ప్రారంభమవుతుంది.

30 ° C కి పాలకుడిని వర్తించండి మరియు ఉష్ణోగ్రత 30 ° C కంటే తక్కువగా ఉండే సమయ వ్యవధిని నిర్ణయించండి.

పాలకుడు క్రింద సమయ వ్యవధి 0 - 1 నిమిషానికి సంబంధించిన విభాగం ఉంటుంది.

పెన్సిల్ మరియు పాలకుడిని ఉపయోగించి, ఉష్ణోగ్రత ఏ సమయంలో 40 ° C నుండి 80 ° C వరకు ఉంటుందో మేము కనుగొంటాము.

గ్రాఫ్‌కు 40 ° C మరియు 80 ° C కి సంబంధించిన పాయింట్ల నుండి లంబాలను వదిలివేద్దాం, మరియు పొందిన పాయింట్‌ల నుండి మనం లంబ కోణాలను సమయ అక్షానికి వదిలివేస్తాము.

ఈ ఉష్ణోగ్రత విరామం 3 - 6.5 నిమిషాల సమయ విరామానికి అనుగుణంగా ఉందని మేము చూస్తాము. అంటే, 3 - 6 నిమిషాల స్థితిలో ఇచ్చిన వారి నుండి.

తప్పిపోయిన సమాధానాన్ని ఎంచుకోవడానికి మేము ఎలిమినేషన్ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము.

ఎంపిక 14MB2

పరిష్కారం:

ఫంక్షన్ A. యొక్క గ్రాఫ్‌ను విశ్లేషిద్దాం. ఫంక్షన్ పెరిగితే, ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఎక్స్ట్రమ్ పాయింట్ల వద్ద సున్నాకి సమానం.

మొదట, ఫంక్షన్ A పెరుగుతుంది, అనగా. ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది. ఇది 2 మరియు 3. ఉత్పన్నాల గ్రాఫ్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఫంక్షన్ x = -2 యొక్క గరిష్ట పాయింట్ వద్ద, అంటే, ఈ సమయంలో ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి. ఈ పరిస్థితి గ్రాఫ్ నంబర్ 3 ద్వారా కలుస్తుంది.

ముందుగా, ఫంక్షన్ B తగ్గుతుంది, అనగా. ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. ఇది 1 మరియు 4. ఉత్పన్నాల గ్రాఫ్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట పాయింట్ x = -2, అంటే, ఈ సమయంలో ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి. ఈ పరిస్థితి గ్రాఫ్ నంబర్ 4 ద్వారా కలుస్తుంది.

ముందుగా, ఫంక్షన్ B పెరుగుతుంది, అనగా. ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది. ఇది 2 మరియు 3. ఉత్పన్నాల గ్రాఫ్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఫంక్షన్ x = 1 యొక్క గరిష్ట పాయింట్, అంటే, ఈ సమయంలో ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి. ఈ పరిస్థితి గ్రాఫ్ నంబర్ 2 ద్వారా కలుస్తుంది.

తొలగింపు పద్ధతి ద్వారా, ఫంక్షన్ the యొక్క గ్రాఫ్ number సంఖ్య 1 లోని ఉత్పన్నం యొక్క గ్రాఫ్‌కి అనుగుణంగా ఉందని మనం నిర్ధారించవచ్చు.

సమాధానం: 3421.

ఎంపిక 14MB3

ప్రతి ఫంక్షన్ కోసం అమలు చేసే అల్గోరిథం:

1. ఫంక్షన్లను పెంచడం మరియు తగ్గించడం యొక్క విరామాలను నిర్ణయించండి.
2. ఫంక్షన్ల గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లను నిర్ణయించండి.
3. తీర్మానాలు చేయండి, ప్రతిపాదిత షెడ్యూల్‌లను లైన్‌లో ఉంచండి.

పరిష్కారం:

ఫంక్షన్ A యొక్క గ్రాఫ్‌ను విశ్లేషిద్దాం.

ఫంక్షన్ పెరుగుతుంటే, ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఎక్స్ట్రమ్ పాయింట్ల వద్ద సున్నాకి సమానం.

ఎక్స్ట్రమ్ పాయింట్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట లేదా కనిష్ట విలువను చేరుకున్న పాయింట్.

మొదట, ఫంక్షన్ A పెరుగుతుంది, అనగా. ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది. ఇది డెరివేటివ్స్ 3 మరియు 4. యొక్క గ్రాఫ్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటుంది x = 0 ఫంక్షన్ గరిష్ట స్థాయిలో, అంటే, ఈ సమయంలో ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి. ఈ పరిస్థితి గ్రాఫ్ నంబర్ 4 ద్వారా కలుస్తుంది.

ఫంక్షన్ B యొక్క గ్రాఫ్‌ను విశ్లేషిద్దాం.

ముందుగా, ఫంక్షన్ B తగ్గుతుంది, అనగా. ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. ఇది 1 మరియు 2. ఉత్పన్నాల గ్రాఫ్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఫంక్షన్ యొక్క కనీస బిందువు x = -1, అంటే, ఈ సమయంలో ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి. ఈ పరిస్థితి గ్రాఫ్ నంబర్ 2 ద్వారా కలుస్తుంది.

ఫంక్షన్ B యొక్క గ్రాఫ్‌ను విశ్లేషిద్దాం.

ముందుగా, ఫంక్షన్ B తగ్గుతుంది, అనగా. ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. ఇది 1 మరియు 2. ఉత్పన్నాల గ్రాఫ్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఫంక్షన్ x = 0 యొక్క కనీస బిందువు, అంటే, ఈ సమయంలో ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి. ఈ పరిస్థితి గ్రాఫ్ నంబర్ 1 ద్వారా కలుస్తుంది.

తొలగింపు పద్ధతి ద్వారా, ఫంక్షన్ the యొక్క గ్రాఫ్ number సంఖ్య 3 వద్ద ఉత్పన్నం యొక్క గ్రాఫ్‌కు అనుగుణంగా ఉందని మేము గుర్తించగలము.

సమాధానం: 4213.

ఎంపిక 14MB4

ఫిగర్ ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపిస్తుంది మరియు అబ్సిస్సాస్ A, B, C మరియు D తో ఉన్న పాయింట్‌ల వద్ద దానికి గీసిన టాంజెంట్‌లు.A, B, C మరియు D. పాయింట్ల వద్ద ఉత్పన్నం యొక్క విలువలను కుడి కాలమ్ చూపిస్తుంది, గ్రాఫ్‌ను ఉపయోగించి, ప్రతి పాయింట్‌లోని ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం విలువను కేటాయించండి.

పాయింట్లు
ఎ
వి
తో
డి

ది డైరివేటివ్ విలువలు
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

ఉత్పన్నం అంటే ఏమిటో గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం, అవి పాయింట్ వద్ద దాని విలువ - ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్న ఫంక్షన్ విలువ టాంజెంట్ యొక్క వాలు (గుణకం) యొక్క టాంజెంట్‌తో సమానంగా ఉంటుంది.

ప్రతిస్పందనలలో, మాకు రెండు సానుకూల మరియు రెండు ప్రతికూల ఎంపికలు ఉన్నాయి. మేము గుర్తుంచుకున్నట్లుగా, సరళ రేఖ యొక్క గుణకం (గ్రాఫిక్స్ y = kx + b) సానుకూలంగా ఉంటుంది, అప్పుడు సరళ రేఖ పెరుగుతుంది, అది ప్రతికూలంగా ఉంటే, సరళ రేఖ తగ్గుతుంది.

మేము రెండు ఆరోహణ సరళ రేఖలను కలిగి ఉన్నాము - A మరియు D. పాయింట్ల వద్ద ఇప్పుడు కోఎఫీషియంట్ k విలువ అంటే ఏమిటో గుర్తుంచుకుందాం?

కోఎఫీషియంట్ k ఎంత త్వరగా ఫంక్షన్ పెరుగుతుందో లేదా తగ్గుతుందో చూపిస్తుంది (వాస్తవానికి, కోఎఫీషియంట్ అనేది ఫంక్షన్ y = kx + b యొక్క ఉత్పన్నం).

అందువల్ల, k = 2/3 ఒక సరళమైన సరళ రేఖకు అనుగుణంగా ఉంటుంది - D, మరియు k = 3 - A.

అదేవిధంగా, ప్రతికూల విలువల విషయంలో: పాయింట్ B అనేది k = - 4, మరియు పాయింట్ C - -1/2 తో నిటారుగా ఉండే సరళ రేఖకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

ఎంపిక 14MB5

చిత్రంలో, గృహోపకరణాల స్టోర్‌లో హీటర్ల నెలవారీ విక్రయాలను చుక్కలు చూపుతాయి. నెలలు అడ్డంగా సూచించబడతాయి మరియు హీటర్ల సంఖ్య నిలువుగా అమ్ముతారు. స్పష్టత కోసం, పాయింట్లు ఒక లైన్‌తో కనెక్ట్ చేయబడ్డాయి.

ఫిగర్ ఉపయోగించి, సూచించిన ప్రతి కాల వ్యవధిని హీటర్ల విక్రయ లక్షణంతో సరిపోల్చండి.

అమలు అల్గోరిథం

మేము వివిధ కాలాలకు సంబంధించిన గ్రాఫ్ యొక్క భాగాలను విశ్లేషిస్తాము. మేము చార్టులో ప్రదర్శించబడే పరిస్థితులను రూపొందిస్తాము. మేము వారికి చాలా సరిఅయిన సమాధాన ఎంపికలను కనుగొన్నాము.

పరిష్కారం:

శీతాకాలంలో, విక్రయాల సంఖ్య నెలకు 120 PC లు దాటింది మరియు ఇది నిరంతరం పెరుగుతూ వచ్చింది. ఈ పరిస్థితి సమాధానం నం. 3 కి అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఆ. మాకు దొరికింది: A - 3.

వసంతకాలంలో, అమ్మకాలు క్రమంగా నెలకు 120 హీటర్ల నుండి 50 కి పడిపోయాయి. ఎంపిక 2 ఈ పదానికి దగ్గరగా ఉంటుంది. మాకు ఉంది: బి - 2.

వేసవిలో, విక్రయాల సంఖ్య మారలేదు మరియు తక్కువగా ఉంటుంది. ఈ పదం యొక్క రెండవ భాగం సమాధానాలలో ప్రతిబింబించదు మరియు మొదటిదానికి # 4 మాత్రమే సరిపోతుంది. అందువల్ల మనకు ఉంది: 4 లో.

శరదృతువులో, అమ్మకాలు పెరిగాయి, కానీ ఏ నెలలోనూ వాటి సంఖ్య 100 యూనిట్లను మించలేదు. ఈ పరిస్థితి ఎంపిక # 1 లో వివరించబడింది. మాకు దొరికింది: జి -1.

ఎంపిక 14MB6

సమయానికి సాధారణ బస్సు వేగంపై ఆధారపడటాన్ని గ్రాఫ్ చూపుతుంది. నిలువు అక్షం మీద బస్సు వేగం km / h, క్షితిజ సమాంతర అక్షం మీద గుర్తించబడింది - బస్సు కదలిక ప్రారంభమైన నిమిషాల సమయం.

గ్రాఫ్ ఉపయోగించి, ఈ విరామంలో బస్సు కదలిక లక్షణాన్ని ప్రతి సమయ విరామానికి కేటాయించండి.

అమలు అల్గోరిథం

1. క్షితిజ సమాంతర మరియు నిలువు ప్రమాణాలపై విభజన ధరను నిర్ణయించండి.
2. మేము ప్రతిపాదిత స్టేట్‌మెంట్‌లను 1–4 కుడి కాలమ్ ("క్యారెక్టరిస్టిక్స్") నుండి విశ్లేషిస్తాము. మేము పట్టిక యొక్క ఎడమ కాలమ్ నుండి సమయ విరామాలతో వాటిని సరిపోల్చండి, సమాధానం కోసం "లెటర్-నంబర్" జతలను మేము కనుగొన్నాము.

పరిష్కారం:

క్షితిజ సమాంతర స్థాయిలో విభజన 1 సె, మరియు నిలువు స్కేల్ 20 కిమీ / గం.

1. బస్సు స్టాప్ చేసినప్పుడు, దాని వేగం 0. బస్సు 9 వ నుండి 11 వ నిమిషం వరకు మాత్రమే వరుసగా 2 నిమిషాలు సున్నా వేగం కలిగి ఉంది. ఈ సమయం 8-12 నిమిషాల వ్యవధిలో వస్తుంది. కాబట్టి, సమాధానం కోసం మాకు ఒక జత ఉంది: బి -1.
2. బస్సు 20 km / h మరియు అనేక సమయ వ్యవధిలో వేగం కలిగి ఉంది. అంతేకాకుండా, ఆప్షన్ A ఇక్కడ తగినది కాదు, ఎందుకంటే, ఉదాహరణకు, 7 వ నిమిషంలో వేగం 60 km / h, ఎంపిక B - ఇది ఇప్పటికే వర్తింపజేయబడినందున, ఎంపిక D - బస్ ప్రారంభంలో మరియు ముగింపులో ఎందుకంటే సున్నా వేగం కలిగి ఉంది ... ఈ సందర్భంలో, ఎంపిక B అనుకూలంగా ఉంటుంది (12-16 నిమిషాలు); ఈ విరామంలో, బస్సు 40 కిమీ / గం వేగంతో కదలడం ప్రారంభిస్తుంది, తర్వాత 100 కిమీ / మీ వేగవంతం అవుతుంది మరియు తరువాత క్రమంగా వేగాన్ని 20 కిమీకి తగ్గిస్తుంది. కాబట్టి, మాకు ఉంది: 2 లో.
3. వేగ పరిమితి ఇక్కడ సెట్ చేయబడింది. అదే సమయంలో, మేము B మరియు C ఎంపికలను పరిగణించము. మిగిలిన విరామాలు A మరియు D రెండూ అనుకూలంగా ఉంటాయి. అందువల్ల, మొదట 4 వ ఎంపికను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం సరైనది, ఆపై మళ్లీ 3 వ స్థానానికి తిరిగి వెళ్లండి.
4. మిగిలిన రెండు విరామాలలో, ఈ విరామంలో (6 వ నిమిషంలో) స్టాప్ ఉన్నందున, లక్షణం నం. 4 కి 4–8 నిమిషాలు మాత్రమే సరిపోతాయి. 18-22 నిమిషాల వ్యవధిలో స్టాప్‌లు లేవు. మాకు దొరికింది: A - 4... కనుక ఇది లక్షణం సంఖ్య 3 కొరకు విరామం necessary తీసుకోవడం అవసరం, అనగా. అది ఒక జంటగా మారుతుంది జి - 3.

ఎంపిక 14MB7

చుక్కల సంఖ్య 2004 మరియు 2013 మధ్య చైనా జనాభా పెరుగుదలను చూపుతుంది. క్షితిజ సమాంతర రేఖ సంవత్సరాన్ని సూచిస్తుంది, నిలువు వరుస జనాభాలో శాతం పెరుగుదలను సూచిస్తుంది (గత సంవత్సరానికి సంబంధించి జనాభాలో పెరుగుదల). స్పష్టత కోసం, పాయింట్లు ఒక లైన్‌తో కనెక్ట్ చేయబడ్డాయి.

ఫిగర్ ఉపయోగించి, ఈ కాలంలో చైనా జనాభా పెరుగుదల లక్షణాలతో సూచించిన ప్రతి కాల వ్యవధిని సరిపోల్చండి..

అమలు అల్గోరిథం

1. చిత్రం యొక్క నిలువు స్కేల్ యొక్క విభజన ధరను నిర్ణయించండి. ఇది ఒక జత ప్రక్కన ఉన్న స్కేల్ విలువల మధ్య వ్యత్యాసంగా కనుగొనబడింది, దీనిని 2 ద్వారా విభజించారు (ఎందుకంటే రెండు ప్రక్కనే ఉన్న విలువల మధ్య 2 విభాగాలు ఉన్నాయి).
2. స్థితిలో ఇచ్చిన 1–4 లక్షణాలను వరుసగా విశ్లేషిస్తాము (ఎడమ పట్టిక కాలమ్). మేము వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి నిర్దిష్ట సమయ వ్యవధి (కుడి పట్టిక కాలమ్) తో సరిపోల్చాము.

పరిష్కారం:

నిలువు స్థాయి విభజన 0.01%.

1. వృద్ధి క్షీణత 2004 నుండి 2010 వరకు నిరంతరం కొనసాగింది. 2010–2011లో, వృద్ధి స్థిరంగా తక్కువగా ఉంది, మరియు 2012 నుండి ఇది పెరగడం ప్రారంభమైంది. ఆ. 2010 లో పెరుగుదల ఆగిపోయింది. ఈ సంవత్సరం 2009-2011 కాలంలో ఉంది. దీని ప్రకారం, మాకు ఉంది: 1 లో.
2. చిత్రంలో ఉన్న చార్ట్ యొక్క "నిటారుగా" పడే రేఖను వృద్ధిలో అతిపెద్ద డ్రాప్‌గా పరిగణించాలి. ఇది 2006-2007 కాలంలో వస్తుంది. మరియు సంవత్సరానికి 0.04% (2006 లో 0.59-0.56 = 0.04% మరియు 2007 లో 0.56-0.52 = 0.04%). ఇక్కడ నుండి మనకు లభిస్తుంది: A - 2.
3. లక్షణం సంఖ్య 3 లో సూచించిన వృద్ధి 2007 లో ప్రారంభమైంది, 2008 లో కొనసాగింది మరియు 2009 లో ముగిసింది. ఇది కాల వ్యవధి B కి అనుగుణంగా ఉంటుంది, అనగా మాకు ఉంది: బి - 3.
4. 2011 తర్వాత జనాభా పెరుగుదల పెరగడం ప్రారంభమైంది, అనగా. 2012–2013లో అందువలన, మేము పొందుతాము: జి 4.

ఎంపిక 14MB8

ఫిగర్ ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపిస్తుంది మరియు అబ్సిస్సాస్ A, B, C మరియు D తో ఉన్న పాయింట్‌ల వద్ద దానికి గీసిన టాంజెంట్‌లు.

A, B, C మరియు D. పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క విలువలను కుడి కాలమ్ చూపుతుంది, గ్రాఫ్‌ను ఉపయోగించి, ప్రతి పాయింట్‌లోని ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం విలువను కేటాయించండి.

అమలు అల్గోరిథం

1. అబ్సిస్సా అక్షం యొక్క సానుకూల దిశతో తీవ్రమైన కోణాన్ని కలిగి ఉన్న ఒక జత టాంజెంట్‌లను పరిగణించండి. మేము వాటిని సరిపోల్చాము, ఉత్పన్నాల యొక్క సంబంధిత విలువల జత మధ్య సరిపోలికను కనుగొనండి.
2. అబ్సిస్సా అక్షం యొక్క సానుకూల దిశతో ఒక నిటారుగా కోణాన్ని ఏర్పరుస్తున్న ఒక జత టాంజెంట్‌లను పరిగణించండి. మేము వాటిని సంపూర్ణ విలువతో సరిపోల్చాము, కుడి కాలమ్‌లో మిగిలి ఉన్న రెండింటిలో ఉత్పన్నాల విలువలకు వారి అనురూప్యాన్ని నిర్ణయిస్తాము.

పరిష్కారం:

అబ్సిస్సా అక్షం యొక్క సానుకూల దిశతో తీవ్రమైన కోణం పాయింట్ B మరియు పాయింట్ C వద్ద ఉత్పన్నాల ద్వారా ఏర్పడుతుంది. ఈ ఉత్పన్నాలు సానుకూల విలువలను కలిగి ఉంటాయి. అందువల్ల, ఇక్కడ మీరు విలువలు నం. 1 మరియు 3. మధ్య ఎంచుకోవాలి. కోణం 45 0 కన్నా తక్కువ ఉంటే, అప్పుడు ఉత్పన్నం 1 కంటే తక్కువ, మరియు అంతకంటే ఎక్కువ ఉంటే, 1 కంటే ఎక్కువ, మేము ముగించాము: పాయింట్ B లో, డెరివేటివ్ మాడ్యులో 1 కంటే ఎక్కువ, పాయింట్ C లో - 1 కంటే తక్కువ. దీని అర్థం మీరు జవాబు కోసం జతలను చేయవచ్చు: AT 3 లోమరియు С - 1.

పాయింట్ A మరియు పాయింట్ D లోని ఉత్పన్నాలు అబ్సిస్సా అక్షం యొక్క సానుకూల దిశతో నిగూఢమైన కోణాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. మరియు ఇక్కడ మేము అదే నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము, దానిని కొద్దిగా పారాఫ్రేజ్ చేస్తాము: పాయింట్‌లోని టాంజెంట్ అబ్సిస్సా లైన్‌కు (దాని ప్రతికూల దిశకు) "నొక్కినప్పుడు, అది సంపూర్ణ విలువలో ఉంటుంది. అప్పుడు మనం పొందుతాము: పాయింట్ A వద్ద ఉత్పన్నం పాయింట్ D వద్ద ఉత్పన్నం కంటే సంపూర్ణ విలువలో తక్కువగా ఉంటుంది. అందువల్ల సమాధానం కోసం మాకు జంటలు ఉన్నాయి: A - 2మరియు డి - 4.

ఎంపిక 14MB9

చిత్రంలో, చుక్కలు జనవరి 2011 లో మాస్కోలో సగటు రోజువారీ గాలి ఉష్ణోగ్రతను చూపుతాయి. క్షితిజ సమాంతరంగా నెల రోజును సూచిస్తుంది, నిలువుగా - డిగ్రీల సెల్సియస్‌లో ఉష్ణోగ్రత. స్పష్టత కోసం, పాయింట్లు ఒక లైన్‌తో కనెక్ట్ చేయబడ్డాయి.

ఫిగర్ ఉపయోగించి, సూచించిన ప్రతి కాల వ్యవధిని ఉష్ణోగ్రత మార్పు లక్షణంతో సరిపోల్చండి.

అమలు అల్గోరిథం

చిత్రంలో ఉన్న గ్రాఫ్‌ని ఉపయోగించి మేము వరుసగా 1-4 (కుడి కాలమ్) లక్షణాలను విశ్లేషిస్తాము. మేము వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి నిర్దిష్ట కాల వ్యవధి (ఎడమ కాలమ్) తో కరస్పాండెన్స్‌లో ఉంచాము.

పరిష్కారం:

1. ఉష్ణోగ్రత పెరుగుదల జనవరి 22-28 తేదీ చివరిలో మాత్రమే గమనించబడింది. ఇక్కడ 27 మరియు 28 తేదీలలో, ఇది వరుసగా 1 మరియు 2 డిగ్రీలు పెరిగింది. జనవరి 1–7 తేదీ ముగింపులో, ఉష్ణోగ్రత స్థిరంగా ఉంటుంది (–10 డిగ్రీలు), జనవరి 8–14 మరియు 15–21 చివరిలో, అది తగ్గింది (–1 నుండి –2 వరకు మరియు –11 నుండి - వరుసగా 12 డిగ్రీలు). అందువలన, మేము పొందుతాము: జి -1.
2. ప్రతి కాల వ్యవధి 7 రోజులు ఉంటుంది కాబట్టి, ప్రతి పీరియడ్ యొక్క 4 వ రోజు నుండి ఉష్ణోగ్రతను విశ్లేషించడం అవసరం. జనవరి 4 నుండి 7 వరకు ఉష్ణోగ్రత 3-4 రోజులు మాత్రమే మారదు. అందువలన, మేము సమాధానం పొందుతాము: A - 2.
3. నెలవారీ కనిష్ట ఉష్ణోగ్రత జనవరి 17 న గమనించబడింది. ఈ సంఖ్య జనవరి 15-21 మధ్యలో ఉంటుంది. ఇక్కడ నుండి మాకు ఒక జత ఉంది: AT 3 లో.
4. గరిష్ట ఉష్ణోగ్రత జనవరి 10 న పడిపోయింది మరియు +1 డిగ్రీలకు చేరుకుంది. ఈ తేదీ జనవరి 8-14 మధ్య వస్తుంది. అందువల్ల, మాకు ఉంది: బి - 4.

ఎంపిక 14MB10

అమలు అల్గోరిథం

1. ఈ బిందువు ఆక్స్ అక్షం పైన ఉన్నట్లయితే ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ విలువ సానుకూలంగా ఉంటుంది.
2. ఈ బిందువుకు టాంజెంట్ ఆక్స్ అక్షం యొక్క సానుకూల దిశతో తీవ్రమైన కోణాన్ని ఏర్పరిస్తే ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

పరిష్కారం:

పాయింట్ A. ఇది ఆక్స్ అక్షం క్రింద ఉంది, అంటే దానిలోని ఫంక్షన్ విలువ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. మేము దానిలో ఒక టాంజెంట్ గీస్తే, దానికి మరియు కోణానికి మధ్య కోణం 90 0 ఉంటుంది, అనగా. తీవ్రమైన కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. కాబట్టి, ఈ సందర్భంలో, లక్షణ సంఖ్య 3 అనుకూలంగా ఉంటుంది. ఆ. మాకు ఉంది: A - 3.

పాయింట్ B. ఇది ఆక్స్ అక్షం పైన ఉంది, అనగా పాయింట్ సానుకూల ఫంక్షన్ విలువను కలిగి ఉంది. ఈ సమయంలో టాంజెంట్ లైన్ అబ్సిస్సా అక్షానికి చాలా దగ్గరగా ఉంటుంది, దాని సానుకూల దిశతో ఒక నిటారుగా ఉండే కోణం (180 0 కన్నా కొంచెం తక్కువ) ఏర్పడుతుంది. దీని ప్రకారం, ఈ సమయంలో ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. అందువలన, లక్షణం 1 ఇక్కడ అనుకూలంగా ఉంటుంది. మేము సమాధానం పొందుతాము: 1 లో.

పాయింట్ C. పాయింట్ ఆక్స్ అక్షం క్రింద ఉంది, దానిలోని టాంజెంట్ అబ్సిస్సా అక్షం యొక్క సానుకూల దిశతో పెద్ద మందమైన కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఆ. పాయింట్ C లో, ఫంక్షన్ మరియు ఉత్పన్నం రెండింటి విలువ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, ఇది లక్షణం సంఖ్య 2 కి అనుగుణంగా ఉంటుంది. సమాధానం: సి -2.

పాయింట్ D. బిందువు ఆక్స్ అక్షం పైన ఉంది మరియు దానిలోని టాంజెంట్ అక్షం యొక్క సానుకూల దిశతో తీవ్రమైన కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఫంక్షన్ విలువ మరియు ఉత్పన్నం విలువ రెండూ ఇక్కడ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉన్నాయని ఇది సూచిస్తుంది. సమాధానం: డి - 4.

ఎంపిక 14MB11

చిత్రంలో, గృహోపకరణాల స్టోర్‌లో రిఫ్రిజిరేటర్‌ల నెలవారీ విక్రయాలను చుక్కలు చూపుతాయి. నెలలు అడ్డంగా ప్రదర్శించబడతాయి మరియు రిఫ్రిజిరేటర్ల సంఖ్య నిలువుగా అమ్ముతారు. స్పష్టత కోసం, పాయింట్లు ఒక లైన్‌తో కనెక్ట్ చేయబడ్డాయి.

ఫిగర్ ఉపయోగించి, సూచించిన ప్రతి కాల వ్యవధిని రిఫ్రిజిరేటర్‌ల విక్రయ లక్షణంతో సరిపోల్చండి..

తిరిగి ముందుకు

శ్రద్ధ! స్లైడ్ ప్రివ్యూలు సమాచార ప్రయోజనాల కోసం మాత్రమే మరియు అన్ని ప్రెజెంటేషన్ ఎంపికలను సూచించకపోవచ్చు. మీకు ఆసక్తి ఉన్నట్లయితే ఈ పనిదయచేసి పూర్తి వెర్షన్‌ను డౌన్‌లోడ్ చేయండి.

పాఠం రకం:పునరావృతం మరియు సాధారణీకరణ.

పాఠ రూపం:పాఠం-సంప్రదింపులు.

పాఠ లక్ష్యాలు:

• బోధన: అంశాలపై సైద్ధాంతిక పరిజ్ఞానాన్ని పునరావృతం చేయడానికి మరియు సాధారణీకరించడానికి: "ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం" మరియు "విధుల అధ్యయనానికి ఉత్పన్నం యొక్క అప్లికేషన్"; గణితంలో పరీక్షలో ఎదురయ్యే అన్ని రకాల B8 సమస్యలను పరిగణించండి; సమస్యలను స్వయంగా పరిష్కరించేటప్పుడు విద్యార్థులకు వారి జ్ఞానాన్ని పరీక్షించుకునే అవకాశాన్ని కల్పించండి; పరీక్ష జవాబు పత్రాన్ని ఎలా పూరించాలో నేర్పండి;
• అభివృద్ధి చెందుతున్న: శాస్త్రీయ జ్ఞానం, అర్థ జ్ఞాపకం మరియు స్వచ్ఛంద శ్రద్ధ యొక్క పద్ధతిగా కమ్యూనికేషన్ అభివృద్ధిని ప్రోత్సహించడానికి; పోలిక, సమిష్టి స్థానం, వస్తువుల వర్గీకరణ, ఇచ్చిన అల్గోరిథంల ఆధారంగా విద్యా సమస్యను పరిష్కరించడానికి తగిన మార్గాల నిర్ధారణ, అనిశ్చిత పరిస్థితుల్లో స్వతంత్రంగా వ్యవహరించే సామర్థ్యం, ​​వాటి కార్యకలాపాలను నియంత్రించడం మరియు మూల్యాంకనం చేయడం, కనుగొనడం మరియు తొలగించడం వంటి కీలక సామర్థ్యాల ఏర్పాటు ఎదుర్కొన్న ఇబ్బందులకు కారణాలు;
• విద్యా: విద్యార్థుల కమ్యూనికేటివ్ సామర్థ్యాలను అభివృద్ధి చేయండి (కమ్యూనికేషన్ సంస్కృతి, సమూహాలలో పని చేసే సామర్థ్యం); స్వీయ విద్య అవసరం అభివృద్ధికి దోహదం చేస్తాయి.

సాంకేతికతలు: అభివృద్ధి విద్య, ICT.

బోధనా పద్ధతులు:శబ్ద, దృశ్య, ఆచరణాత్మక, సమస్యాత్మక.

పని రూపాలు:వ్యక్తిగత, ముందు, సమూహం.

విద్యా మరియు పద్దతి మద్దతు:

1. బీజగణితం మరియు గణిత విశ్లేషణ ప్రారంభం. గ్రేడ్ 11: పాఠ్య పుస్తకం. సాధారణ విద్య కోసం. సంస్థలు: ప్రాథమిక మరియు ప్రొఫైల్. స్థాయిలు / (యుఎమ్ కోల్యాగిన్, ఎమ్‌వి తకాచెవా, ఎన్‌ఇ ఫెడోరోవా, ఎంఐ షాబునిన్); ఎ. బి. జిజ్‌చెంకో చే సవరించబడింది. - 4 వ ఎడిషన్. - M .: విద్య, 2011.

2. ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష: గణితంలో సమాధానాలతో 3000 సమస్యలు. గ్రూప్ B / A.L యొక్క అన్ని పనులు. సెమియోనోవ్, I. V. యాష్చెంకో మరియు ఇతరులు; A.L చే సవరించబడింది సెమియోనోవా, I. V. యాష్చెంకో. - ఎం.: పబ్లిషింగ్ హౌస్ "పరీక్ష", 2011.

3. ఓపెన్ బ్యాంక్ ఆఫ్ టాస్క్‌లు.

పాఠం కోసం సామగ్రి మరియు సామగ్రి:ప్రొజెక్టర్, స్క్రీన్, ప్రతి విద్యార్థికి ఒక ప్రెజెంటేషన్ ఇన్‌స్టాల్ చేయబడి, విద్యార్థులందరికీ మెమో ప్రింటవుట్ (అనుబంధం 1)మరియు స్కోరు షీట్ ( అనుబంధం 2) .

పాఠం కోసం ప్రాథమిక తయారీ:గా ఇంటి పనిపాఠ్యపుస్తకంలోని సైద్ధాంతిక అంశాలను పునరావృతం చేయడానికి విద్యార్థులను ఆహ్వానిస్తారు: "ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం", "విధుల అధ్యయనానికి ఉత్పన్నం యొక్క అప్లికేషన్"; తరగతి సమూహాలుగా విభజించబడింది (4 మంది), వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి వివిధ స్థాయిల విద్యార్థులను కలిగి ఉంటాయి.

పాఠం కోసం వివరణ:ఈ పాఠం పునరావృతం మరియు పరీక్ష కోసం తయారీ దశలో గ్రేడ్ 11 లో జరుగుతుంది. పాఠం పరీక్ష సమస్యలను పరిష్కరించడంలో దాని అప్లికేషన్ వద్ద, సైద్ధాంతిక విషయాల పునరావృతం మరియు సాధారణీకరణ లక్ష్యంగా ఉంది. పాఠం వ్యవధి - 1.5 గంటలు .

ఈ పాఠం పాఠ్యపుస్తకానికి జోడించబడలేదు, కాబట్టి ఏదైనా బోధనా సామగ్రిపై పని చేస్తున్నప్పుడు దీనిని నిర్వహించవచ్చు. అలాగే, ఈ పాఠాన్ని రెండు వేర్వేరు పాఠాలుగా విభజించి, పరిశీలనలో ఉన్న అంశాలపై తుది పాఠాలుగా నిర్వహించవచ్చు.

తరగతుల సమయంలో

I. సంస్థాగత క్షణం.

II. లక్ష్యాన్ని నిర్దేశించే పాఠం.

III "ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్ధం" అనే అంశంపై పునరావృతం.

ప్రొజెక్టర్ ఉపయోగించి ఓరల్ ఫ్రంటల్ వర్క్ (స్లైడ్స్ సంఖ్య 3-7)

గ్రూప్ వర్క్: టీచర్ సలహాతో ప్రాంప్ట్‌లు, సమాధానాలతో సమస్యలను పరిష్కరించడం (స్లైడ్‌ల సంఖ్య 8-17)

IV. స్వతంత్ర పని 1.

విద్యార్థులు PC లో వ్యక్తిగతంగా పని చేస్తారు (స్లైడ్‌లు №18-26), వారి సమాధానాలు అసెస్‌మెంట్ షీట్‌లో నమోదు చేయబడతాయి. అవసరమైతే, మీరు టీచర్ కన్సల్టేషన్ తీసుకోవచ్చు, కానీ ఈ సందర్భంలో విద్యార్థి 0.5 పాయింట్లను కోల్పోతారు. ఒకవేళ విద్యార్థి ముందుగానే పనిని ఎదుర్కొంటే, అతను సేకరణ నుండి అదనపు పనులను పరిష్కరించడానికి ఎంచుకోవచ్చు, పేజీలు 242, 306-324 (అదనపు పనులు విడిగా విశ్లేషించబడతాయి).

V. పరస్పర ధృవీకరణ.

విద్యార్థులు అసెస్‌మెంట్ షీట్‌లను మార్చుకుంటారు, స్నేహితుడి పనిని తనిఖీ చేయండి, పాయింట్‌లు ఇవ్వండి (స్లైడ్ నంబర్ 27)

వి. జ్ఞానం యొక్క దిద్దుబాటు.

Vii. "విధుల అధ్యయనానికి ఉత్పన్నం వర్తింపజేయడం" అనే అంశంపై పునరావృతం

ప్రొజెక్టర్ ఉపయోగించి ఓరల్ ఫ్రంటల్ వర్క్ (స్లైడ్స్ # 28-30)

సమూహ పని: ఉపాధ్యాయుడి సలహాతో ప్రాంప్ట్‌లు, సమాధానాలతో సమస్యలను పరిష్కరించడం (స్లైడ్‌ల సంఖ్య 31-33)

VIII. స్వతంత్ర పని 2.

విద్యార్థులు PC లో వ్యక్తిగతంగా పని చేస్తారు (స్లైడ్‌ల సంఖ్య 34-46), వారి సమాధానాలు జవాబు రూపంలో నమోదు చేయబడతాయి. అవసరమైతే, మీరు టీచర్ కన్సల్టేషన్ తీసుకోవచ్చు, కానీ ఈ సందర్భంలో విద్యార్థి 0.5 పాయింట్లను కోల్పోతారు. ఒకవేళ విద్యార్థి పనిని ముందుగానే ఎదుర్కొంటే, అతను సేకరణ నుండి అదనపు పనులను పరిష్కరించడానికి ఎంచుకోవచ్చు, పేజీలు 243-305 (అదనపు పనులు విడిగా విశ్లేషించబడతాయి).

IX. పరస్పర ధృవీకరణ.

విద్యార్థులు అసెస్‌మెంట్ షీట్‌లను మార్చుకుంటారు, స్నేహితుడి పనిని తనిఖీ చేయండి, పాయింట్‌లు ఇవ్వండి (స్లైడ్ నంబర్ 47).

X. జ్ఞానం యొక్క దిద్దుబాటు.

ట్రైనీలు మళ్లీ తమ గ్రూపుల్లో పని చేస్తారు, పరిష్కారం గురించి చర్చించండి, తప్పులను సరిదిద్దుకోండి.

XI. సంగ్రహించడం.

ప్రతి విద్యార్థి తన పాయింట్లను లెక్కించి, అసెస్‌మెంట్ షీట్‌లో గ్రేడ్‌ను ఉంచుతాడు.

విద్యార్థులు ఉపాధ్యాయులకు ఒక అసెస్‌మెంట్ షీట్ మరియు అదనపు సమస్యల పరిష్కారాన్ని అందజేస్తారు.

ప్రతి విద్యార్థి మెమోను అందుకుంటారు (స్లైడ్ నంబర్ 53-54).

XII. ప్రతిబింబం.

పదబంధాలలో ఒకదాన్ని ఎంచుకోవడం ద్వారా విద్యార్థులు తమ జ్ఞానాన్ని అంచనా వేయడానికి ఆహ్వానించబడ్డారు:

• నేను చేసాను !!!
• పరిష్కరించడానికి మరికొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి.
• ఈ గణితాన్ని ఎవరు కనుగొన్నారు!

XIII. ఇంటి పని.

హోంవర్క్ కోసం, విద్యార్థులు కలెక్షన్, pp. 242-334, అలాగే ఓపెన్ బ్యాంక్ ఆఫ్ టాస్క్‌ల నుండి టాస్క్‌లను పరిష్కరించాలని ఎంచుకుంటారు.

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం $ y = f (x) $ ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద $ x_0 $ ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ దాని వాదన యొక్క సంబంధిత ఇంక్రిమెంట్ యొక్క నిష్పత్తి యొక్క పరిమితి, రెండోది సున్నాకి అందించినట్లయితే:

$ f "(x_0) = (లిమ్) ↙ (△ x → 0) (△ f (x_0)) / (△ x) $

వ్యత్యాసం అంటే ఉత్పన్నం కనుగొనడం.

కొన్ని ప్రాథమిక విధుల ఉత్పన్న పట్టిక

ఫంక్షన్	ఉత్పన్నం
$ c $	$0$
$ x $	$1$
$ x ^ n $	$ nx ^ (n-1) $
$ (1) / (x) $	$ - (1) / (x ^ 2) $
$ √x $	$ (1) / (2√x) $
$ e ^ x $	$ e ^ x $
$ lnx $	$ (1) / (x) $
$ sinx $	$ cosx $
$ cosx $	$ -sinx $
$ tgx $	$ (1) / (cos ^ 2x) $
$ ctgx $	$ - (1) / (పాపం ^ 2x) $

భేదం కోసం ప్రాథమిక నియమాలు

1. మొత్తం (వ్యత్యాసం) యొక్క ఉత్పన్నం ఉత్పన్నాల మొత్తానికి (వ్యత్యాసం) సమానం

$ (f (x) ± g (x)) "= f" (x) ± g "(x) $

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి $ f (x) = 3x ^ 5-cosx + (1) / (x) $

మొత్తం (వ్యత్యాసం) యొక్క ఉత్పన్నం ఉత్పన్నాల మొత్తానికి (వ్యత్యాసం) సమానంగా ఉంటుంది.

$ f "(x) = (3x ^ 5)" - (cos x) " + ((1) / (x))" = 15x ^ 4 + sinx - (1) / (x ^ 2) $

2. పని యొక్క ఉత్పన్నం

$ (f (x) g (x)) "= f" (x) g (x) + f (x) g (x) "$

ఉత్పన్నం $ f (x) = 4x cosx $ ని కనుగొనండి

$ f "(x) = (4x)" cosx + 4x (cosx) "= 4 cosx-4x sinx $

3. కోషెంట్ యొక్క ఉత్పన్నం

$ ((f (x)) / (g (x))) "= (f" (x) g (x) -f (x) g (x) ") / (g ^ 2 (x)) $

ఉత్పన్నం $ f (x) = (5x ^ 5) / (e ^ x) $ కనుగొనండి

$ f "(x) = ((5x ^ 5)" e ^ x-5x ^ 5 (e ^ x) ") ((e ^ x) ^ 2) = (25x ^ 4 e ^ x- 5x ^ 5 e ^ x) / ((e ^ x) ^ 2) $

4. ఉత్పన్నం క్లిష్టమైన ఫంక్షన్బాహ్య ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం మరియు అంతర్గత ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం

$ f (g (x)) "= f" (g (x)) g "(x) $

$ f "(x) = cos" (5x) · (5x) "= - పాపం (5x) · 5 = -5 పాపం (5x) $

ఉత్పన్నం యొక్క భౌతిక అర్థం

ఒకవేళ మెటీరియల్ పాయింట్చతురస్రంగా కదులుతుంది మరియు దాని సమన్వయం చట్టాన్ని బట్టి సమయాన్ని బట్టి మారుతుంది $ x (t) $, అప్పుడు ఈ పాయింట్ యొక్క తక్షణ వేగం ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నానికి సమానం.

చట్టం $ x (t) = 1,5t ^ 2-3t + 7 $ ప్రకారం పాయింట్ సమన్వయ రేఖ వెంట కదులుతుంది, ఇక్కడ $ x (t) $ అనేది $ t $ సమయంలో సమన్వయం అవుతుంది. ఏ సమయంలో పాయింట్ వేగం $ 12 $ కు సమానంగా ఉంటుంది?

1. వేగం అనేది $ x (t) $ యొక్క ఉత్పన్నం, కాబట్టి ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కనుగొనబడింది

$ v (t) = x "(t) = 1.5 · 2t -3 = 3t -3 $

2. ఏ సమయంలో $ t $ వేగం $ 12 $ కు సమానంగా ఉందో తెలుసుకోవడానికి, సమీకరణాన్ని కూర్చండి మరియు పరిష్కరించండి:

ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం

కోఆర్డినేట్ అక్షాలకు సమాంతరంగా లేని సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని $ y = kx + b $ రూపంలో వ్రాయవచ్చు, ఇక్కడ $ k $ అనేది సరళ రేఖ యొక్క వాలు. $ Kx గుణకం సరళ రేఖ మరియు $ Ox $ అక్షం యొక్క సానుకూల దిశ మధ్య వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్‌కి సమానం.

$ X_0 $ పాయింట్ వద్ద $ f (x) $ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఈ సమయంలో గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ యొక్క $ k $ వాలుకు సమానం:

అందువలన, మేము ఒక సాధారణ సమానత్వాన్ని గీయవచ్చు:

$ f "(x_0) = k = tgα $

చిత్రంలో, $ f (x) $ ఫంక్షన్‌కు టాంజెంట్ పెరుగుతుంది, కాబట్టి, గుణకం $ k> 0 $. $ K> 0 $, అప్పుడు $ f "(x_0) = tgα> 0 $. టాంజెంట్ మరియు $ Ox $ సానుకూల దిశ మధ్య $ α $ కోణం తీవ్రంగా ఉంటుంది.

చిత్రంలో, $ f (x) $ ఫంక్షన్‌కు టాంజెంట్ తగ్గుతుంది; అందువలన, గుణకం $ k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

చిత్రంలో, $ f (x) $ ఫంక్షన్‌కు టాంజెంట్ $ Ox $ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, గుణకం $ k = 0 $, అందువలన, $ f "(x_0) = టాన్ α = 0 $. పాయింట్ $ x_0 $, దీని వద్ద $ f "(x_0) = 0 $, అని పిలుస్తారు తీవ్ర.

ఈ బొమ్మ $ y = f (x) $ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మరియు ఈ గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌ను చూపుతుంది, ఇది అబ్సిస్సా $ x_0 $ తో పాయింట్ వద్ద డ్రా చేయబడింది. $ X_0 $ పాయింట్ వద్ద $ f (x) $ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం విలువను కనుగొనండి.

గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ పెరుగుతుంది, కాబట్టి, $ f "(x_0) = tg α> 0 $

$ F "(x_0) $ ని కనుగొనడానికి, టాంజెంట్ మరియు $ Ox $ అక్షం యొక్క సానుకూల దిశ మధ్య వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్‌ను కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, $ ABC $ త్రిభుజానికి టాంజెంట్‌ని జోడించండి.

$ BAC $ కోణం యొక్క టాంజెంట్‌ని కనుగొనండి. (లో తీవ్రమైన కోణం యొక్క టాంజెంట్ కుడి త్రిభుజంవ్యతిరేక కాలు ప్రక్కనే ఉన్న కాలు యొక్క నిష్పత్తి అంటారు.)

$ tg BAC = (BC) / (AC) = (3) / (12) = (1) / (4) = 0.25 $

$ f "(x_0) = tg BAC = 0.25 $

సమాధానం: $ 0.25

ఫంక్షన్లను పెంచడం మరియు తగ్గించడం యొక్క విరామాలను కనుగొనడానికి కూడా ఉత్పన్నం ఉపయోగించబడుతుంది:

విరామంలో $ f "(x)> 0 $ అయితే, ఈ విరామంలో $ f (x) $ ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది.

$ F "(x) అయితే< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

బొమ్మ $ y = f (x) $ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉన్న పాయింట్లను $ x_1, x_2, x_3 ... x_7 $ పాయింట్లలో కనుగొనండి.

ప్రతిస్పందనగా, ఇచ్చిన పాయింట్ల సంఖ్యను వ్రాయండి.